calculo multivariable, Diapositivas de Cálculo

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CÁLCULO MULTIVARIABLE

AGENDA

• SUPERFICIES
• DISCUSIÓN DE LA GRÁFICA DE UNA SUPERFICIE
• SUPERFICIE CILÍNDRICA. SUPERFICIE CÓNICA
• SUPERFICIES CUÁDRICAS ( COMPLETAS E INCOMPLETAS )

• SEMANA

OBSERVACIÓN 1 - .- Podemos considerar que las ecuaciones siguientes representan una superficie: a) 𝑥 3 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 1 = 0 b) 𝑥 sin(𝑥𝑦) + 2𝑧 = 0 c) 2 (𝑥 − 3 ) 2 − 4 (𝑦 + 1 ) 2 +𝑧 2 = 1 d) 𝑥 2

• 𝑦 2 = 4 2.- No siempre una ecuación de tres variables representa una superficie a) 𝑥 2
• 2 𝑦 2
• 𝑧 2
• 2 = 0 b) 𝑒 𝑥+𝑦
• 2 𝜋 = 0

Gráfica de 𝑆 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ 3 Ejemplo 𝑆 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ 3 / 𝑧 − 2 𝑥 2 − 4 𝑦 2 = 0 } Dado el conjunto de puntos

La directriz es una curva plana La Generatriz no necesariamente es perpendicular a la Directriz ( o al plano que la contiene ) La Directriz puede ser una curva cerrada.

Observaciones Si la recta generatriz es perpendicular a la curva directriz, entonces la superficie es denominada de “superficie cilíndrica recta”. Ejemplo. 𝑆 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ 3 / 𝑥 = 4 𝑦 2 } a) Si 𝑆 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ 3 / 𝐹 𝑥; 𝑦 = 0 } entonces la recta generatriz es paralela al eje 𝑍. Recta generatriz

c) Si, 𝑆 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ 3 / 𝐹 𝑥; 𝑧 = 0 } entonces la recta generatriz es paralela al eje 𝑌. Ejemplo. 𝑆 = 𝑥; 𝑦; 𝑧 ∈ ℝ 3 / 𝑧 − sen

Recta generatriz

Ejemplo 1 a) Grafique la curva dada por 𝒞 ∶

2 +𝑦 2 = 4 𝑧 = 0 X Y Z 2 − 2 − 2 2 Curva 𝒞 plano 𝑧 = 0 Solución Graficamos el sistema tridimensional. Buscamos las intersecciones de la curva con los ejes coordenados. Luego, efectuamos un trazado suave y uniforme de la curva.

X Y Z Grafique el paraboloide cilíndrico definido por la curva directriz 𝒞 ∶

2 𝑥 = 0 Curva directriz Solución.

• Graficamos una recta generatriz.
• Realizamos copias de la curva directriz.
• Realizamos copias de recta generatriz. Recta generatriz
• Graficamos el sistema tridimensional Ejemplo 2
• Graficamos la curva directriz 2

Ejemplo 3 Grafique la superficie cilíndrica definida por 𝑆: 𝑧 = sen 𝑥 Solución.

• Graficamos una recta generatriz.
• Realizamos copias de la recta y de la curva directriz.
• Graficamos la curva directriz Curva directriz Recta directriz

2. Superficies cuádricas Herramientas de diseño CAD, CAM Gran Teatro Nacional de Beijing Planetario Forest Park Missouri Radiotelescopio De Arecibo Puerto Rico

Superficie cuádrica es la gráfica de una ecuación de segundo grado con tres variables 𝑥, 𝑦, 𝑧. Definición La forma mas general de tal ecuación es 𝐴𝑥 2

• 𝐵𝑥 2
• 𝐶𝑥 2
• 𝐷𝑥𝑦 + 𝐸𝑦𝑧 + 𝐹𝑥𝑧 + 𝐺𝑥 + 𝐻𝑦 + 𝐼𝑧 + 𝐽 = 0 donde 𝐴, 𝐵, … , 𝐽 son constantes. Observación: estudiaremos el caso 𝐷 = 0 , 𝐸 = 0 , 𝐹 = 0.

Consideremos la superficie de ecuación 𝑥 − 1 4 2

• (𝑦 − 3 ) 2

(𝑧 − 1 ) 9 2 = 1 Calcule y dibuje las trazas que se obtienen con los planos 𝑥 = 1 , 𝑦 = 3 𝑦 𝑧 = 1. Solución Traza con el plano: 𝑥 = 1 Elipse: (𝑦 − 3 ) 2

(𝑧 − 1 ) 9 2 = 1 Traza con el plano: 𝑦 = 3 Elipse: 𝑥− 1 4 2

(𝑧 − 1 ) 9 2 = 1 Traza con el plano 𝑧 = 1 Elipse: 𝑥− 1 4 2

• (𝑦 − 3 ) 2 = 1 Paralelo al plano 𝑌𝑍 Paralelo al plano 𝑋𝑍 Paralelo al plano 𝑋𝑌 Ejemplo 4

X Y Z X Y Z 𝑆 Plano 𝑃 Traza Ejemplo 5