Cálculo vectorial. Conceptos básicos, Apuntes de Análisis funcional

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Calculo Vectorial

Cálculo Vectorial.

Prof. Pedro Antonio Téllez López

Ilse Damaris flores García

Ingeniería en biotecnología

Turno matutino

10-abril-

El cálculo vectorial o análisis vectorial es un campo de las matemá�cas referidas al análisis real mul�variable de vectores en 2 o más dimensiones. Es un enfoque de la geometría diferencial como conjunto de fórmulas y técnicas para solucionar problemas muy ú�les para la ingeniería y la �sica.

MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Existen magnitudes �sicas cuyas can�dades pueden ser expresadas mediante un número y una unidad. Otras, en cambio, requieren una indicación adicional: la dirección y el sen�do.

Magnitud escalar: Una magnitud �sica es escalar cuando queda completamente determinada por el número que expresa su medida (escalar), expresado en alguna unidad conveniente. Por ejemplo: temperatura, �empo, masa, carga eléctrica, potencial eléctrico, energía, etc.

Magnitud vectorial: Una magnitud �sica es vectorial cuando en su determinación necesitamos, además de un número (módulo), una dirección y un sen�do. Esta clase de magnitud recibe el nombre de vector. Por ejemplo: fuerza, velocidad, momento, intensidad del campo eléctrico, etc.

Un vector está determinado por cuatro elementos:

Origen: o punto de aplicación, punto donde se aplica el vector, esto es donde empieza.

Dirección: La misma que �ene la recta sobre la cual está el vector (directriz).

Sen�do: Uno de los dos posibles que define su dirección, representado por la cabeza de la flecha.

Módulo: es la longitud del segmento y representa el valor numérico de la magnitud. Lo representamos por el vector entre barras ∣v⃗∣. Aquel vector de módulo la unidad se llama unitario.

COMPONENTES CARTESIANAS DE UN VECTOR

Las componentes de un vector son las proyecciones del vector sobre los tres ejes coordenados (x, y, z). Sobre cada uno de los tres ejes coordenados están definidos unos vectores cuyo módulo es la unidad, siendo su sen�do el de los ejes posi�vos. Estos vectores unitarios se representan así:

Vector unitario en la dirección del eje x: ⃗i

Vector unitario en la dirección del eje y: ⃗j Vector unitario en la dirección del eje z: ⃗K

Todo vector se puede expresar como la suma de sus componentes, cada una mul�plicada por su vector unitario correspondiente:

⃗ A = Ax ⃗i + Ay ⃗j También se puede expresar : ⃗A ( Ax, Ay)

Una u otra forma es la expresión analí�ca de un vector.

Conocidas las componentes de un vector se puede determinar su módulo:

√ Ax^2 +Ay 2 = A = módulo del vector

Figura 1. A los escalares vx , vy, vz se les llama componentes cartesianas del vector v: v = (vx, vy, vz)

COSENOS DIRECTORES

Para determinar la dirección del vector v hay que conocer los ángulos F 06 1F 02 C^ F 06 2F 02 C^ F 06 7 que forma, respectivamente, el vector v con los ejes coordenados XYZ.

Las componentes tienen por valor:

vx = | v | cos F 06 1 Se verifica la relación: vy = | v | cos F 06 2 cos2F 06 1 + cos2F 06 2 + cos2F 06 7 = 1 vz = | v | cosF 06 7

Es decir, la dirección de la recta directriz del vector queda perfectamente determinada con dos cualquiera de los ángulos.

Se deduce de esto que un vector queda determinado de alguna de las maneras siguientes:

-A partir de sus tres componentes.

-A partir del módulo y dos de los ángulos que forma con el sistema de referencia.

OPERACIONES CON VECTORES

SUMA Y DIFERENCIA DE VECTORES

• Método gráfico:

Para sumar dos vectores se coloca en el extremo del primero el origen del segundo, el vector suma es el que tiene por origen, el origen del primero, y por extremo, el extremo del segundo.

• Método analítico:

V 1 + V 2 = R

De la figura se tiene:

luego, el módulo de R será: Rx = V 2 + V 1 cos F 07 1 R y = V 1 sen F 07 1

F 0 7 C R^

F 0 7 C =

con lo cual

• Componentes:

R F 0B A^ F 07 C R F 07 C =

En componentes, sean los vectores A y B escritos en función de sus componentes cartesianas

A = (Ax, Ay, Az ) B = (B x, B y, B z)

entonces, los vectores suma, S , y diferencia, D , se escriben:

S = A + B = ( Ax + B x, Ay + B y, Az + B z )

D = A - B = ( A x - B x, Ay - B y, Az - B z )

PRODUCTO ESCALAR

Se define el producto escalar de dos vectores v y w , y se representa por v.w , como la cantidad escalar.

RxyV^21 1 2^1 V^12 1 2 222 + R+ V+ V 222 co s+ 2V V co s 2 F 07 1 + 2V V co s F 07 1 F 07 1 + V 2 sen 2 F 07 1

co s F 07 1 = v F 0D 7 w F 0 7 CvF 0 7 CF 0 7 CwF 0 7 C

PRODUCTO VECTORIAL

Se define el producto vectorial de dos vectores v y w, y se representa por v x w, como el vector perpendicular al plano determinado por v y w en la dirección de avance de un tornillo de rosca

derecha que ha sido rotado de v hacia w , por el camino más corto. Su módulo es

| v x w | = | v || w | sen F 07 1

siendo F 07 1 el ángulo que forman los dos vectores.

Si v x w = 0, entonces:

| v | = | w | = 0 ó bien | v | // | w | (F 07 1 = 0° ó F 07 1 = 180°)

Si v y w vienen en función de sus componentes y teniendo en cuenta las relaciones:

i x j = k , j x i = - k i x k = - j , k x i = j

j x k = i , k x j = - i i x i = j x j = k x k = 0

podemos escribir el producto vectorial en forma de determinante:

F 0 E F F 0 E F

v F 0B 4 w = F 0E F F 0E F F 0 E F

F 0 E F

i j k vx

w x

vy

w y

vz

w z

El módulo del producto vectorial es igual al área del paralelogramo formado por los vectores v y w :

Area = | v x w | = | v | | w | sen

| M | = | r x A | = | r | | A | sen F 07 1 = d.| A

| siendo F 07 1 el ángulo que forman los vectores r y A.