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FORMULARIO DE CÁLCULO VECTORIAL.
VECTORES:
Norma de un vector:
u u un
u
2 2
2
2
1
Vector unitario:
u
u
Producto punto o producto escalar:
=
n
i
u v ui vi uv uv unvn
1
Cosenos directores:
cos ( ) cos ( ) cos ( ) 1
cos( ) ,cos( ) ,cos( ) ;
2 2 2
1 2 3
u
u
u
u
u
u
Angulo entre dos vectores:
u v
u ⋅v
cos( θ)=
Componente de v a lo largo de u:
cos(θ) vcos( θ ) u
u v
u
uv comp (^) u v =
⋅ = =
Producto cruz o producto vectorial:
(^2222) ( )
( )
u v u v u v
u v uvsen
× = − ⋅
× = θ
Área del paralelogramo generado por u y
v: A^ =u×v
Área del triángulo es la mitad del
área del paralelogramo
generado por u y v
Producto cruz o producto vectorial:
1 2 3
1 2 3
iu v vu juv vu kuv v u
v v v
u u u
i j k
u v
× = =
Triple producto escalar:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
w w w
v v v
u u u
u ⋅v×w =
Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w: V =u⋅( v×w )
Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen
del paralelepípedo generado por u, v y w.
RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO.
Ecuación vectorial de la recta: r^ =^ r 0 +tv : donde v es el
vector dirección, r 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y t es un escalar.
Ecuaciones simétricas de la recta:
3
0
2
0
1
0
con vvv
v
z z
v
y y
v
x x
Ecuaciones paramétricas de la recta:
0 3
0 2
0 1
z z tv
y y tv
x x tv
Ecuación vectorial del plano: n⋅^ (^ r−r 0 )=^0 donde n es el
vector normal al plano, r 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y r =(x,y,z).
Ecuación escalar del plano que pasa por P 0 =(x 0 ,y 0 ,z 0 ) y tiene como vector normal a
n =(a,b,c):
a( x− x 0 )+b(y−y 0 )+c(z−z 0 )= 0.
Ecuaciones paramétricas del plano:
0 3 3
0 2 2
0 1 1
z z tv su
y y tv su
x x tv su
= + +^ Distancia de un punto Q a un plano:
2 2 2
0 0 0 ( ) a b c
ax by cz d
n
PQn
D compn PQ
→
→
Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por:
u
PQ u D
×
→
, donde P es un punto cualquiera de la recta.
SUPERFICIES.
Una superficie de revolución tiene la ecuación:
**x 2
- y 2 = [r(z)] 2 girando en torno al eje z**
y
**2
2 = [r(x)]
**2 girando en torno al eje x x 2
- z 2 = [r(y)] 2 girando en torno al eje y**
Superficies cuadráticas:
**Ax 2
- By 2
- Cz 2
- Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0**
Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una
hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide
elíptico, paraboloide hiperbólico.
DERIVADAS PARCIALES
Derivadas parciales de orden superior:
y yx x xy
x xx y yy
f f x y
f
y
f x y y x
f f y x
f
x
f x y x y
f f y y
f
y
f x y y
f f x x
f
x
f x y x
2 2
2
2
2
2
Gradiente de z=f(x,y) ∇f^ (^ x,y)=(fx ,fy).
Gradiente de w=f(x,y,z) ∇f ( x,y,z)=(fx ,fy,fz )
Si F(x,y,z)= z – f(x,y)= 0, entonces un vector
normal a la superficie z está dado por: ∇F ( x,y,z)=(Fx ,Fy,Fz )
La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección
del vector unitario u=(u 1 ,u 2 ) en el punto (x 0 ,y 0 ) está dada por:
1 2 0 0 0 0
0 0 0 0
u u f x y f x y
D f x y u f x y
x y
u
Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto
(x 0 ,y 0 ) entonces: ∆z ≅dz=fx (x 0 ,y 0 )dx+fy(x 0 ,y 0 ) dy
La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el
punto P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) está dada por:
∇F ( x 0 ,y 0 ,z 0 )• ( x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 ) = 0
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano
tangente en el punto P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) es:
( f (^) x(x 0 ,y 0 ),fy(x 0 ,y 0 ),− 1 )•^ (^ x−x 0 ,y−y 0 ,z−z 0 )^ = 0
La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el
punto P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) está dada por:
x =x 0 +Fx ( x 0 ,y 0 ,z 0 )t; y=y 0 +Fy(x 0 ,y 0 ,z 0 )t; z=z 0 +Fz(x 0 ,y 0 ,z 0 ) t
Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta
normal en el punto P=(x 0 ,y 0 ,z 0 ) es:
x = x 0 −fx (x 0 ,y 0 )t; y=y 0 −fy(x 0 ,y 0 )t; z=z 0 + t
Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:
dy y
z dx x
z dz ∂
REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión) Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
∂
REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)
Si z=f(x,y) en donde x=g 1 (s,t); y=g 2 (s,t), entonces:
t
y
y
z
t
x
x
z
t
z
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
∂
DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces:
z
F
y
F
F
F
y
z
z
F
x
F
F
F
x
z
z
y
z
x
CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).
Sea D= fxx(x 0 ,y 0 )fyy(x 0 ,y 0 )- f
2 xy(x 0 ,y 0 ), donde (x 0 ,y 0 ) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:
**1. f(x 0 ,y 0 ) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x 0 ,y 0 )<
- f(x 0 ,y 0 ) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x 0 ,y 0 )>
- f(x 0 ,y 0 ) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<
- EL CRITERIO NO DECIDE SI D=**
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.
Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá
resolver el sistema: 0 ; 0 ; 0
H
y
H
x
H
SEA H xy f x y hx y c
COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.
[ ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
() ()ˆ ()^ ˆ
2
3
2 232
2 23
2 (^22)
2
2
ENEL ESPACIO
RECUERDE QUE LAS FORMULAS CON PRODUCTOS VECTORIALE SSOLO SEAPLICAN A CURVAS
v t
at N t K
r t
r t r t
r t
T t K
FORMULAS PARA LACURVATURA EN ELPLANO OEN EL ESPACIO
C DADA POR x xt y y t x y
xy y x K
C DADA POR y f x
y
y K
FORMULAS PARA LACURVATURA EN EL PLANO
dt
ds K v t
vt a t COMPONENTE SDELA ACELERACIO N a at N t at a
dt
d s
v t
vt a t COMPONENTE SDELA ACELERACIO N a at T t
VECTOR BINORMAL Bt Tt N t
T t
T t VECTOR NORMAL PRINCIPAL UNITARIO N t
r t
r t VECTOR TANGENTE UNITARIO T t
VECTOR ACELERACIO N at r t aTt a N t
r t dt
ds RAPIDEZ v t
VECTOR VELOCIDAD vt r t
rt xti yt j ztk CURVA EN ELESPACIO ENTONCES
rt xti yt j CURVA ENEL PLANO
N T
T
T N
×
×
= ×
[ ] [ ] ∫∫ ∫∫
R R
dS fx x y f y x y dA
AREA DELA SUPERFICIE
2 2
LONGITUD DE ARCO
[ ] [ ] [ ] ∫ ∫
b
a
b
a
s r t dt x t y t z t dt
2 2 2
INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫ ∫
C C
C C
b
C C a
rt xti yt j ztk ENTONCES F dr Mdx Ndy
SI FESUN CAMPO VECTORIAL DELAFORMA F x y z M i
rt xti yt j ENTONCES F dr Mdx Ndy
SI FESUN CAMPO VECTORIAL DELAFORMA F x y Mi N
F dr F Tds F xt yt zt r t dt
() ()ˆ ()ˆ ()^ ˆ
( , , )^ ˆ
() ()ˆ ()^ ˆ
( , )^ ˆ
INTEGRAL DE LÍNEA SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
x
N
y
M
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] ∫ ∫
∫ ∫
C
b
a
C
b
a
f x y z ds f xt yt z t x t y t z t dt
SI C ESTA DADA POR r t xti y t j zt k
f x yds f xt y t x t y t dtj
SI C ESTA DADA POR r t xti y t j
2 2 2
2 2
ˆ ˆ^ ˆ
x
N
k
z
M
x
P
j
z
N
y
P
i
M N P
x y z
i j k
rot F
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS
SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:
∫
∫
C
C
F dr PARA TODA CURVA C CERRADA
F dr ESINDEPENDIE NTE DEL CAMINO
FESCONSERVATI VO ESTO ES F f PARA ALGUNA f
ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.
k
v
z
j
v
y
i
v
x
k r
u
z
j
u
y
i
u
x
DONDE r
AREA DE LA SUPERFICE dS r rdA
u v
S D
u v
: ˆ ˆ ˆ, ˆ ˆ^ ˆ
= = ×
∫ ∫ ∫ ∫
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, ENTONCES
F dr f dr f( x(b),y(b)) f(x(a),y(a ))
C C
∫ ⋅^ =∫∇ ⋅ =^ −
DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR: F ( x,y)=∇f(x,y )
SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES
y
N
x
M
divF x y ∂
SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F
ES z
P
y
N
x
M
divF x y z ∂
TEOREMA DE GREEN
∫ ∫∫
∫ ∫∫ ∫∫
∫ ∫∫
C R
C R R
C R
F Nds div F dA
dA rot F kdA
y
M
x
N
F dr
dA
y
M
x
N
Mdx Ndy
TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS).
Relaciona una integral triple sobre una región
sólida Q, con una integral de superficie sobre la
superficie de Q
∫∫ ∫∫∫
S Q
F NdS div(F) dV
INTEGRALES DE SUPERFICIE
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
∫∫ ∫∫^ [^ ]
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
⋅ = ⋅ ×
R
u v S
S D
R
x y S
S R
x y
x y
F NdS F r r dA Forma vectorial
f xyzdS f xuv yuv zuv dS Forma escalar
Forma paramétric a
F NdS F g xy i g x y j kdA Forma vectorial nor
f xyzdS f x yg xy g xy g x y dAForma e
ds g xy g x y dA
z g xy
2 2
2 2
TEOREMA DE STOKES.
Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada
que constituye el borde de S.
∫ ∫∫
C S
F dr (rot(F)) N dS
