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348 CAPÍTULO 4 APLICACIONES DE LA DERIVADA
v ( t ) es decreciente. Por consiguiente, la aceleración debe ser negativa y
a t
dv
dt
Tomando antiderivadas, tenemos
v ( t ) m 32 t C
Para determinar C , usamos la información dada v (0) m 48. Esto da 48 m 0 C , de
manera que
v ( t ) m 32 t 48
La altura máxima se alcanza cuando v ( t ) m 0; es decir, después de 1.5 s. Como
s ( t ) m v ( t ), la nueva antiderivada da
s ( t ) m 16 t^2 48 t D
Utilizamos el hecho de que s (0) m 432, tenemos 432 m 0 D ; por consiguiente,
s ( t ) m 16 t^2 48 t 432
La expresión para s ( t ) es válida hasta que la pelota choca contra el suelo. Esto sucede
cuando s ( t ) m 0; o sea, cuando
16 t^2 48 t 432 m 0
o, equivalentemente, t^2 3 t 27 m 0
Con la fórmula cuadrática, resolvemos esta ecuación para obtener
t
3 3 s 13
No consideramos la solución con el signo menos, ya que da un valor negativo para t. En
consecuencia, la pelota choca contra el nivel del suelo después de 3(1 13 ) 2 6.9 s.
500
0 8
FIGURA 5
4.9 Ejercicios
1-22 Encuentre la antiderivada más general de la función. (Compruebe su respuesta mediante la derivación.)
**1. 2.
- 4.**
**5. 6.
- 10.**
11. 12.
17. h 2 sen u sec 2 u 18. f t sen t 2 senh t
t t r u sec tan 2 e
1 t t^2 s t
f t
3 t^4 t^3 6 t^2 t^4
f x
x
f x 3 s x 2 s^3 x f x s^3 x^2 x s x
f x s 2 f x e^2
f x 7 x 2 5^8 x 4 5 f x x 3.4^2 x s^2
f x x 1 2 x 1 f x x 2 x^2
f x^1234 x^2 45 x^3 f x 8 x^9 3 x^6 12 x^3
f x x 3 f x^12 x^2 2 x 6
u
u u u
21. 22. f x
2 x^2 1 x^2
f x
x^5 x^3 2 x x^4
f x 5 e x^ 3 cosh x f x (^2) s x 6 cos x
23-24^ Encuentre la antiderivada^ F^ de^ f^ que satisfaga la condición
dada. Compruebe su respuesta comparando las gráficas de f y F. 23.
24. f x 4 3 1 x^2 1 , F 1 0
f x 5 x^4 2 x^5 , F 0 4
25-48 Halle f. **25.
27.** f x^23 x 2 3 28. f x 6 x sen x
f x x^6 4 x^4 x 1
f x 20 x^3 12 x^2 6 x
En la figura 5 se muestra la función posición de la pelota del ejemplo 7. La gráfica corrobora la conclusión obtenida: la pelota alcanza su altura máxima después de 1.5 s y choca contra el suelo después de 6.9 s.
Se requiere calculadora graficadora o computadora^ 1.^ Tareas sugeridas disponibles en stewartcalculus.com
SECCIÓN 4.9 ANTIDERIVADAS 349
34. ,^ ,
48. f x cos x , f 0 1 , f 0 2 , f 0 3
f x x^2 x 0 f 1 0 f 2 0
f t 2 e t^ 3 sen t , f 0 0, f 0
f x 2 cos x f 0 1 f 2 0
f x x^3 senh x , f 0 1, f 2 2.
f x 4 6 x 24 x^2 f 0 3 f 1 10
f t 3 s t f 4 20 f 4 7
f sen u cos u, f 0 3, f 0 4
f x 8 x^3 5, f 1 0, f 1 8
f x 2 12 x 12 x^2 , f 0 4, f 0 12
f x 4 s 1 x^2 , f ( 12 ) 1
f x x 1 3 f 1 1 f 1 1
f x x^2 1 x f 1 12 f 1 0
f t 2 cos t sec 2 t 2 t 2 f 3 4
f t t 1 t^3 t 0 f 1 6
f t 4 1 t^2 f 1 0
f x 5 x^4 3 x^2 4 f 1 2
f x 1 3 s x f 4 25
f t cos t f t e t^ t^4
u
p p p
p
p
49. Dado que la gráfica de f pasa por el punto (1, 6) y que la pendiente de su recta tangente en ( x , f ( x )) es 2 x 1, encuentre f (2). 50. Encuentre una función f tal que f ( x ) m x^3 y la recta x y m 0 sea tangente a la grafica de f.
51-52 Se proporciona la gráfica de una función f. ¿Qué gráfica es una antiderivada de f y por qué?
51. (^) y 52.
x
f b
c
a
x
y f
b
c
a
53. Se muestra la gráfica de una función en la figura. Trace un esbozo de una antiderivada F , dado que F (0) m 1.
__ y=ƒ
0 1 x
54. En la figura se muestra la gráfica de la función velocidad de una partícula. Trace la gráfica de una función posición.
√
0 t
55. En la figura se muestra la gráfica de f . Dibuje la gráfica de f si ésta es continua y f (0) m 1.
_
x
y
(^0 1 )
1
2 y=fª(x)
56.^ a) Utilice un dispositivo de graficación para dibujar
f x 2 x 3 x. b) A partir de la gráfica del inciso a), dibuje una gráfica aproximada de la antiderivada F que satisfaga F (0) m 1. c) Aplique las reglas de esta sección a fin de hallar una expresión para F ( x ). d) Dibuje F usando la expresión del inciso c). Compare con su esbozo del inciso b).
57-58^ Dibuje una gráfica de^ f^ y utilícela para esbozar la antiderivada
que pasa por el origen
57. , 58. f x s x^4 2 x^2 2 2 , 3 x 3
f x
sen x 1 x^2
2 p^ x 2 p
59-64 Una partícula se mueve de acuerdo con la información dada. Determine la posición de la partícula.
59. 60.
61. , , **62.
64.** a t t^2 4 t 6 , s 0 0 , s 1 20
a t 10 sen t 3 cos t , s 0 0, s 2 12
a t 3 cos t 2 sen t , s 0 0, v 0 4
a t 2 t 1 s 0 3 v 0 2
v t 1.5 s t , s 4 10
v t sen t cos t , s 0 0
p
65. Una piedra se deja caer desde la plataforma superior de observación (la plataforma espacial) de la Torre CN, 450 m por encima del nivel del suelo. a) Encuentre la distancia de la piedra arriba del nivel del suelo en el instante t. b) ¿Cuánto tarda la piedra en llegar al nivel del suelo? c) ¿Con qué velocidad choca contra el nivel del suelo? d) Si la piedra se lanza hacia arriba a una rapidez de 5 mYs, ¿cuánto tarda en llegar al nivel del suelo?
