¡Descarga Ejercicios con vectores, rectas y planos: parametrización y ecuaciones y más Ejercicios en PDF de Cálculo solo en Docsity!
Grupo de ejercicios 1 – Vectores, rectas y planos: C. X (^) 0 =( 2,0 , − 1 ) , P =(−3,12 , − 2 ) , Q =(− 5 , −1,1) Desarrolle para cada uno de los siguientes ejercicios: Hallar unas ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por el punto X^ 0 y tiene como vector director al vector (^) V → con punto inicial P y punto final Q. Hallamos el vector director V →
= Q − P =( [− 5 −{− 3 } ] , [− 1 − 12 ] , [ 1 −{− 2 } ] )
V
→ =(− 2 , −13,3) Utilizamos la forma general de las ecuaciones paramétricas
x = x 0 + v 1 λ y = y 0 + v 2 λ z = z 0 + v 3 λ Reemplazando nuestro punto X (^) 0 y nuestro vector director (^) V → tenemos:
x = 2 − 2 λ y =− 13 λ z =− 1 + 3 λ Calcular un vector unitario en la dirección de (^) V → V → =(− 2 , −13,3) Primero se halla la magnitud del vector
| V
→
|=|√(− 2 )^2 +(− 13 )^2 +( 3 )^2 |
| V
→
| V
→
Aplicamos la formula de vector unitario
U
→
V
→
| V
→
U
→
Lo distribuimos en cada componente por propiedades de vectores U → =
√^182
√^182
Calcula la ecuación general del plano que pasa por X^ 0 y tenga como vector normal un vector ortogonal a (^) V → y a X^ 0 P Calculamos el vector director de X^ 0 P u →
= P − X 0 =( [− 3 − 2 ] , [ 12 − 0 ] , [− 2 −{− 1 } ] )
u → =(−5,12− 1 ) Utilizamos la forma general de las ecuaciones paramétricas del plano
x = x 0 + v 1 λ + μ u 1 y = y 0 + v 2 λ + μ u 2 z = z 0 + v 3 λ + μ u 3 Reemplazando nuestro punto X^ 0 y nuestros vectores directores (^) V → y (^) u → tenemos:
x = 2 − 2 λ − 5 μ y = 0 − 13 λ + 12 μ z =− 1 + 3 λ − μ Para que ahora conozcamos a la ecuación del plano en forma implícita, proponemos a la siguiente igualdad y resolvemos el determinante:
x − 2 − 2 − 5 y − 13 12
z + 1 3 − 1 |
[ (^ x −^2 )^ (−^13 )^ (−^1 )^ ] +[ (^ y^ )^ (^3 )^ (−^5 )^ ]+^ [(^ z^ +^1 )^ (−^2 )^ (^12 )^ ]−[ (−^5 )^ (−^13 )^ (^ z +^1 )^ ]−[ (^12 )^ (^3 )^ (^ x −^2 )^ ] −[ (−^1 )^ (^ y^ )^ (−^2 )^ ]=^0
( 13 x − 26 − 15 y − 24 z − 24 − 65 z − 65 − 26 x + 52 − 2 y )= 0 − 13 x − 17 y − 89 z − 63 = 0 Ecuación general
