PR ´
ACTICAS DE MATEM ´
ATICAS CON
DERIVE
Autores:
Curso 2013-2014
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Asignatura: Calculo, Profesor: , Carrera: Ingeniero de Caminos, Canales y Puertos, Universidad: UPM
Tipo: Ejercicios
2013/2014
1 / 69
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Prácticas derive y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
PR ´ACTICAS DE MATEM ´ATICAS CON
DERIVE
Autores:
Santiago Angulo D´ıaz-Parre˜no ([email protected])
Euardo L´opez Ram´ırez ([email protected])
Jos´e Rojo Montijano ([email protected])
Anselmo Romero Lim´on ([email protected])
Alfredo S´anchez Alberca ([email protected])
Curso 2013-
Pr´acticas de C´alculo con Derive Santiago Angulo D´ıaz-Parre˜no, Jos´e Rojo Montijano, Anselmo Romero Lim´on y Alfredo S´anchez Alberca.
Esta obra est´a bajo una licencia Reconocimiento-No comercial-Compartir bajo la misma licencia 2.5 Espa˜na de Crea- tive Commons. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/byncsa/2.5/es/ o en- vie una carta a Creative Commons, 171 Second Street, Suite 300, San Francisco, California 94105, USA.
Con esta licencia eres libre de: Copiar, distribuir y mostrar este trabajo. Realizar modificaciones de este trabajo. Bajo las siguientes condiciones:
Reconocimiento. Debe reconocer los cr´editos de la obra de la manera especificada por el autor o el licenciador (pero no de una manera que sugiera que tiene su apoyo o apoyan el uso que hace de su obra). No comercial. No puede utilizar esta obra para fines comerciales. Compartir bajo la misma licencia. Si altera o transforma esta obra, o genera una obra derivada, s´olo puede distribuir la obra generada bajo una licencia id´entica a ´esta.
Al reutilizar o distribuir la obra, tiene que dejar bien claro los t´erminos de la licencia de esta obra. Alguna de estas condiciones puede no aplicarse si se obtiene el permiso del titular de los derechos de autor Nada en esta licencia menoscaba o restringe los derechos morales del autor.
´Indice general
- Introducci´on a Derive
- 1.1. Introducci´on
- 1.2. Funciones b´asicas
- Funciones Elementales
- 2.1. Fundamentos te´oricos
- 2.1.1. Dominio e imagen
- 2.1.2. Signo y crecimiento
- 2.1.3. Extremos Relativos
- 2.1.4. Concavidad
- 2.1.5. As´ıntotas
- 2.1.6. Periodicidad
- 2.2. Ejercicios resueltos
- 2.3. Ejercicios propuestos
- L´ımites y Continuidad
- 3.1. Fundamentos te´oricos
- 3.1.1. L´ımite de una funci´on en un punto
- 3.1.2. Algebra de l´´ ımites
- 3.1.3. As´ıntotas
- 3.1.4. Continuidad de una funci´on en un punto
- 3.2. Ejercicios resueltos
- 3.3. Ejercicios propuestos
- Derivadas de funciones de una variable
- 4.1. Fundamentos te´oricos
- 4.1.1. Tasas de variaci´on media e instant´anea. La derivada
- 4.1.2. Funci´on derivada y derivadas sucesivas
- 4.1.3. Estudio del crecimiento de una funci´on
- 4.1.4. Determinaci´on de los extremos relativos
- 4.1.5. Estudio de la concavidad de una funci´on
- 4.2. Ejercicios resueltos
- 4.3. Ejercicios propuestos
- Derivadas de funciones de varias variables
- 5.1. Fundamentos te´oricos
- 5.1.1. Derivadas parciales de una funci´on de n variables
- 5.1.2. Derivadas parciales sucesivas de una funci´on de n variables
- 5.1.3. Vector gradiente y matriz hessiana
- 5.1.4. Derivada direccional
- 5.1.5. Derivaci´on impl´ıcita
- 5.1.6. C´alculo de extremos
- 5.2. Ejercicios resueltos
- 5.3. Ejercicios propuestos
- Polinomios de Taylor ´INDICE GENERAL Universidad San Pablo CEU
- 6.1. Fundamentos te´oricos
- 6.1.1. Polinomios de Taylor de funciones de una variable
- 6.1.2. Polinomios de Taylor de funciones de varias variables
- 6.2. Ejercicios resueltos
- 6.3. Ejercicios propuestos
- Integrales
- 7.1. Fundamentos te´oricos
- 7.1.1. Primitivas e Integrales
- 7.1.2. Integral de Riemann
- 7.1.3. Integrales impropias
- 7.1.4. C´alculo de ´areas
- 7.1.5. C´alculo de Vol´umenes
- 7.2. Ejercicios resueltos
- 7.3. Ejercicios propuestos
- Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
- 8.1. Fundamentos te´oricos
- 8.1.1. Ecuaciones diferenciales ordinarias (E.D.O.)
- 8.1.2. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden
- 8.1.3. EDO de variables separables
- 8.1.4. EDO Homog´eneas
- 8.1.5. EDO Lineales
- 8.2. Ejercicios resueltos
- 8.3. Ejercicios propuestos
- Introducci´on a Derive Universidad San Pablo CEU
Figura 1.1 – Ventana principal de Derive.
Como cualquier otra ventana de aplicaci´on de Windows, la ventana principal tiene una barra de t´ıtulo, una barra de men´us con las distintas funciones que puede hacer Derive (c´alculo de l´ımites, derivadas, integrales, representaciones gr´aficas, etc.), una barra de botones que son atajos a las opciones m´as habituales de los men´us, y una barra de estado en la parte inferior que nos indica lo que hace el programa en cada instante. Adem´as, por defecto, en la parte inferior de la ventana aparece el editor de expresiones, que pasamos a describir a continuaci´on.
Edici´on de expresiones
Antes de realizar cualquier c´alculo sobre una expresi´on matem´atica, lo primero es escribir dicha expresi´on y aprender a manipularla.
Introducci´on de expresiones
Para introducir una expresi´on se utiliza el editor de expresiones (figura 1.2), el cual aparece directa- mente en la parte baja de la ventana de Algebra.´
Figura 1.2 – Editor de expresiones.
El editor de expresiones est´a compuesto por una l´ınea de edici´on, que se utiliza para dar forma a las expresiones matem´aticas (tambi´en permite introducir comentarios de texto) que vamos a utilizar con el programa, una barra con las letras del alfabeto griego, a menudo presentes en las expresiones matem´aticas, y una barra de s´ımbolos matem´aticos con los operadores m´as habituales (suma, resta, producto, divisi´on, par´entesis, ra´ız cuadrada) y las constantes que m´as se utilizan (n´umero e, n´umero π...). En el editor de expresiones podemos escribir n´umeros, letras (que ser´an variables), s´ımbolos y ope- radores aritm´eticos y relacionales. Los operadores m´as habituales en la construcci´on de expresiones son los que aparecen en la siguiente tabla:
Universidad San Pablo CEU 1. Introducci´on a Derive
S´ımbolo Operador
- suma
- resta
- producto / cociente ^ potenciaci´on
A la hora de escribir una expresi´on hay que tener en cuenta que Derive tiene establecido un orden de prioridad en la evaluaci´on de los operadores. En primer lugar eval´ua las funciones y constantes predefinidas, despu´es eval´ua las potencias, despu´es productos y cocientes (ambos con igual prioridad y de izquierda a derecha), y por ´ultimo sumas y restas (ambas con igual prioridad y de izquierda a derecha). Para forzar la evaluaci´on de una subexpresi´on, salt´andose el orden de evaluaci´on de Derive, se utilizan par´entesis. As´ı, como se ve en el siguiente ejemplo, dependiendo de c´omo se introduzca una expresi´on pueden obtenerse resultados diferentes.
Expresi´on introducida Expresi´on resultante
4x-1/x-5 4 x −
x
(4x-1)/x- 4 x − 1 x
4x-1/(x-5) 4 x −
x − 5 (4x-1)/(x-5)
4 x − 1 x − 5
Cada vez que introducimos una expresi´on, esta aparece en la ventana de Algebra etiquetada con un n´umero precedido del s´ımbolo de almoadilla #, tal y como se muestra en la figura 1.3. Posteriormente, cada vez que queramos hacer referencia a dicha expresi´on podremos utilizar su etiqueta en lugar de volver a escribir la expresi´on. Es posible seleccionar cualquier expresi´on o subexpresi´on de la ventana Algebra con el rat´on o bien con las teclas del cursor. La tecla F3 permite introducir la expresi´on que tengamos seleccionada en el editor de expresiones.
Modificaci´on de expresiones
Una vez introducida una expresi´on, podemos volver a editarla para realizar cualquier correcci´on o cambio mediante el men´u Editar Expresi´on y aparecer´a la ventana del editor de expresiones con la expresi´on seleccionada.
Eliminaci´on de expresiones
Para eliminar una expresi´on de la ventana de Algebra, basta con seleccionarla y utilizar el men´u Edi tar Borrar y la expresi´on seleccionada desaparecer´a autom´aticamente, mientras que el resto de las expresiones se renumeran autom´aticamente. Tambi´en es posible eliminar bloques completos de expresio- nes consecutivas seleccionando previamente el bloque de expresiones a eliminar. ¡Importante!: Si hemos eliminado alguna expresi´on por equivocaci´on, es posible recuperarla me- diante el men´u Editar Recuperar.
Reordenaci´on de expresiones
Es posible cambiar la posici´on que ocupa una expresi´on en la ventana de Algebra marc´´ andola y arrastr´andola mediante el rat´on hasta la posici´on que queremos que ocupe. Al cambiar la posici´on de una expresi´on, inmediatamente se renumeran las expresiones de la ventana de Algegra.´
Universidad San Pablo CEU 1. Introducci´on a Derive
Sintaxis Explicaci´on #e Constante de Euler e = 2, 71828... pi El n´umero π = 3, 14159... #i El n´umero imaginario i =
inf Infinito ∞ exp(x) Funci´on exponencial ex log(x,a) Logar´ıtmo en base a, loga x ln(x) Logar´ıtmo neperiano ln x sqrt(x) Funci´on ra´ız cuadrada
x sin(x) Funci´on seno sen x cos(x) Funci´on coseno cos x tan(x) Funci´on tangente tg x asin(x) Funci´on arcoseno arc sen x acos(x) Funci´on arcocoseno arc cos x atan(x) Funci´on arcotangente arc tg x
Cuadro 1.1 – Sintaxis de algunas funciones elementales y constantes predefinidas en Derive.
Vectores y matrices
Derive tambi´en permite la manipulaci´on de vectores y matrices. Para crear un vector se utiliza el men´u Introducir Vector. Al seleccionar este men´u aparece un cuadro de di´alogo donde debemos introducir el n´umero de elementos del vector, y tras pulsar S´ı aparece otro cuadro de di´alogo donde deben introducirse las componentes del mismo. Otra forma de introducir vectores es mediante la l´ınea de edici´on, introduciendo entre corchetes las componentes del vector separadas por comas. Por ejemplo, para introducir el vector (x, y, z) escribir´ıamos [x,y,z] (ver figura 1.3). Para crear matrices se utiliza el men´u Introducir Matriz. Con este men´u aparece un cuadro de di´alogo donde debemos introducir las filas y las columnas de nuestra matriz, y tras pulsar S´ı, aparece otro cuadro de di´alogo donde deben introducirse las componentes de la misma. Otra forma de introducir matrices es mediante la l´ınea de edici´on, introduciendo entre corchetes los vectores fila que componen la matriz separados por comas, teniendo en cuenta que, como se explica anteriormente, cada vector debe ir escrito a su vez entre corchetes. As´ı, para introducir por ejemplo la matriz (^) ( 1 2 3 a b c
escribir´ıamos [[1,2,3],[a,b,c]] (ver figura 1.3).
Anotaciones
Es posible asociar a cada expresi´on una peque˜na anotaci´on, o nota. Para ello se selecciona la expresi´on y se utiliza el men´u Editar Anotacion. Dicha anotaci´on aparecer´a en la barra de estado cada vez que seleccionemos la expresi´on y tambi´en es posible imprimirlo junto a la expresi´on.
Manipulaci´on de archivos
Las expresiones y los c´alculos realizados dentro de la ventana de Algebra suelen almacenarse en´ archivos.
Guardar un archivo
Para crear un archivo donde se guarden las expresiones de la ventana de Algebra se utiliza el men´´ u Ar chivo Guardar, y en el cuadro de di´alogo que aparece se le da nombre al archivo y se selecciona la carpeta donde queremos guardarlo. Derive le pone autom´aticamente la extensi´on *.dfw a sus archivos. Una vez creado el archivo, su nombre aparecer´a en la barra de t´ıtulo de la ventana de Derive. Posteriormente,
- Introducci´on a Derive Universidad San Pablo CEU
Figura 1.3 – Ventana de Algebra con distintos tipos de expresiones.
para guardar cambios en una ventana de Algebra, bastar´´ a con seleccionar de nuevo el men´u Archivo Guardar, de manera que el archivo se actualizar´a.
Recuperar un archivo
Para recuperar en una ventana de Algebra el contenido de un archivo se utiliza el men´´ u Archivo Abrir, y en en cuadro de di´alogo que aparece se selecciona el archivo deseado. Autom´aticamente el contenido del archivo aparece en una ventana nueva de Algebra.´
Otra forma de abrir archivos es mediante el men´u Archivo Leer Math, que se utiliza para almacenar en memoria la definici´on de nuevas funciones, presentes en los archivos con extensi´on *.mth, que expanden el potencial de c´alculo del n´ucleo del programa, el cual queda operativo nada m´as arrancar Derive. Al igual que antes aparece un cuadro de di´alogo donde debemos seleccionar el archivo que queremos abrir, s´olo que ahora, el contenido del archivo no aparece en una nueva ventana de Algebra, sino que se a˜´ nade en la ventana de Algebra activa, a continuaci´´ on de las expresiones existentes. Otra forma de proceder con igual resultado es mediante el men´u Archivo Leer Utilidades, que tambi´en permite acceder hasta, y cargar en memoria, los archivos con extensi´on *.mth, pero en este caso el conjunto de expresiones que componen dichos archivos no aparece en la pantalla, aunque s´ı que, al estar cargadas en la memoria del ordenador, ser´an operativas.
Cerrar y abrir nuevas ventanas de ´Algebra
Cuando terminemos una sesi´on de trabajo, podemos cerrar la ventana de Algebra correspondiente´ mediante el men´u Archivo Cerrar. Por otro lado, en cualquier momento de una sesi´on de trabajo podemos abrir, a˜nadidas a la que aparece por defecto, tantas ventanas de Algebra como estimemos´ oportunas mediante el men´u Archivo Nuevo. El programa trabaja con cada una de las ventanas de Algebra activas de forma completamente independiente, lo cual implica, entre otras cosas, que podremos´ utilizar los mismos nombres de variables en todas las ventanas abiertas sin interferencia entre las mismas.
- Introducci´on a Derive Universidad San Pablo CEU
Figura 1.4 – Ventana de gr´aficas en 2 dimensiones.
Figura 1.5 – Ventana de Algebra y de gr´´ aficas en 2 dimensiones en una misma pantalla.
ampliar, aunque es m´as pr´actico utilizar el bot´on Seleccionar el rango, y despu´es utilizar el rat´on para delimitar la zona que queremos ampliar. En la ventana de gr´aficas en 2 dimensiones aparece una cruz que representa al cursor. Las coordenadas del cursor siempre aparecen en la barra de estado. Cuando se pulsa la tecla F3, la cruz se transforma en
Universidad San Pablo CEU 1. Introducci´on a Derive
un cuadradito y se pasa a modo de traza. En este modo, al mover el cursor con las flechas del teclado, el cursor sigue la trayectoria de la funci´on representada, con lo que podemos averiguar los valores que toma la misma en la barra de estado, tal y como se muestra en la figura 1.6.
Figura 1.6 – Ventana de gr´aficas en 2 dimensiones en modo de traza con una gr´afica ampliada.
Es posible centrar la gr´afica de una funci´on en cualquier punto mediante el men´u Seleccionar Rango de la Gr´afica Longitud/Centro, aunque, de nuevo, tal vez sea m´as operativo hacerlo mediante los botones Centrar en el cursor y Centrar en el origen.
Gr´aficas en 3 dimensiones
Para representar una funci´on o expresi´on de dos variables, se selecciona la expresi´on y se utiliza el men´u Ventana Nueva Ventana 3D. Autom´aticamente aparece una ventana de gr´aficas en 3 dimensiones con unos ejes cartesianos, y para que aparezca la gr´afica de la funci´on, basta con pulsar el men´u Insertar Gr´afica de esta ventana. En la figura 1.7 se muestra un ejemplo de gr´afica en 3 dimensiones. Al igual que en el caso de las gr´aficas de 2 dimensiones, existen distintos men´us que permiten cambiar el aspecto de la gr´afica representada. De todos ellos, s´olo comentaremos el men´u Editar Gr´afica N´umero de Paneles que permite cambiar la resoluci´on del gr´afico, y el men´u Seleccionar Posici´on de Ojo que permite cambiar la posici´on desde donde se mira la gr´afica.
Pr´actica de Matem´aticas con Derive 2
Funciones Elementales
1 Fundamentos te´oricos
En esta pr´actica se introducen los conceptos b´asicos sobre funciones reales de variable real, esto es, funciones f : R → R.
1.1 Dominio e imagen
El Dominio de la funci´on f es el conjunto de los n´umeros reales x para los que existe f (x) y se designa mediante Dom f. La Imagen de f es el conjunto de los n´umeros reales y para los que existe alg´un x ∈ R tal que f (x) = y, y se denota por Im f.
1.2 Signo y crecimiento
El signo de la funci´on es positivo (+) en los valores de x para los que f (x) > 0 y negativo (−) en los que f (x) < 0. Los valores de x en los que la funci´on se anula se conocen como ra´ıces de la funci´on. Una funci´on f (x) es creciente en un intervalo I si ∀ x 1 , x 2 ∈ I tales que x 1 < x 2 se verifica que f (x 1 ) ≤ f (x 2 ). Del mismo modo, se dice que una funci´on f (x) es decreciente en un intervalo I si ∀ x 1 , x 2 ∈ I tales que x 1 < x 2 se verifica que f (x 1 ) ≥ f (x 2 ). En la figura 2.1 se muestran estos conceptos.
x 1 <^ x 2
f (x 1 )
≤
f (x 2 )
(a) Funci´on creciente.
x 1 <^ x 2
f (x 1 ) ≤ f (x 2 )
(b) Funci´on decreciente.
Figura 2.1 – Crecimiento de una funci´on.
1.3 Extremos Relativos
Una funci´on f (x) tiene un m´aximo relativo en x 0 si existe un entorno A de x 0 tal que ∀x ∈ A se verifica que f (x) ≤ f (x 0 ). Una funci´on f (x) tiene un m´ınimo relativo en x 0 si existe un entorno A de x 0 tal que ∀x ∈ A se verifica que f (x) ≥ f (x 0 ).
- Funciones Elementales Universidad San Pablo CEU
Diremos que la funci´on f (x) tiene un extremo relativo en un punto si tiene un m´aximo o m´ınimo relativo en dicho punto. Estos conceptos se muestran en la figura 2.2.
x 0 − δ x x 0 x 0 + δ
f (x 0 )
f (x)
≤
b
(a) M´aximo relativo.
x 0 − δ x x 0 x 0 + δ
f (x 0 )
f (x) ≤ b
(b) M´ınimo relativo.
Figura 2.2 – Extremos relativos de una funci´on.
Una funci´on f (x) est´a acotada superiormente si ∃K ∈ R tal que f (x) ≤ K ∀x ∈ Dom f. An´alogamen- te, se dice que una funci´on f (x) est´a acotada inferiormente si ∃K ∈ R tal que f (x) ≥ K ∀x ∈ Dom f. Una funci´on f (x) est´a acotada si lo est´a superior e inferiormente, es decir si ∃K ∈ R tal que |f (x)| ≤ K ∀x ∈ Dom f.
1.4 Concavidad
De forma intuitiva se puede decir que una funci´on f (x) es c´oncava en un intervalo I si ∀ x 1 , x 2 ∈ I, el segmento de extremos (x 1 , f (x 1 )) y (x 2 , f (x 2 )) queda por encima de la gr´afica de f. An´alogamente se dir´a que es convexa si el segmento anterior queda por debajo de la gr´afica de f. Diremos que la funci´on f (x) tiene un punto de inflexi´on en x 0 si en ese punto la funci´on pasa de c´oncava a convexa o de convexa a c´oncava. Estos conceptos se ilustran en la figura 2.3.
x 1 x 2
f (x 1 )
f (x 2 )
(a) Funci´on c´oncava.
x 1 x 2
f (x 1 ) f (x 2 )
(b) Funci´on convexa.
Figura 2.3 – Concavidad de una funci´on.
1.5 As´ıntotas
La recta x = a es una as´ıntota vertical de la funci´on f (x) si al menos uno de los l´ımites laterales de f (x) cuando x tiende hacia a es +∞ o −∞, es decir cuando se verifique alguna de las siguientes igualdades l´ım x→a+
f (x) = ±∞ o l´ım x→a−
f (x) = ±∞
La recta y = b es una as´ıntota horizontal de la funci´on f (x) si alguno de los l´ımites de f (x) cuando x tiende hacia +∞ o −∞ es igual a b, es decir cuando se verifique
l´ım x→−∞ f (x) = b o l´ım x→+∞ f (x) = b
- Funciones Elementales Universidad San Pablo CEU
2 Ejercicios resueltos
- Se considera la funci´on
f (t) =
t^4 + 19 · t^2 − 5 t^4 + 9 · t^2 − 10
Representarla gr´aficamente y determinar a partir de dicha representaci´on:
a) Dominio. Indicaci´on
- Para representarla, podemos definir la funci´on en la l´ınea de editor (o introducirla directamente, sin generar una definici´on), y posteriormente utilizamos el bot´on Ventana 2D para pasar a la ventana de gr´aficas 2D, y all´ı pinchamos en el bot´on Representar Expresi´on).
- Una vez en la Ventana 2D, y ya que vamos a trabajar con la gr´afica de la funci´on durante todo el ejercicio, probablemente convenga el Modo de Traza, en el que el cursor se desplaza a lo largo de la gr´afica. Para ello pinchar en el bot´on Trazar las Gr´aficas.
- Para determinar el dominio tan s´olo hay que determinar los valores de x en los que existe la funci´on.
- Recordar que, tanto para ´este como para el resto de los apartados del ejercicio, pretendemos llegar a conclusiones aproximadas que tan s´olo sacamos del an´alisis de la gr´afica.
b) Imagen. Indicaci´on Fijarse en los valores de la variable y hasta los que llega la funci´on.
c) As´ıntotas. Indicaci´on Son las l´ıneas rectas, ya sea horizontales, verticales u oblicuas, hacia las que tiende la funci´on.
d ) Ra´ıces. Indicaci´on Son los valores de la variable x, si los hay, en los que la funci´on vale 0.
e) Signo. Indicaci´on Hay que determinar, aproximadamente, por un lado los intervalos de variable x en los que la funci´on es positiva, y por el otro aquellos en los que es negativa.
f ) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Indicaci´on De nuevo, por un lado hay que determinar los intervalos de variable x en los que a medida que crece x tambi´en lo hace y, que ser´ıan los intervalos de crecimiento, y tambi´en aquellos otros en los que a medida que crece x decrece y, que ser´ıan los intervalos de decremimiento.
g) Intervalos de concavidad y convexidad. Indicaci´on Para los intervalos de concavidad y convexidad, nos fijamos en el segmento de l´ınea recta que une dos puntos cualquiera del intervalo. Si dicho segmento queda por encima de la gr´afica, entonces la funci´on es c´oncava en el intervalo, mientras que si queda por debajo, entonces es convexa en el mismo.
h) Extremos relativos. Indicaci´on Determinamos, aproximadamente, los puntos en los que se encuentran los m´aximos y m´ınimos relativos de la funci´on.
Universidad San Pablo CEU 2. Funciones Elementales
i) Puntos de inflexi´on. Indicaci´on Determinamos, aproximadamente, los puntos en los que la funci´on cambia de curvatura, de c´oncava a convexa o a la inversa.
- Representar en una misma gr´afica las funciones 2x, ex, 0 , 7 x, 0 , 5 x.
a) A la vista de las gr´aficas obtenidas, indicar cu´ales de las funciones anteriores son crecientes y cu´ales son decrecientes. Indicaci´on
- Aunque podr´ıamos representar en una misma gr´afica todas las funciones dadas a la vez (sin m´as que in- troducir sus expresiones, marcar todas ellas, irnos a la ventana 2D, y pinchando en el bot´on Representar Expresiones), m´as bien conviene representar las funciones una a una, y utilizar el bot´on Insertar Anotaci´on para asignara a cada una de las gr´aficas una peque˜na anotaci´on que nos ayude a distin- guirla de las dem´as. Si desactivamos el modo de trazado y pasamos al modo habitual en el que podemos situarnos con el cursor en cualquier punto de la gr´afica, podemos trasladar la anotaci´on desde la posici´on inicialmente escogida para su ubicaci´on en cualquier otro punto de la gr´afica, sin m´as que pinchar con el rat´on en la anotaci´on, y, manteniendo pulsado el mismo, arrastrar hasta la nueva ubicaci´on.
b) Determinar, a partir de los resultados obtenidos, o representando nuevas funciones si fuera ne- cesario, para qu´e valores de a ser´a creciente la funci´on ax. c) Determinar, a partir de los resultados obtenidos, o representando nuevas funciones si fuera ne- cesario, para qu´e valores de a ser´a decreciente la funci´on ax. Indicaci´on Para los dos apartados anteriores, si no somos capaces de determinar para qu´e valores de a la exponencial es creciente o decreciente, representar en una nueva gr´afica las funciones: (1, 1)x^ , 1 x^ y (0, 9)x^.
- Representar en una misma gr´afica las funciones siguientes, indicando su per´ıodo y amplitud.
a) sen x, sen x + 2, sen (x + 2). b) sen 2x, 2 sen x, sen x 2. Indicaci´on De nuevo, en ambos apartados conviene representar las funciones una a una, e incluir anotaciones que nos hagan recordar a qu´e funci´on corresponde cada gr´afica.
- Representar en una gr´afica la funci´on
f (x) =
− 2 x si x ≤ 0; x^2 si x > 0.
Indicaci´on Para representar funciones a trozos, Derive utiliza una funci´on predefinida llamada chi. La sintaxis de esta funci´on es CHI (a, x, b), donde a u b son los l´ımites de un intervalo, y x es la variable de la funci´on, y se define c´omo:
CHI(a, x, b) =
0 si x < a 1 si a 6 x 6 b 0 si x > b Seg´un esto, para representar la funci´on anterior, habr´ıa que introducir la expresi´on
− 2 x CHI(−inf, x, 0) + x^2 CHI(0, x, inf ) ¡Cuidado!: a pesar de que la funci´on CHI es una funci´on interna del programa, y que, por tanto, deber´ıa permitir que se introdujese en may´usculas o en min´usculas indistintamente, al intentar introducirla en min´usculas da errores. Por ello, es conveniente, y puede que incluso indispensable, introducirla en may´usculas.