¡Descarga Lista 1 - Cálculo integral y más Ejercicios en PDF de Cálculo diferencial y integral solo en Docsity!
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ
ESTUDIOS GENERALES CIENCIAS
Cálculo Integral
Lista de Problemas 1
Semestre Académico 2023-
- Calcule las siguientes sumas:
a)
30 P
k = 0
( 2 k − 5 ) b)
50 P
k = 0
( k − 2 )( 3 − k ) c)
15 P
k = 0
− 3 k
d)
n P
k = 5
k
2
k
- Calcule los siguientes límites:
a) l´ım
n →+∞
n P
k = 1
( k − 2 n )( 3 k + n )
n
3
b) l´ım
n →+∞
n
4
n P
k = 1
k ( k
2 − 9 n
2 )
- Sea R la región limitada por la gráfica de f ( x ) = − x
2
- 2 x + 24, el eje X y las rectas x = −2 y x = 4.
a) Halle un valor aproximado del área de R dividiendo el intervalo [−2, 4] en 6 subintervalos de la
misma longitud y usando los extremos izquierdos de cada uno de ellos.
b) Halle un valor aproximado del área de R dividiendo el intervalo [−2, 4] en 6 subintervalos de la
misma longitud y usando los extremos derechos de cada uno de ellos. Compare su resultado con
el resultado anterior.
c) Calcule el área de R como el límite de sumas de Riemann de la función f.
- Mediante sumas de Riemann, calcule en cada caso el área de la región limitada por la gráfica de f ( x ),
el eje X y las rectas x = a y x = b.
a) f ( x ) = − x
2 − 4 x + 5, a = 1, b = 4.
b) f ( x ) = x
3 − 10 x + 15, a = −2, b = 3.
c) f ( x ) = 3
4 x , a = 2, b = 4.
d) f ( x ) = 2
− x , a = −2, b = 2.
- Dada f definida por f ( x ) = x
3 − 8 x
2
- 16 x , x ∈ R, halle el área de la región limitada por la gráfica
de f y la recta tangente a dicha gráfica en el punto P =
4, f ( 4 )
- Exprese los siguientes límites como una integral definida de una función en el intervalo [ a , b ].
a) l´ım n →+∞
n X
k = 1
( 2 n + k )
3
n 4
, a = −1 y b = 2.
b) l´ım n →+∞
n X
k = 1
ln
n
p
2 k + n − ln
n
p
k + 2 n
, a = −1 y b = 4.
c) l´ım
n →+∞
n X
k = 1
2 k
n
p
n
2
2
, a = 0 y b = 1.
d) l´ım n →+∞
n X
k = 1
k
2
n 3
v
t k
3
3
n 3
, a = 0 y b = 1.
- ¿Cuáles de las siguientes son gráficas de funciones integrables en [ a , b ]?
X
Y
a b
X
Y
a b
X
Y
a b
X
Y
a b
- Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones
a) Si f una función definida en [ a , b ] tal que f es continua en ] a , b ] y l´ım
x → a
f ( x ) = 1, entonces f es
integrable en [ a , b ].
b) Si f es una función diferenciable en [ a , b ], entonces f es integrable en [ a , b ].
c) Si f no es una función diferenciable en [ a , b ], entonces f no es integrable en [ a , b ].
d) Dada f : [ a , b ] → R, si g = | f | es integrable en [ a , b ], entonces f es integrable en [ a , b ].
- Determine si las siguientes funciones son integrables en el intervalo dado.
a) f ( x ) = arctan x , en [−1000, 1000]. (^) b) f ( x ) =
sen x
ln x
, en [2, 20].
- Evalúe el límite
l´ım n →+∞
n X
k = 1
v
t
k
n
2 1
n
interpretándolo como el área de una figura geométrica conocida.
- Demuestre la igualdad
Z b
0
e
x d x = e
b − 1
usando límites de suma de Riemann.
- Dada la función
f ( x ) = 2 −
Æ
1 − ( x − 2 )
2 , x ∈ [1, 3]
a) Evalúe la integral
I =
Z
3
1
f ( x ) d x
b) Halle el valor del número c ∈ [1, 3] tal que f ( c ) es igual al valor promedio de f en el intervalo
[1, 3].
- Sea f una función continua tal que
Z
b
a
f ( x ) d x = 0. Demuestre que la gráfica de f interseca al eje X
en por lo menos un punto cuya abscisa está en el intervalo ] a , b [.
- Sea f una función continua en [ a , b ]. Para cada k ∈ R, definimos
G ( k ) =
Z
b
a
f ( x ) − k
2
d x.
Verifique que G alcanza su valor mínimo cuando k es igual al valor promedio de f en [ a , b ].
San Miguel, marzo de 2023.
