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Documento que muestra el proceso de cómo calcular las derivadas de las funciones f(x) = 3x, 3x + 5x y (x² + 2)(x² + 1) utilizando el proceso del límite, con comprobaciones gráficas en GeoGebra.
Tipo: Ejercicios
Subido el 24/11/2021
1 documento
1 / 40
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Homework № 1 steps 1,2,
Presentado a:
Sergio Andres Duran
Tutor
Entregado por:
JUAN SEBASTIAN CAMACHO DIAZ
Código:
Zona Centro Oriente
CEAD Bucaramanga
Escuela De Ciencias Básicas, Tecnologias E Ingenierías
Ingeniería de Sistemas
Grupo: 100410_
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
VICERRECTORÍA ACADÉMICA Y DE INVESTIGACIÓN
CURSO: CALCULO DIFERENCIAL
06 DE ABRIL DEL 2021
EJERCICIOS ESTUDIANTE 1:
1. De acuerdo con la definición de derivada de una función
𝒇´(𝒙) = lim
h→ 0
f (x +h)−f (x)
h
Calcular la derivada de las siguientes funciones siguiendo el proceso del límite
fx= 3 x
3
Desarrollo del ejercicio 1:
Primero debemos hallar f (x+h), para esto debemos sustituir cada una de las variables x de la
función por f (x+ h) , usando la definición obtenemos lo siguiente:
f ´ (x)=lim
h → 0
3 (x+h)
3
3
h
Ahora debemos multiplicar el 5 por los elementos del paréntesis, y luego resolver el binomio al
cubo, aplicando la ley distributiva en el producto de factores, antes de multiplicarlo por 3.
f ´ (x)=lim
h → 0
3 (x+h)
3
3
h
Resolviendo el binomio y multiplicando el tercer término del numerador por (-) tenemos:
f ´ (x)=lim
h → 0
3
2
2
3
3
− 5 x
h
f ´ (x)=lim
h → 0
¿ 9 x
2
Comprobación en GeoGebra
Imagen 1. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
Link desarrollo en GeoGebra:
https://www.geogebra.org/classic/ce8bkrmw
Imagen 2. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
EJERCICIOS ESTUDIANTE 1:
2. En los ejercicios 2, 3 y 4 calcule la derivada de las siguientes funciones aplicando las reglas de la
derivación.
Calcular la derivada de la siguiente función
f ( x)=( x
2
4
Desarrollo del ejercicio 2:
Separamos los términos del producto en asignándoles valores de s y p, los cuales nos servirán
como guia para hallar la derivada por medio de la formula.
s=(x
2
p=(x
4
Aplicamos la fórmula de la multiplicación:
p∗s ' +s∗p '
Ahora derivamos los componentes s y p para luego aplicarlos en la fórmula:
p=(x
4
p '= 4 x
3
s=(x
2
s ' = 4 x
3
Resolviendo la derivada tenemos:
f
'
2
3
4
Multiplicando los binomios tenemos
f
'
x
= 4 x
5
3
5
Sumando y reduciendo términos 4 x
5
y 2 x
5
tenemos :
f
'
x
= 6 x
5
3
Imagen 1. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
Link desarrollo en GeoGebra:
https://www.geogebra.org/classic/g3hardjk
Comprobacion en GeoGebra CAS
Imagen 2. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
Comprobacion en GeoGebra Rastro de la Derivada
Imagen 3. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
Link ejercicio en GeoGebra:
f ( x)=
8 x
2
−x
9 x+ 8
Tenemos el resultado de la ley de extremos y medios:
f ( x)=
8 x
2
−x
2 ( 9 x + 8 )
Ahora debemos hacer la multiplicación del denominador multiplicando cada uno de los
componentes por 2:
f ( x)=
8 x
2
−x
2 ( 9 x + 8 )
Multiplicando tenemos:
f ( x)=
8 x
2
−x
18 x+ 16
Ahora debemos aplicar la derivada de un cociente como se ve en la siguiente expresión
matemática:
Comprobación en GeoGebra
Imagen 2. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
Comprobación en GeoGebra Rastro de la Derivada
Imagen 3. Evidencia grafica en GeoGebra. Fuente: Autor.
Link ejercicio en GeoGebra: https://www.geogebra.org/classic/g3hardjk
EJERCICIOS ESTUDIANTE 1:
d
dx
u
v
=v .u
v− 1
. u
'
+u
v
. ln u. v
'
Entonces tenemos que la derivada de a es:
a’ =
2
2 x− 1
2
2 x
. ln ( 3 x
2
Ahora se debe hallar la derivada de b
b=(x
2
2
Usamos la fórmula:
f
x
=u
v
f
'
( x)=v. u
v− 1
. u
’
Entonces reemplazamos:
b=(x
2
2
b
'
2
2 − 1
.( 2 x+ 2 )
b
'
2
b
'
= 4 x
3
2
2
b
'
= 4 x
3
2
Ahora tenemos las derivadas de a y b, por lo tanto, se puede aplicar la formula del producto.
f ( x )=a. b
f
'
( x)=a' .b+ a. b '
2
2 x
.(x
2
2
2
2 x− 1
2
2 x
2
2
2
2
2 x
.( 4 x
3
2
EJERCICIOS ESTUDIANTE 1:
5. Calcule la derivada implícita de la siguiente función.
Calcular la derivada implícita de la siguiente función
x
2
. y
2
=x
2
− y
2
Desarrollo del ejercicio 5:
Tenemos que:
dy
dx
= y '
Debemos derivar el producto:
d
dx
u. v=u
'
. v +u. v '
Desarrollamos:
2
'
. y
2
2
2
'
= 2 x− 2 y. y '
2 x
. y
2
2
2 y. y
'
= 2 x− 2 y. y '
2 x y
2
2
y. y '= 2 x− 2 y. y '
2 x y
2
2
y. y '= 2 x− 2 y. y '
2 x
2
y. y
'
2
y '( 2 x ¿¿ 2 y + 2 y )= 2 x + 2 x y
2
y '=
2 x+ 2 xy
2
2 x
2
y + 2 y
Por último, simplificamos y obtenemos el siguiente resultado:
