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CÁLCULO VECTORIAL

NOTAS DEL CURSO

Instituto de Matemática y Estadística

Facultad de Ingeniería

UdelaR

• 1. Teoremas de cálculo infinitesimal en varias variables
  • 1.1. Preliminares
  • 1.2. Extremos relativos y absolutos
    • 1.2.1. Reconocimiento de puntos críticos
    • 1.2.2. Extremos Absolutos
  • 1.3. Función inversa
  • 1.4. Función implícita
  • 1.5. Extremos condicionados
    • 1.5.1. Multiplicadores de Lagrange
• 1. Curvas y Superficies
  • 2.1. Curvas paramétricas
    • 2.1.1. Reparametrizaciones
    • 2.1.2. Longitud de arco
    • 2.1.3. Curvas parametrizadas por longitud de arco
    • 2.1.4. Triedro de Frenet
  • 2.2. Integrales de línea
    • 2.2.1. Integrales de línea de campos escalares
    • 2.2.2. Integrales de línea de campos vectoriales
  • 2.3. Campos de gradientes
    • 2.3.1. Integral de línea de un campo de gradientes
  • 2.4. Rotor y campos irrotacionales
    • 2.4.1. Rotor
    • 2.4.2. Campos irrotacionales
  • 2.5. Divergencia y campos solenoidales
    • 2.5.1. Divergencia
    • 2.5.2. Campos solenoidales
  • 2.6. Superficies paramétricas 4 ÍNDICE GENERAL
    • 2.6.1. Plano Tangente
    • 2.6.2. Área de superficies parametrizadas
    • 2.6.3. Orientación de superficies parametrizadas
  • 2.7. Integrales de superficie
    • 2.7.1. Integrales de campos escalares
    • 2.7.2. Integrales de campos vectoriales
  • 2.8. Teorema de Green
  • 2.9. Teorema de Stokes
    • 2.9.1. Interpretación intrínseca del rotor
    • 2.9.2. Aplicaciones del teorema de Stokes
  • 2.10. Teorema de Gauss
    • 2.10.1. Ley de Gauss del electromagnetismo
    • 2.10.2. Interpretación intrínseca de la divergencia
• 1. Formas diferenciales
  • 3.1. Integrales de formas
    • 3.1.1. Integrales de 1-formas
    • 3.1.2. Integrales de 2-formas
    • 3.1.3. Integrales de 3-formas
  • 3.2. Producto exterior
  • 3.3. Derivada exterior
  • 3.4. Campos en R
  • 3.5. Formas cerradas versus formas exactas
  • 3.6. Teoremas de Green, Stokes y Gauss en el lenguaje de formas

Capítulo 1

Teoremas de cálculo infinitesimal

en varias variables

1.1. Preliminares

Consideremos f : D ⊂ R n^ → R m

f

( x 1 ,... , x n

)

( f 1

( x 1 ,... , x n

) ,... , f m

( x 1 ,... , x n

)) ,

donde f i : D ⊂ R n^ → R son funciones a valores reales y se llaman funciones coordenadas de la función f.

Definición 1.1.1. f : D(⊂ R n ) → R m^ es continua en a sii a ∈ D y dado B f ( a ) existe B a tal que f

( B a ∩ D) ⊂ B f ( a ). Equivalentemente ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que f

( B(a; δ) ∩ D

) ⊂ B

( f (a); ε

) ). Esto equivale, para el caso en que a ∈ D, a decir que

x^ l´ım→ a f^ (x) =^ f^ (a).

Decimos que f es continua en un conjunto S si f es continua en cada punto de S.

Proposición 1.1.2. f : D

( ⊂ R n

) ( →^ R m^ es continua en^ a^ sii^ a^ ∈^ D^ y para toda sucesión x k

) ⊂ D , con x k → a , se cumple f

( x k

) → f (a).

Proposición 1.1.3. f : D

( ⊂ R n

) → R m, f =

( f 1 , f 2 ,... , f m

) , entonces f continua en a sii f i continua en a para i = 1,... , m_._

Una función f : D

( ⊂ R n

) → R es diferenciable en a en el interior de D si su incremento f (a + h) − f (a) puede ser aproximado por una función df a (h) lineal en h.

Es decir f (a + h) − f (a) = df a (h) + r(h), l´ım h → 0

r(h) ‖h‖

1.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS 7

que es la definición de diferenciabilidad para f i , ya que la coordenada i-ésima de una transformación lineal es lineal también. El recíproco es similar.

1. La ecuación 1.3 nos dice de d

( f i

) a (h) =^

( df a

) i (h), coordenada i-ésima de^ df a (h). Sabemos que d

( f i

) a (h) =^ ∇

( f i

) (a) · h y que

∇

( f i

)

( ∂f i ∂x 1

(a),... , ∂f i ∂x n

(a)

) .

Por lo tanto

( J f (a)

) ij =^ d

( f i

) a

( e j

) = ∇

( f i

) (a) · e j =

∂f i ∂x j (a).

Definición 1.1.6. La matriz m×n J f (a) que tiene por filas a los gradientes ∇f 1 (a),... ∇f m (a), se llama matriz Jacobiana de f en a. Para el caso particular m = n, la matriz J f (a) es cuadrada y le podemos calcular su determinante, det

( J f (a)

) , que se llama Jacobiano de f en a y se denota ∂

( f 1 ,... , f n

)

∂

( x 1 ,... , x n

) (^) (a).

Teorema 1.1.7 (Regla de la cadena). Sean g : D g

( ⊂ R k

) → R n^ y f : D f

( ⊂ R n

) → R m, con g

( D g

) ⊂ D f. Si g es diferenciable en a ∈ D g y f es diferenciable en b = g(a). Entonces f ◦ g : D g

( ⊂ R k

) → R m^ es diferenciable en a , y además

d

( f ◦ g

) a =^ df g ( a )^ ◦^ dg a ,

o equivalentemente J f ◦ g (a) = J f

( g(a)

) J g (a).

1.2. Extremos relativos y absolutos

Recordemos que una función de una variable tiene un máximo (mínimo) relativo en un punto si la función toma en él un valor mayor o igual (menor o igual) que en los demás puntos de un entorno y tiene un máximo (mínimo) absoluto en un punto si toma en él un valor mayor o igual(menor o igual) que en cualquier otro punto del dominio.

De forma análoga se definen extremos para funciones en varias variables.

Definición 1.2.1. Sea f : D(⊂ R n ) → R y a ∈ D. Decimos que f tiene en a un

máximo (mínimo) relativo si ∃B a ⊂ D : para todo v ∈ B a f (v) ≤ f (a)

( f (v) ≥ f (a)

) . máximo (mínimo) absoluto si para todo v ∈ D f (v) ≤ f (a)

( f (v) ≥ f (a)

) .

Proposición 1.2.2 (Condición necesaria de existencia de extremo relativo). Si f : D(⊂ R n ) → R tiene extremo relativo y derivadas parciales en a , entonces

∇f (a) =

( 0,... , 0

)

8 CAPÍTULO 1. TEOREMAS DE CÁLCULO INFINITESIMAL EN VARIAS VARIABLES

z

x

y

z=2-x -y^2

a) b)^

z

y

x

z=x +y^2

Figura 1.1: a) Máximo relativo en el origen, b) Mínimo relativo en el origen

Demostración. Sea a =

( a 1 ,... , a n

) y supongamos, por ejemplo, que f tiene un má- ximo relativo en a. Entonces existe B a tal que ∀v ∈ B a f (v) ≤ f (a). Por lo tanto ∀(x, a 2 ,... , a n ) ∈ B a tenemos que f

( x, a 2 ,... , a n

) ≤ f

( a 1 ,... , a n

) , o sea que la función g(x) = f

( x, a 2 ,... , a n

) posee un máximo relativo en a 1. La existencia de f x 1 en a asegura la existencia de g ′^ en a 1 , ya que g ′

( a 1

) = f x 1 (a). Además al ser a interior, también lo es a 1 en el dominio de g. Por el teorema correspondiente al que estamos demostrando pero para funciones de una variable, tenemos que g ′

( a 1

) = 0 , por lo que f x 1 (a) = 0. Análogamente f xi (a) = 0 , para i = 2,... , n.

Ejemplo 1.2.1 { (Mínimo relativo). Consideremos f (x, y) = x^2 + y^2 definida en D = (x, y) : x^2 + y^2 ≤ 1

. En este caso la función f tiene un mínimo relativo, que además es absoluto, en (0, 0). En dicho punto ∇f = (2x, 2y) se anula. El máximo absoluto de f ocurre en la frontera ∂D de D, o sea en

(x, y) : x^2 + y^2 = 1

, por lo que no es un máximo relativo. Además allí ∇f no se anula. Ver figura 1.1 b).

Ejemplo 1.2.2 (Máximo relativo). Consideremos la función f (x, y) = 2 − x^2 − y^2. La superficie que define esta función es un paraboloide de revolución que en las proximidades del origen tiene la forma indicada en la figura 1.1 a). Consideremos el dominio D =

(x, y) : x^2 + y^2 ≤ 2

. En este caso la función tiene un máximo relativo, que además es absoluto, en (0, 0). En dicho punto ∇f = (−2x, −2y) se anula. El mínimo absoluto de f ocurre en la frontera ∂D de D, o sea en

(x, y) : x^2 + y^2 = 2

, por lo que no es un mínimo relativo. Además allí ∇f no se anula.

Definición 1.2.3. a es punto crítico de f sii f es diferenciable en a y ∇f (a) = 0.

Observación 1.2.4. Observar que ∇f (a) puede existir, pero f no ser diferenciable en a.

Por ejemplo, f (x, y) =

0 si xy = 0 1 si xy 6 = 0 , entonces el punto (0, 0) no es un punto crítico de

f.

10 CAPÍTULO 1. TEOREMAS DE CÁLCULO INFINITESIMAL EN VARIAS VARIABLES

1.2.1. Reconocimiento de puntos críticos

Supongamos que a es un punto crítico de f y que f tiene desarrollo de Taylor de orden

1. Tenemos df a (v) = 0 , entonces

f (a + v) − f (a) =

d^2 f a (v) + r(v), con l´ v ım→ 0 r(v) ‖v‖^2

Si consideramos, intuitivamente, que el resto r(v) es despreciable, entonces el signo de d^2 f a (v) determina el signo de ∆f = f (a + v) − f (a).

Si d^2 f a (v) es positivo ∀v 6 = 0 , ∆f ≥ 0 y f tendrá un mínimo en a. Naturalmente, esta versión intuitiva debe ser hecha con rigor, pero nos da una idea de que es relevante saber estudiar el signo de d^2 f , que es un polinomio homogéneo de grado dos, en los incrementos ∆x 1 ,... , ∆x n de las variables. (∆x, ∆y para el caso n = 2 ).

Un polinomio de grado dos en n variables, homogéneo, es llamado forma cuadrática en R n , como se estudió en el curso de Álgebra Lineal. Recordemos algunas definiciones y estudiemos el signo de una forma cuadrática en el caso n = 2.

Hay cinco posibilidades para d^2 f :

1. d^2 f (v) > 0 para todo v 6 = 0 , en este caso se dice que la forma es definida positiva.
2. d^2 f (v) ≥ 0 para todo v, y existe v 6 = 0 tal que d^2 f (v) = 0 , en este caso se dice que la forma es semidefinida positiva.
3. d^2 f (v) < 0 para todo v 6 = 0 , en este caso se dice que la forma es definida negativa.
4. d^2 f (v) ≤ 0 para todo v, y existe v 6 = 0 tal que d^2 f (v) = 0 , en este caso se dice que la forma es semidefinida negativa.
5. Existen v 1 y v 2 tales que d^2 f

( v 1 ) > 0 y d^2 f

( v 2

) < 0, en este caso se dice que la forma es indefinida.

Teorema 1.2.6. Si f tiene un punto crítico en a , y admite desarrollo de Taylor de orden 2 en a , entonces:

1. Si d^2 f a es definida positiva, f tiene un mínimo relativo en a_.

1. Si_ d^2 f a es definida negativa, f tiene un máximo relativo en a_.
2. Si_ d^2 f a es indefinida, f no tiene máximo ni mínimo en a (se dice en este caso que f tiene un punto de silla en a ).

(en el caso d^2 f a semidefinida, el criterio no permite decidir)

Demostración. Por Taylor (y como df a = 0 ),

f (a + v) − f (a) =

d^2 f a (v) + r(v), con (^) v l´ım→ 0 R(v) = 0, donde R(v) = r(v) ‖v‖^2

1.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS 11

⇒ f (a + v) − f (a) = ‖v‖^2

( 1 2

d^2 f a (v) ‖v‖^2

• R(v)

)

= ‖v‖^2

( 1 2

d^2 f a (u) + R(v)

) (∗)

donde u = v/‖v‖, vector de módulo 1 (versor) colineal con v, pertenece a S = ∂B( 0 ; 1 ), compacto de R n.

En (∗) estamos asumiendo que

d^2 f a (v) ‖v‖^2 = d^2 f a

( v ‖v‖^2

)

. Queda como ejercicio probar esta

igualdad.

1. Como d^2 f a : R n^ → R es un polinomio, será una función continua, por lo tanto tiene máximo y mínimo en S. Definamos φ = d^2 f a. Si φ es definida positiva, su mínimo m debe ser positivo (pues m = φ

( u 1

) , para cierto u 1 ∈ S), entonces φ(u) ≥ m > 0 ∀u ∈ S: Si volvemos a la expresión (∗), como (^) v l´ım→ 0 R(v) = 0 , podemos elegir B 0 , una bola centrada en el origen suficientemente pequeña tal que si v ∈ B 0 , entonces |R(v)| < m/2. De lo que se deduce que si v ∈ B 0 ,

φ(u) + R(v) >

m − m 2

= 0 , por lo tanto f (a + v) − f (a) > ‖v‖^2 · 0 = 0. Por lo tanto, si B 0 tiene radio δ, entonces para todo b ∈ B a (δ), f (b) ≥ f (a), de donde f tiene un mínimo relativo en a.

1. Si d^2 f a es definida negativa, entonces d^2 (−f ) a = −d^2 f a es definida positiva, de donde −f tiene un mínimo relativo en a y f un máximo relativo allí.
2. Si d^2 f a es indefinida, entonces existen v 1 , v 2 tal que d^2 f a

( v 1

) > 0 > d^2 f a

( v 2

)

. Sea g : I ⊂ R → R definida por g v (t) = f (a + tv), entonces g (^) v ′(t) = df a + tv (v) y g (^) v ′′ (t) = d^2 f a + tv (v). Por lo tanto g v ( 0 ) = f (a), g (^) v ′( 0 ) = df a (v) = 0 , g (^) v ′′ 1 ( 0 ) > 0 y g (^) v ′′ 2 ( 0 ) < 0. Por resultados de funciones de una variable, existe un δ > 0,tal que si t ∈ B( 0 ; δ) − { 0 }, g v 1 (t) > g v 1 ( 0 ), o sea f

( a + tv 1

) > f (a) y g v 2 (t) < g v 2 ( 0 ), o sea f

( a + tv 2

) < f (a). De donde f no presenta ni máximo ni mínimo en a.

Consideremos f : D ⊂ R n^ → R con derivadas parciales segundas D ij f = ∂

(^2) f ∂xi∂xj continuas en una bola B(a) de centro a. Nuevamente, la fórmula de Taylor de orden 2 de f nos dice que:

d^2 f a (v) =

∑^ n

i = 1

∑ n

j = 1

D ij f (a)v i v j =

vH(a)v t

donde v =

( v 1 ,... , v n

) ∈ R n , v t^ es el vector columna y

H(a) =

( D ij f (a)

) ij

es la matriz Hessiana de f en a. Observar que, como f tiene derivadas parciales segundas continuas, H es una matriz

1.2. EXTREMOS RELATIVOS Y ABSOLUTOS 13

b ) α < 0 , entonces Q es defina negativa.

2. Si det H < 0 , entonces Q _es indefinida.

1. Si_ det H = 0 , entonces Q es semidefinida.

Demostración. H simétrica, entonces es diagonalizable, por lo tanto existen λ 1 y λ 2 vap’s de H. Consideremos el polinomio característico de H, p(λ) = λ^2 − (α + γ)λ + (αγ − β^2 ).

1. Si det H > 0 entonces λ 1 y λ 2 son no nulos y de igual signo. Además αγ > β^2 ≥ 0.

a ) Si α > 0 entonces γ > 0. Por lo tanto λ 1 + λ 2 > 0. Lo cual termina de probar que son positivos y por lo tanto Q definida positiva. b ) Si α < 0 entonces γ < 0. Por lo tanto λ 1 + λ 2 < 0. Lo cual termina de probar que son negativos y por lo tanto Q definida negativa.

1. Si det H < 0 entonces λ 1 y λ 2 son no nulos y de signos opuestos. Entonces Q es indefinida.
2. Si det H = 0 , entonces al menos un valor propio es nulo, entonces λ 1 = 0 y nos queda un único vap que puede ser positivo o negativo. Entonces Q es semidefinida.

Ejemplos 1.2.1. 1. Estudiar los puntos críticos de f (x, y) = x^3 + y^3 − 9xy. Primero veamos como queda el gradiente de f : f x = 3x^2 − 9y, f y = 3y^2 − 9x. Resolviendo ∇f = 0 se obtienen los puntos críticos (0, 0), (3, 3). Para clasificarlos hallemos la matriz H en cada caso.

H =

( f xx (a) f xy (a) f xy (a) f yy (a)

)

( 6x − 9 − 9 6y

) .

En el punto (0, 0), H =

( 0 − 9 − 9 0

) ⇒ det H < 0 ⇒ d^2 f( 0,0 ) indefinida ⇒ (0, 0) es punto silla. En el punto (3, 3), H =

( 18 − 9 − 9 18

) ⇒ det H > 0, como α = 18 > 0 entonces d^2 f( 3,3 ) es definida positiva y por lo tanto (3, 3) es un mínimo relativo.

1. Estudiar los puntos críticos de f (x, y) = x^3 − 3xy^2. Veamos como queda el gradiente de f , f x = 3x^2 − 3y^2 , f y = −6xy. Entonces (0, 0) es el único punto crítico. En (0, 0) , H =

( 0 0 0 0

) y d^2 f es semidefinida (es nula). En este caso el criterio no identifica el tipo de punto. Sin embargo, un argumento directo nos muestra que no es un extremo: f (x, 0) = x^3 , por lo tanto f toma valores positivos negativos en todo entorno de (0, 0) y f (0, 0) = 0.

14 CAPÍTULO 1. TEOREMAS DE CÁLCULO INFINITESIMAL EN VARIAS VARIABLES

1. Consideremos f (x, y) = x^2 + y^2 (x + 1 )^3 , su gradiente es ∇f (x, y) =

( f x , f y

) ( = 2x + y^2 3 (x + 1 )^2 , 2y(x + 1 )^3

) , que si es nulo entonces 2y(x + 1 )^3 = 0 ⇒ y = 0 o x = − 1. Si y = 0 ⇒ 2x = 0 ⇒ x = 0. Si x = − 1 ⇒ f x (−1, y) = − 2 6 = 0 , por lo tanto el único punto crítico es (0, 0). Clasifiquémoslo:

H(x, y) =

( 2 + y^2 6 (x + 1 ) 6y(x + 1 )^2 6y(x + 1 )^2 2 (x + 1 )^3

) ⇒ H(0, 0) =

( 2 0 0 2

)

Por lo tanto (0, 0) es un mínimo relativo, sin embargo no es absoluto ya que f

( −2,

) < f (0, 0).

1.2.2. Extremos Absolutos

Ya se dio la definición anteriormente (Definición 1.2.1). Un caso particular en que se puede asegurar la existencia de extremos (máximo y mínimo) absolutos es cuando el dominio D es compacto y la función es continua (teorema de Weierstrass). Supondremos, en lo que sigue, f diferenciable. Como ya se dijo, un extremo absoluto que se da en un punto interior es también relativo, y por lo tanto un punto crítico. Si se quiere entonces encontrar los extremos absolutos de una función diferenciable en un dominio D compacto, basta entonces estudiar:

1. Los puntos críticos (que estarán en el interior de D).
2. La frontera de D.

Ejemplo 1.2.6. Consideremos la función f : D ⊂ R^2 → R dada por

f (x, y) = x^2 + y^2 − xy − x − y,

donde D =

(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 3

El dominio es el triángulo de vértices O = (0, 0), A = (3, 0) y B = (0, 3). Puntos críticos : f x = 2x − y − 1 = 0 y f y = 2y − x − 1 entonces punto crítico interior a D: (1, 1), además f (1, 1) = − 1. Frontera : Hay que estudiar que pasa en cada lado del triángulo.

Lado OA, 0 ≤ x ≤ 3 , y = 0 , f (x, 0) = x^2 − x, f (x, 0)′^ = 2x − 1 , f (0, 0) = 0 , f

( (^) 1 2 , 0

) = −^14 y f (3, 0) = 6. Entonces

• El máximo de f en OA se da en A y vale 6.
• El mínimo de f en OA se da en

( (^) 1 2

) y vale −^14.

Lado OB, es igual al caso anterior sustituyendo x por y. Entonces

• El máximo de f en OB se da en B y vale 6.
• El mínimo de f en OB se da en

( 0,^12

) y vale −^14.

16 CAPÍTULO 1. TEOREMAS DE CÁLCULO INFINITESIMAL EN VARIAS VARIABLES

En este caso podemos hallar la función inversa, ya que { u = x v = x^2 + y

Entonces es fácil despejar x e y para obtener: { x = u y = v − u^2

Lo cual define a la función inversa f −^1. En este contexto podemos decir que f posee una inversa global en todo el plano. Observemos que el Jacobiano de f es

det

( (^) ∂u ∂x

∂u ∂y ∂v ∂x

∂v ∂y

) = det

( 1 0 2x 1

) = 1.

Lo cual es coherente con la existencia de una inversa diferenciable en todo punto. También podemos verificar la relación de las matrices Jacobianas.

J f (x, y) =

( 1 0 2x 1

)

y

J f −^1 (x, y) =

( 1 0 −2x 1

) .

Es inmediato verificar que J f (x, y)J f − 1 (x, y) = I.

Ejemplo 1.3.2. Consideremos la función f : R^2 → R^2 dada por f (x, y) =

( e x^ cos y, e x^ sin y

) . La matriz Jacobiana de f es

J f (x, y) =

( e x^ cos y −e x^ sin y e x^ sin y e x^ cos y

) .

La misma es invertible ∀(x, y) ∈ R^2 ya que det J f (x, y) = e 2x^^6 = 0. Por lo tanto existe una inversa local en un entorno de cualquier punto. Sin embargo, es evidente que no puede existir una inversa global, porque el punto

( x 0 , y 0

) y el punto

( x 0 , y 0 + 2π

) tienen la misma imagen por f. En (0, 0) por ejemplo

f (0, 0) = (1, 0), J f (0, 0) =

( 1 0 0 1

) .

Entonces existe ( f −^1 en un entorno de (1, 0) de clase C∞, ya que f lo es, y J f − 1 (1, 0) =

1 0 0 1

)− 1

( 1 0 0 1

) .

1.4. FUNCIÓN IMPLÍCITA 17

El problema que aparece en este ejemplo es realmente difícil. El teorema de la función inversa garantiza que si det J f (x 0 ) 6 = 0 , entonces existe una inversa local de clase C k , definida en cierta región que contiene a x 0. Pero no dice gran cosa sobre el tamaño de esa región. Si no hay puntos donde el determinate se anule, como en este ejemplo, entonces el teorema no permite deducir nada sobre el tamaño de la región. Una posibilidad, en casos como el de este ejemplo, es tratar de hecho de despejar x, y como funciones de u, v.

Ejercicio: Intentar ese trabajo en este ejemplo.

Observación 1.3.3. ( 1. El recíproco no es cierto. Basta considerar la función f (x, y) = x^3 , y^3

) que es invertible, y por lo tanto, localmente invertible, en todo R^2 , pero cuyo Jacobiano en (0, 0) es nulo.

1. En el caso de una variable, si f ′(x) 6 = 0 en un intervalo, por ejemplo, puede definirse una inversa global en el recorrido. Uno puede intentar extender esto al caso de R n. Sin embargo, aquí el resultado no es cierto: la función del ejemplo anterior, considerada en todo R^2 , no admite inversa global porque no es inyectiva: f (x, y) = f (x, y + 2kπ), ∀k ∈ Z.

1.4. Función implícita

En muchos problemas se tiene dada una ecuación f (x, y) = 0 verificada por dos va- riables, y se quiere “despejar” y = ϕ(x) (o x = ψ(y)). Esto quiere decir encontrar una función ϕ(x) tal que los puntos (x, y) cumplan f (x, y) = 0 sii y = ϕ(x). De un modo más geométrico, representar la curva f (x, y) = 0 como el gráfico de una fun- ción. Esto no siempre es posible: la ecuación 9x^2 +4y^2 − 1 = 0 , por ejemplo, no es el gráfico de ninguna función y = ϕ(x) o x = ψ(y). Sin embargo, si nos interesa una solución local, es posible, en un entorno de un punto que verifica la ecuación, identificar a la curva con el gráfico de alguna de las siguientes cuatro funciones , y =^12

1 − 9x^2 , y = −^12

1 − 9x^2 , x =^13

1 − 4y^2 o x = −^13

1 − 4y^2. Nos preguntamos si lo anterior es general: es decir, si toda ecuación f (x, y) = 0 , con f suficientemente regular, podra describirse localmente por una función y = ϕ(x) o x = ψ(y).

El siguiente ejemplo muestra que no: con f (x, y) = x^2 − y^2 , f (x, y) = 0 representa el par de rectas y = x, y = −x. En un entorno de O, no es el gráfico de una función. Hace falta, entonces, dar alguna hipótesis para asegurarlo. Si miramos el problema en forma geométrica, f (x, y) = 0 equivale a cortar el plano z = 0 con z = f (x, y).

En un punto a de la intersección, supongamos que existe el plano tangente. Si este plano no es horizontal, cortará al plano z = 0 en una recta, donde siempre puede despejarse y en función de x o viceversa. Es natural que para la curva f (x, y) = 0 ocurra lo mismo.

Veremos a continuación un teorema que asegura que si f es suficientemente regular, y el plano tangente no es horizontal en cierto punto a, se puede escribir en la forma deseada.

Teorema 1.4.1 (Teorema de la función implícita). Sea f : D(⊂ R^2 ) → R de clase C^1 en D tal que f

( x 0 , y 0

) = 0 con

( x 0 , y 0

) ∈ D y f y

( x 0 , y 0

) 6 = 0_. Entonces: existe un rectángulo_

1.4. FUNCIÓN IMPLÍCITA 19

cada x ∈ I, f (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x). Como F

( y 0 − ε

) < 0 y F

( y 0 + ε

) > 0, es claro que ϕ(x) ∈ J ⊂ J.

Hemos demostrado que existe una función ϕ : I → J tal que ∀(x, y) ∈ I × J se tiene:

f (x, y) = 0 ⇔ y = ϕ(x). (1.4)

Probemos a continuación que ϕ es continua y derivable en I.

La continuidad es directa, ya que el ε elegido era cualquiera menor que r, así que, repitiendo el razonamiento para

( x, ϕ(x)

) en lugar de

( x 0 , y 0

) , para cualquier ε > 0, obte- nemos un δ > 0 tal que la función está en J, es decir, a menos de ε de ϕ(x).

Para ver que ϕ es derivable, consideremos a =

( x, ϕ(x)

) , y ∆ϕ = ϕ(x + h) − ϕ(x). Está claro, por la continuidad de ϕ, que ∆ϕ → 0 cuando h → 0. Ahora, por la definición de ϕ y la diferenciabilidad de f en a tenemos:

0 = f

( x+h, ϕ(x+h)

) −f (a) = f x (a)h+f y (a)∆ϕ+R

( h; ∆ϕ

) ‖(h, ∆ϕ)‖ con l´ım b → 0 R(b) = 0.

Como 0 ≤ ‖(1, ∆ϕ/h)‖ ≤ ‖(1, 0)‖ + ‖(0, ∆ϕ/h)‖ = 1 + |∆ϕ/h|, entonces existe θ ∈ [0, 1] tal que ‖(1, ∆ϕ/h)‖ = θ( 1 + |∆ϕ/h|) y tendremos que

‖(h, ∆ϕ)‖ h

= σ 1 ‖(1, ∆ϕ/h)‖ = σ 1 θ

( 1 + |∆ϕ/h|

) = σ 1 θ

( 1 + σ 2 ∆ϕ/h

) σ 1 , σ 2 ∈ {−1, + 1 }

Sustituyendo en la ecuación anterior tenemos

0 = f x (a) + f y (a) ∆ϕ h

+ R

( h, ∆ϕ

) σ 1 θ

( 1 + σ 2 ∆ϕ/h

)

Observar que θ, σ 1 y σ 2 son acotadas, aunque pueden variar en función de h. Despejando ∆ϕ/h obtenemos ∆ϕ h

−f x (a) − R

( h, ∆ϕ

) σ 1 θ f y (a) + R

( h, ∆ϕ

) σ 1 θσ 2

y tomando límites cuando h → 0 se ve que existe ϕ′(x) y vale −f x (a)/f y (a). Finalmente como vale la ecuación (1.2), entonces ϕ′(x) es continua y ϕ ∈ C^1

Observación 1.4.2. 1. Si f y

( x 0 , y 0

) = 0 entonces no se puede afirmar nada. Por ejemplo, podemos considerar f (x, y) = x^2 + y^2 − 1 y el punto

( x 0 , y 0

) = (1, 0). Si f x

( x 0 , y 0 ) 6 = 0 entonces la ecuación f (x, y) = 0 determina localmente a x como función de y. Podemos resumir los dos casos de la siguiente manera si ∇f (a) 6 = 0 entonces existe B a entorno de a =

( x 0 , y 0

) y α : (−ε, ε) → R^2 tal que: α( 0 ) = a, α′(t) 6 = 0 y ∀(x, y) ∈ B a f (x, y) = 0 ⇔ ∃ t ∈ (−ε, ε) : (x, y) = α(t). Si

( x 0 , y 0

) es punto crítico puede suceder que la ecuación no determine función alguna alrededor de

( x 0 , y 0

) .

20 CAPÍTULO 1. TEOREMAS DE CÁLCULO INFINITESIMAL EN VARIAS VARIABLES

1. Si la función f dada es de clase C k^ entonces se concluye fácilmente que ϕ también es C k. En ese caso, para hallar las derivadas sucesivas de ϕ se pueden aplicar las reglas de derivación, y la regla de la cadena en la fórmula (1.2).
2. El teorema anterior puede generalizarse para funciones de más de dos variables. Si f

( x 1 ,... , x n , y

) es una función de n+ 1 variables de clase C^1 , f

( x 10 ,... , x n0 , y 0

)

0 y f y

( x 10 ,... , x n0 , y 0

) 6 = 0 ; entonces existe I × J, (I entorno de

( x 10 ,... , x n

) en R n , J entorno de y 0 ) y ϕ : I → J de clase C^1 tales que

∀

( x 1 ,... , x n , y

) ∈ I × J, f

( x 1 ,... , x n , y

) = 0 ⇔ y = ϕ

( x 1 ,... , x n

) .

Además, como f

( x 1 ,... , x n , ϕ

( x 1 ,... , x n

)) ≡ 0 en I, obtenemos por diferenciación que: ∂ϕ ∂x i

−f xi (a) f y (a)

donde a =

( x 1 ,... , x n , ϕ

( x 1 ,... , x n

)) .

A continuación veremos la versión general del teorema de la función implícita.

Teorema 1.4.3. (Teorema de la función implícita) Sea f : D(⊂ R n + m ) → R m^ de clase C k, a =

( X 0 , Y 0

) interior a D , f (a) = 0 y

det

  

∂f 1 ∂y 1...^

∂f 1 ∂ym .. .

∂fm ∂y 1...^

∂fm ∂ym

   6 =^0

Entonces, existen W 1 ⊂ R n, W 2 ⊂ R m, abiertos que contienen a X 0 y Y 0 respectivamente, y ϕ : W 1 → W 2 de clase C k^ tal que ∀(X, Y ) ∈ W 1 × W 2

f (X, Y ) = 0 ⇔ Y = ϕ(X).

Ejemplos 1.4.1. ( 1. Consideremos la circunferencia x^2 + y^2 = 1 cerca del punto a = √^1 2 ,^ √^1 2

)

. Tomemos la función f (x, y) = x^2 +y^2 − 1 de clase C^2 que en a vale 0. Como f y (x, y) = 2y, entonces f y (a) = √^22 6 = 0 , por lo tanto podemos aplicar el Teorema 1.4.1 y deducir la existencia una función ϕ : I → J para un entorno I de √^12 tal que x^2 + ϕ^2 (x) = 1. La derivada de ϕ en √^12 , será

ϕ′

( 1 √ 2

) = −

f x

( (^) 1 √ 2 , √^12 )

f y

( (^) √ 1 2 ,^ √^1 2

( (^) 1 √ 2 )

2

( (^) √ 1 2

ya que f x (x, y) = 2x. Se puede también proceder “derivando” la ecuación x^2 +y^2 = 1 y obtener 2x+2yy ′^ = 0 de donde y ′^ = − xy. Si x = y = √^12 , tenemos que y ′^ = − 1. De forma similar podemos obtener y ′′^ derivando x + yy ′^ = 0 tenemos 1 + y ′y ′^ + yy ′′^ = 0 de donde si x = y = √^12 y y ′^ = − 1 tenemos 1 + 1 +

( (^) 1 √ 2 ) y ′′^ = 0 ⇒ y ′′^ = − 2