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EJERCICIOS DE INTEGRALES POR DIFERENTES METODOS
Tipo: Ejercicios
1 / 9
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que pasa por el centro de la esfera. Encuentre el volumen del sólido que queda.
z
2
2
2
2
→ En coordenadas cilíndricas
z
2
2
z = 0 ± √
16 − r
2
v = 2 π
∫
2
4
(
√
16 − r
2
√
16 − r
2
) r ⅆr r → Aplicamos sustitución
v = 2 π
∫
2
4
√
16 − r
2
r ⅆr r
u = 16 − r
2
→ ⅆr u =− 2 r ⅆr r
− ⅆr u = 2 r ⅆr r
v =− 2 π ∫
2
4
2 √ u ⅆr u
v =− 2 π
∫
2
4
u
3
2
v =
2
4
2
3
2
v =
− 4 π
[ ( 16 − 16 )
3
2
3
2
]
v =
− 4 π
[ 0 − 12
3
2
]
v =
4 π
v =
π √ 3
2
+y
2
= 4 alrededor de la recta x=3 para formar un solido que
tiene forma de rosquilla, el cual se denomina toro. Determine su volumen.
V ( R )= π
∫
− 2
2
[ ( 3 + √
4 − y
2
)
2
−( 3 − √
4 − y
2
)
2
] ⅆr y
¿ π
∫
− 2
2
[( 9 + 6 √
4 − y
2
)
1
2
−( 9 − 6 √
4 − y
2
)
1
2
] ⅆr y
¿ π
∫
− 2
2
√
4 − y
2
ⅆr y
y = 2 sin θ
ⅆr y = 2 cos θ ⅆr θ
cos θ =
√
4 − y
2
2 cos θ =
√
4 − y
2
¿ π
12
∫ 2 cos θ
2 cos θ
ⅆr θ
¿ 48 π ∫ cos
2
θ ⅆr θ
v =
∫
a
b
π ∙ ¿ ¿
v =
∫
0
6
π ∙
(
x
√
36 − x
2
)
2
dx
v = π
∫
0
6
x
2
36 − x
2
dx
v =
π
∫
0
6
36 x
2
− x
4
dx
v =
π
v =
π
v =
π
v =22.62 u
3
ρ =
m
v
m = ρ ∙ v
m =( 8.5 ) ∙ ( 22.62)
m =192.27 gr
asas. Un pococ de experiencia en casa le convence que puede obtener uno con una
capacidad de 3L, si lo construye con 9cm de profundidad y con un radio de 16cm.
para asegurarse, se imagina la sarten como un solido de revolución, como el que se
muestra a continuación, y calcula su volumen con una integral. ¿Cuál es el volumen
que se tiene realmente?
x
2
2
2
Al hacer girar la región acotada por la gráfica de la función f
x
= x
2
2
2
alrededor de x = 0 , se obtiene el sarten chino.
v =
∫
c
d
π ¿
Limites de integración:
y = -
y= -
v = ∫
− 7
− 16
π ¿
v = ∫
− 7
− 16
π ¿
v = π ¿
v = π
(
3
)
(
3
)
v = π (−1677.7+2729.7)
v = 1053 π u
3
hacer girar las regiones alrededor de los ejes dados. Si se cree que seria mejor
emplear arandelas en cualquier caso, siéntase en libertad para utilizarlas.
x ; y = 2 ; x = 0
alrededor de:
a. el eje X
y = √
x
x = y
2
V ( R )= π ∫
a
b
2
dy
¿ π ∫
0
2
2
2
dy
¿ π
[
y
5
]
¿ π
(
5
)
V ( R )=20.1061 u
3
b. el eje Y
V ( R )= 2 π ∫
a
b
¿ 2 π ∫
0
4
x ( 2 −√ x ) dx
¿ 2 π [
x
2
∫
x. x
1 / 2
dx ]
¿ 2 π [
x
2
∫
x
3 / 2
dx ]
¿ 2 π
[
x
2
2 x
5 / 2
]
¿ 2 π
[
2
√
5
]
=20,1061 u
3
¿ 2 π
∫
0
1
y
y − y
3
dy
¿ 2 π
∫
y
2
− y
4
dy
¿ 2 π
[
y
3
y
5
]
¿ 2 π
[
]
V ( R )=0,8377 u
3
b. La recta y=
V ( R )= 2 π ∫
c
d
¿ 2 π ∫
0
1
( 1 − y )
y − y
3
dy
¿ 2 π
∫
y − y
3
− y
2
4
dy
¿ 2 π
[
y
2
y
4
y
3
y
5
]
¿ 2 π
[
]
=0,7330 u
3
2
y y = x alrededor de:
a. El eje Y
V ( R )= 2 π
∫
a
b
¿ 2 π
∫
0
1
x
2 x − x
2
− x
dx
¿ 2 π
∫
x
2
− x
3
dx
¿ 2 π
[
x
3
x
4
]
¿ 2 π
V ( R )=0,5235 u
3
b. La recta x=
V ( R )= 2 π ∫
a
b
¿ 2 π ∫
0
1
( 1 − x )
2 x − x
2
− x
dx
¿ 2 π
∫
x + x
3
dx
¿ 2 π
x
2
x
4
¿ 2 π
¿ 4,7123 u
3
secciones transversales entre estos planos son cuadrados cuyas bases van del eje X
hasta la curva x
1 / 2
1 / 2
=√ 6
x
1
2
1
2
√
√
x + √
y = √
√ y =√ x −√ 6
√
y )
2
√
√
x )
2
y = 6 − 2 √
6 x + x
v =
∫
0
6
v =
∫
0
6
v =
∫
0
6
36 + 4 x + x
2
√
x + 12 x − 4 x √
x dx
v =
∫
0
6
36 + 16 x + x
2
1
2
− 4 x ∙ x
1
2
dx
v =
∫
0
6
36 + 16 x + x
2
− 24 x
1
2
− 4 x
3
2
dx
v = 36 x +
16 x
2
x
3
24 x
3
2
4 x
5
2
v = 36 x + 8 x
2
x
3
− 16 x √
x −¿
v = 36 ( 6 )+ 8 ¿
v = 576 −
√
v ≈ 199,75838 u
3
