Cálculo matemático en una variable, Apuntes de Matemáticas

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Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos,

Canales y Puertos.

Matemáticas I

Curso 2009-

Juan Carlos Cabello Píñar

Departamento de Análisis Matemático

• 1. Números reales y complejos
  • 1.1. El conjunto de los números reales.
    • 1.1.1. Estructura algebraica
    • 1.1.2. Estructura ordenada
    • 1.1.3. Axioma del supremo.
    • 1.1.4. Valor absoluto de un número real
    • 1.1.5. Intervalos
    • 1.1.6. Expresión decimal de un número real
    • 1.1.7. Aplicaciones
    • 1.1.8. Conjuntos finitos e infinitos
    • 1.1.9. Relación de ejercicios
  • 1.2. Los números complejos
    • 1.2.1. El conjunto C
    • 1.2.2. Expresiones de un número complejo y propiedades.
    • 1.2.3. Raices n-ésimas.
    • 1.2.4. Relación de Ejercicios
• 2. Funciones de una variable: límite y continuidad
  • 2.1. Funciones elementales I: Funciones racionales y exponenciales
    • 2.1.1. Funciones reales de variable real.
    • 2.1.2. Gráfica de una función
      • icidad 2.1.3. Algunas propiedades elementales: Monotonía, simetría y period-
    • 2.1.4. Funciones racionales
    • 2.1.5. Función logaritmo.
    • 2.1.6. Operaciones con funciones.
    • 2.1.7. Función exponencial.
      • soluto. 2.1.8. Funciones definidas a trozos. Funciones parte entera y valor ab-
    • 2.1.9. Relación de ejercicios.
  • 2.2. Funciones elementales II: Funciones trigonométricas
    • 2.2.1. El número π
    • 2.2.2. Función arcocoseno
    • 2.2.3. Funciones seno y coseno
    • 2.2.4. Función tangente
    • 2.2.5. Funciones secante, cosecante y cotangente 4 ÍNDICE GENERAL
    • 2.2.6. Funciones arcoseno y arcotangente.
    • 2.2.7. Identidades Trigonométricas.
    • 2.2.8. Funciones Hiperbólicas.
    • 2.2.9. Relación de ejercicios
  • 2.3. Sucesiones de números reales
    • 2.3.1. Acotación, monotonía y convergencia de sucesiones
    • 2.3.2. Sucesiones divergentes
    • 2.3.3. Relación de ejercicios
  • 2.4. Límite Funcional
    • 2.4.1. Puntos de acumulación.
    • 2.4.2. Límite funcional y límites laterales.
    • 2.4.3. Límites en el infinito.
    • 2.4.4. Funciones divergentes
    • 2.4.5. Algebra de límites.
    • 2.4.6. Indeterminaciones
    • 2.4.7. Funciones asintóticamente equivalentes.
    • 2.4.8. Relación de ejercicios
  • 2.5. Funciones continuas
    • 2.5.1. Continuidad
    • 2.5.2. Tipos de discontinuidad
    • 2.5.3. Ejemplos
    • 2.5.4. Límites de funciones de tipo exponencial
      • valor intermedio y de conservación de la compacidad. 2.5.5. Propiedades de las funciones continuas: Teoremas de Bolzano, del
    • 2.5.6. Relación de Ejercicios
• 3. Cálculo diferencial en una variable
  • 3.1. Funciones derivables
    • 3.1.1. Derivada. Recta tangente
    • 3.1.2. Derivadas laterales
    • 3.1.3. Ejemplos
      • valor medio, y reglas de L+Hôpital. 3.1.4. Propiedades de las funciones derivables: Teoremas de Rolle y del
    • 3.1.5. Relación de ejercicios
  • 3.2. Extremos relativos. Polinomio de Taylor
    • 3.2.1. Extremos de una función
    • 3.2.2. Extremos relativos y derivabilidad
    • 3.2.3. Derivadas sucesivas
    • 3.2.4. Polinomio de Taylor
    • 3.2.5. Funciones convexas
    • 3.2.6. Relación de ejercicios
• ÍNDICE GENERAL
• 4. Cálculo integral en una variable
  • 4.1. Funciones integrables
    • 4.1.1. Funciones integrables
    • 4.1.2. Ejemplos
    • 4.1.3. Propiedades de las funciones integrables
      • del Cálculo. 4.1.4. Relación entre integración y derivación: Teorema Fundamental
    • 4.1.5. Cómo evaluar una integral: Regla de Barrow.
    • 4.1.6. Integrales impropias
    • 4.1.7. Relación de ejercicios
  • 4.2. Métodos de integración
    • 4.2.1. Integración de funciones racionales
    • 4.2.2. Integración de funciones no racionales
    • 4.2.3. Relación de ejercicios
  • 4.3. Aplicaciones del cálculo integral
    • 4.3.1. La integral como ” paso al límite ”
    • 4.3.2. Cálculo del área de un recinto plano
    • 4.3.3. Cálculo de la longitud de una curva
    • 4.3.4. Cálculo del volumen y del área de un sólido de revolución
    • 4.3.5. Relación de ejercicios
• 5. Series numéricas. Series de potencias
  • 5.1. Series de números reales
    • 5.1.1. Series de números reales
    • 5.1.2. Criterios de convergencia
    • 5.1.3. Relación de ejercicios
  • 5.2. Series de potencias
    • 5.2.1. Series de potencias
    • 5.2.2. Funciones definidas por series de potencias
    • 5.2.3. Desarrollo en serie de Taylor
    • 5.2.4. Aplicaciones: Suma de series de números reales
    • 5.2.5. Relación de ejercicios

Capítulo 1

Números reales y complejos

1.1. El conjunto de los números reales.

Sumario

En esta lección estudiaremos las propiedades más importantes de los números reales. La estrategia que seguiremos en esta primera lección será la de exponer una lista de propiedades fundamentales de los números reales, que son enunciadas bajo la forma de " axiomas ", y posteriormente enunciar sus sconsecuencias más importantes. Destacaremos, de entre todos los axiomas, el que llamaremos axioma del supremo. Éste no se verifica en ninguno de los conjuntos numéricos más pequeños, ni siquiera en el conjunto de los números racionales, y por tanto, esta propiedad confiere al conjunto de los números reales su identidad y primacía. Cualquier otra propiedad de los números reales se deduce de éste y del resto de los axiomas. El contenido completo de esta lección se articula de la siguiente manera:

I.1.1 Estructura algebraica.

I.1.2 Estructura ordenada.

I.1.3 Axioma del supremo.

I.1.4 Valor absoluto de un número real.

I.1.5 Intervalos.

I.1.6 Aproximación decimal.

I.1.7 Conjuntos finitos e infinitos.

I.1.8 Relación de ejercicios.

8 §I.1 El conjunto de los números reales

1.1.1. Estructura algebraica

Axioma I: Existe un conjunto, que notaremos por R, en el que se puede definir una operación suma (+), verificando:

1. Propiedad asociativa:

(x + y) + z = x + (y + z) (x, y, z ∈ R)

(esto es, no es necesario escribir paréntesis si sólo aparece la operación suma).

2. Propiedad conmutativa:

x + y = y + x (x, y ∈ R).

3. Propiedad de existencia de elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ R, tal que, para cada x ∈ R, se tiene

x + 0 = x.

4. Propiedad de existencia de elemento simétrico: Dado cualquier número real x existe otro número real −x tal que

x + (−x) = 0.

Axioma II: En el conjunto R se puede definir también una segunda operación, llamada producto (.), que notaremos por yuxtaposición, verificando:

1. Propiedad asociativa: (xy)z = x(yz) (x, y, z ∈ R), (esto es, no es necesario escribir paréntesis si sólo aparece la operación producto).
2. Propiedad conmutativa: xy = yx (x, y ∈ R).
3. Propiedad de existencia de elemento neutro: Existe un número real 1 ∈ R, tal que, para cada x ∈ R, se tiene

x1 = x.

4. Propiedad de existencia de elemento inverso: Dado cualquier número real x 6 = 0 existe otro número real 1 /x tal que

x 1 /x = 1.

10 §I.1 El conjunto de los números reales

Notación

Notaremos por:

• x ≥ y a la expresión y ≤ x,
• x < y, el hecho de que x ≤ y y x 6 = y,
• x > y a la expresión y < x,
• x − y = x + (−y),
• x/y = x 1 /y.

y también por R+^ := {x ∈ R; 0 < x}, R−^ := {x ∈ R; x < 0 }, R+ 0 := {x ∈ R; 0 ≤ x}, R∗^ := {x ∈ R; x 6 = 0}.

Antes de continuar vamos a resaltar algunas propiedades que son consecuencia de los axiomas anteriores.

Proposición 1.1.1. Sean x, y, z tres números reales.

1. x 0 = 0.
2. x (−y) = −xy. (Regla de los signos)
3. x ≤ y + z ⇐⇒ x − z ≤ y.
4. Si 0 < x < y, entonces 0 < 1 /y < 1 /x.
5. Si z > 0 , entonces x ≤ yz ⇐⇒ x/z ≤ y.
6. Si z < 0 , entonces x ≤ yz ⇐⇒ x/z ≥ y.
7. x ≤ y si, y sólo si x ≤ y + z, para todo z ∈ R+.

1.1.3. Axioma del supremo.

Es claro que el conjunto de los números racionales Q cumple todas las propiedades exhibidas hasta el momento. Sin embargo, como ya hemos advertido, en este conjunto no se encuentran suficientes elementos como para medir por ejemplo la diagonal de un cuadrado de lado 1. Debe haber pues alguna otra propiedad, exclusiva del conjunto R, que asegure que contiene estos nuevos elementos. Para poder enunciar esta propiedad necesitamos introducir algunos conceptos.

Análisis Matemático 11

Sea A un subconjunto de números reales no vacío y z ∈ R. Se dice que z es un mayorante o cota superior de A si verifica que, para cada x ∈ A,

x ≤ z.

Se dice que z es el supremo de A si es el menor de los mayorantes de A. Si el supremo pertenece al conjunto, se dice que z es el máximo de A.

Invirtiendo el orden en las definiciones anteriores, encontramos los conceptos de minorante o cota inferior y de ínfimo. Si el ínfimo pertenece al conjunto, se dice que es el mínimo de A.

Se dirá que un subconjunto A de números reales está mayorado (resp. minorado) si tiene mayorantes (resp. minorantes).

Se dirá que un subconjunto A de números reales está acotado si tiene mayorantes y minorantes. Esto es, si está mayorado y minorado.

Ya podemos enunciar el axioma distintivo del conjunto R, conocido como el axioma del supremo

Axioma VIII:

Todo subconjunto de números reales no vacío y mayorado tiene supremo.

Este axioma nos permite incluir, por ejemplo,

2 en el conjunto R, ya que es fácil probar que (^) √ 2 = Sup{x ∈ Q; x^2 < 2 }. Por otra parte, es consecuencia inmediata del axioma del supremo, que todo sub- conjunto de números reales no vacío y minorado tiene ínfimo. Este hecho nos permite ver que el número e es también un número real, ya que éste puede verse como

e = Inf {(1 + 1/n)n+1; n ∈ N},

aunque también

e = Sup{sn = 1 + 1 + 1/2 + ... + 1/n!; n ∈ N}.

Otras consecuencias, algunas sorprendentes, de éste axioma se recogen en el siguiente resultado:

Teorema 1.1.2.

1. El conjunto de los números naturales no está mayorado.
2. Para cada n ∈ N y para cada y ∈ R+^ existe un (único) número real positivo x = √ny tal que xn^ = y

Análisis Matemático 13

1.1.5. Intervalos

Otros subconjuntos especialmente interesantes son los llamados intervalos, esto es, hablando rudamente, los conjuntos que no tienen agujeros.

Dados dos números reales a y b, con a ≤ b, se llamará

Intervalo abierto de extremos a y b, al conjunto

]a, b[:= {x ∈ R; a < x < b}.

Intervalo cerrado de extremos a y b, al conjunto

[a, b] := {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}.

Intervalo cerrado en a y abierto en b, al conjunto

[a, b[:= {x ∈ R; a ≤ x < b}.

Intervalo abierto en a y cerrado en b, al conjunto

]a, b] := {x ∈ R; a < x ≤ b}.

Semirrecta abierta de origen a al conjunto

]a, +∞[:= {x ∈ R; a < x}.

Semirrecta cerrada de origen a al conjunto

[a, +∞[:= {x ∈ R; a ≤ x}.

Semirrecta abierta de extremo b al conjunto

] − ∞, b[:= {x ∈ R; x < b}.

Semirrecta cerrada de extremo b al conjunto

] − ∞, b] := {x ∈ R; x ≤ b}.

Estos ocho tipos de conjuntos junto con el propio R son los únicos subconjuntos de R que no tienen ” agujeros ”, esto es, dicho de forma más rigurosa, son los únicos subconjuntos I de números reales que verifican que, para cada dos puntos x, y ∈ I, se tiene que el intervalo [x, y] está contenido en I.

14 §I.1 El conjunto de los números reales

1.1.6. Expresión decimal de un número real

A los elementos del conjunto D = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } se les denomina números dígitos. LLamaremos expresión decimal de un número real dado x a una lista de números dígitos que está unívocamente determinada por dicho número. Para ver cómo se genera esta asociación (número real-lista de dígitos), comenzamos con el caso particular en que 0 ≤ x < 1. En este caso se puede probar que

Proposición 1.1.3. Sea 0 ≤ x < 1. Entonces

1. Existe, para cada n ∈ N, un único rn ∈ Q tal que 10 nrn ∈ Z y rn ≤ x < rn + (^101) n
2. Para cada n ∈ N, existen {a 1 , a 2 , ..., an} n números dígitos tales que

rn =

a 1 10

a 2 102

an 10 n^

En tal caso, al número x se le asocia la lista {a 1 , a 2 , ..., an, ...} y suele escribirse

x = 0′a 1 a 2 ...an...

Una tal expresión recibe el nombre de expresión decimal del número x.

Así por ejemplo, la expresión decimal del número 1 / 6 es

1 /6 = 0′ 1666 .., 6 ...

¿Qué ocurre si el número no está en el intervalo [0, 1[? Pues bien, para extender esta asociación a cualquier número real usaremos el concepto de parte entera de un número.

Se llama parte entera de un número real x al número entero E(x) dado por

E(x) = M ax{p ∈ Z; p ≤ x}.

Es inmediato comprobar que para cada x ∈ R:

1. E(x) ≤ x < E(x) + 1,
2. si p es un número entero verificando:

p ≤ x < p + 1,

entonces p = E[x].

16 §I.1 El conjunto de los números reales

1.1.7. Aplicaciones

Con el fin de hacer una definición rigurosa necesitamos recordar algunos conceptos: Dados dos conjuntos A y B se dice que una correspondencia f entre los elementos de A y de B es una aplicación entre A y B si a cada elemento del conjunto A corresponde un sólo elemento del conjunto B. Este hecho suele notarse

f : A −→ B.

Al conjunto A se le suele llamar dominio de la aplicación f y al conjunto B conjunto final de la aplicación f.

Así pues, una aplicación viene determinada por

1. su dominio A,
2. el cojunto B donde toma valores, y
3. la ley de correspondencia, x 7 −→ f (x). Por otra parte, se dice que una aplicación f : A −→ B es
4. inyectiva si, para cualesquiera dos elementos x, y ∈ A tales que x 6 = y, entonces f (x) 6 = f (y)), ó equivalentemente si f (x) = f (y) implica que x = y.
5. sobreyectiva si el conjunto imagen de f ,f (A), que no es otro que el conjunto

f (A) = {y ∈ R; existe x ∈ A, tal que y = f (x)},

coincide con el conjunto donde toma valores la función,

3. biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva.

Sea f : A −→ B es una aplicación inyectiva. A la aplicación cuyo dominio es f (A), cuyo rango es A y que viene definida por la ley f (x) 7 −→ x se le denomina aplicación inversa de f y es denotada por f −^1. Obsérvese que la función inversa f −^1 : f (A) −→ A es una aplicación biyectiva.

Dada una aplicación f : A −→ B y dado un subconjunto C de A, llamaremos restricción de f al conjunto C, f /C, a una nueva aplicación cuyo dominio es C, que toma valores en C y cuya ley de correspondencia viene dada por

(f /C)(x) = f (x) ( x ∈ C).

Sea C un subconjunto de A y g : C −→ B una aplicación. Llamaremos extensión de g al conjunto A, gA, a una nueva aplicación definida en A, con valores en B y cuya ley de correspondencia está sujeta a la siguiente condición.

gA(x) = g(x) ( x ∈ C).

Análisis Matemático 17

Dados C ⊆ A, y f : A −→ B, es claro que f es una extensión de f /C al conjunto A.

1.1.8. Conjuntos finitos e infinitos

Un conjunto A se dice finito si es vacío o si existe un número natural n, tal que se puede establecer una aplicación biyectiva entre el propio A y el conjunto { 1 , 2 , ..., n}, esto es, hablando rudamente, si se pueden contar sus elementos. Al número natural n se le denominará cardinal de A,

Un conjunto se dice infinito si no es finito.

El conjunto de los números naturales N, el conjunto de los números enteros Z, el conjunto de los números racionales Q, el de los números irracionales R/Q y todos los intervalos, no reducidos a un punto ni vacíos, son conjuntos infinitos.

Podemos preguntarnos ahora si todos tienen el mismo "número de elementos". Para ello introducimos el siguiente concepto.

Un conjunto A se dice NUMERABLE si es vacío o si existe una aplicación inyectiva de él en N.

Claramente todos los conjuntos finitos son numerables y se puede probar que un conjunto infinito es numerable si, y sólo si, existe una aplicación biyectiva de él en N.

Si consideramos las siguientes aplicaciones inyectivas

• I : N −→ N definida por I(n) = n,
• f : Z −→ N definida por f (−n) = 3n, f (0) = 1 y f (n) = 2n,
• g : Q −→ N definida por g(p/n) = f (p)5n, siempre que m.c.d(|p|, n) = 1, y n ∈ N

deduciremos que tanto N, Z como Q son conjuntos infinitos numerables y por tanto en algún sentido tiene los mismos elementos.

Sin embargo, se puede probar que no es éste el caso de ninguno de los intervalos, ni del conjunto de los números irracionales. Obsérvese que esto último choca con la primera impresión sacada de los apartados 3) y 4) del Teorema ??.

1.2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS 19

1.2. Los números complejos

Sumario

Como último eslabón de las sucesivas ampliaciones que hemos hecho del conjunto de los números naturales, vamos a considerar el conjunto de los números complejos. Esta ampliación viene motivada por el hecho de que no existen números reales que satisfagan la sencilla ecuación x^2 + 1 = 0. En este nuevo conjunto se encontrarán todas las soluciones de cualquier ecuación polinómica. El contenido completo de esta lección se articula de la siguiente manera:

I.2.1 El conjunto C.

I.2.2 Expresiones de un número complejo y propiedades.

I.2.3 Raices n-ésimas.

I.2.4 Funciones complejas.

I.2.5 Relación de ejercicios.

1.2.1. El conjunto C

Consideremos el plano real, esto es, el conjunto R^2 = R×R dotado con las siguientes operaciones:

1. Suma: (x, y) + (t, s) = (x + t, y + s),
2. producto por un escalar:

t(x, y) = (tx, ty).

Es claro que estas operaciones heredan algunas propiedades de las operaciones suma y producto de números reales, a saber para la primera, se verifican:

1.1 [(x, y) + (t, s)] + (u, v) = (x, y) + [(t, s) + (u, v)] (Propiedad asociativa)

1.2 (x, y) + (t, s) = (t, s) + (x, y). (Propiedad conmutativa)

1.3 (x, y) + (0, 0) = (x, y) (Elemento neutro)

1.4 (x, y) + (−x, −y) = (0, 0) (Elemento opuesto),

20 §I.2. Los números complejos

mientras que para la segunda, se verifican:

2.1 1(x, y) = (x, y).

2.2 t[s(x, y)] = ts(x, y).

2.3 (s + t)(x, y) = s(x, y) + t(x, y).

2.4 r[(x, y) + (t, s)] = r(x, y) + r(t, s).

El hecho de que R^2 cumpla las anteriores propiedades se expresa diciendo que el conjunto R^2 dotado con las operaciones suma y producto por un escalar, arriba definidas, tiene estructura de espacio vectorial.

Pero también en este conjunto se puede definir un verdadero producto mediante la siguiente expresión: (x, y).(t, s) = (xt − ys, xs + yt).

Esta nueva operación verifica las siguientes propiedades:

3.1 ((x, y).(t, s)).(u, v) = (x, y).((t, s).(u, v)) (Propiedad asociativa)

3.2 (x, y).(t, s) = (t, s).(x, y). (Propiedad conmutativa)

3.3 (1, 0)(x, y) = (x, y) (Elemento unidad)

3.4 Para cada (x, y) 6 = (0, 0) existe (t, s) = ( (^) x (^2) +xy 2 , (^) x 2 −+yy 2 ) tal que (x, y).(t, s) = (1, 0).

3.5 (x, y)[(t, s)) + (u, v)] = (x, y).(t, s) + (x, y).(u, v)) (Propiedad distributiva)

Este nuevo hecho se expresa diciendo que el plano R^2 , dotado con las operaciones suma, producto por un escalar y producto tiene estructura de álgebra conmutativa. Al conjunto (R^2 , +, producto) lo notaremos por C y lo llamaremos el plano complejo. Claramente C está dotado de un producto por un escalar real.

La identificación a 7 −→ (a, 0) permite ver a R como un subconjunto del conjunto de los números complejos. Al número complejo (0, 1) se le denomina unidad imaginaria que notaremos por i o por j.