ESTUDIOS
GENERALES
CIENCIAS
PONTIFICIA
UNIVERSIDAD
CATÓLICA
DEL PERÚ
Cálculo Integral
Primera Práctica Dirigida
Semestre Académico 2019 -1
Horario: Todos. Duración: 110 minutos
Elaborado por todos los profesores.
Indicaciones:
•Se pueden usar apuntes de clase, libros, tablas, calculadora o computadora personal.
1. a) Exprese l´
ım
n→+∞
n
X
k=1
ln(2n+2k)−ln(n)
n+kcomo la integral definida de una función y calcule dicha
integral.
Respuesta: (ln(4))2
2−(ln(2))2
2
b) Calcule la integral Z4
1
2−xdxusando sumas de Riemann.
Respuesta: 7
16ln2
2. a) Dada una función fcontinua en [a,b]tal que f(x)>0para todo xen [a,b], demuestre que se
cumple Rb
af(x)dx >0.
Sugerencia: Por el teorema del valor medio, existe c∈[a,b]tal que Zb
a
f(x)dx =(b−a)f(c). Final-
mente, notamos que tanto (b−a)como f(c)son positivos.
b) Justifique por qué el cálculo
Z1
−1
1
x2dx= −1
x¯¯¯¯
1
−1=(−1) −(1) =−2
no es correcto.
Respuesta: La primera igualdad no es cierta porque el 2TFC necesita continuidad de la función
a integrar.
3. Dada f(x)=sen2(x),
a) Halle el valor promedio de fen x∈[0, 2π].
Respuesta: 1
2
b) ¿Existen valores c∈[0, 2π]tales que f(c)coincida con el valor promedio? Justifique su respuesta
y, de ser afirmativa, halle todos los valores que puede tomar c.
Respuesta: π
4,3π
4,5π
4,7π
4
4. Sea k∈[1
4,1] una constante. Demuestre que se cumple
2
e≤Z1
−1
(x2+1)e−x2
px4+x2+k
dx≤2+p2arctanp2.
Sugerencia: Demuestre que si −1≤x≤1, entonces 1
e≤e−x2
≤1y que x2+1
4≤px4+x2+k≤x2+1.
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