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Universidad Tecnológica de México
PROGRAMAS DE INGENIERÍA
CÁLCULO VECTORIAL
Respuestas del Entregable 1
SECCIÓN TEÓRICA
1.- ¿Qué significa que una función 𝑔𝑔(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) sea diferenciable? Explique su respuesta.
Solución:
Se dice que la función 𝒈𝒈(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) es diferenciable si las derivadas parciales
𝒅𝒅𝒈𝒈
𝒅𝒅𝒙𝒙
y
𝒅𝒅𝒈𝒈
𝒅𝒅𝒚𝒚
existe
cerca de los puntos (𝒙𝒙 𝟎𝟎
, 𝒚𝒚
𝟎𝟎
) y son continuas en (𝒙𝒙
𝟎𝟎
, 𝒚𝒚
𝟎𝟎
), entonces podemos decir que
𝒈𝒈 es diferenciable en (𝒙𝒙 𝟎𝟎
, 𝒚𝒚
𝟎𝟎
).
2.- ¿Cuál es la diferencia entre los extremos locales y los extremos absolutos? Justifique
su respuesta.
Solución:
Al ver la imagen anterior, podemos decir que los extremos relativos (máximos y
mínimos locales) se considera el valor de la función 𝒈𝒈(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) que es mayor o menor
que los valores de la función en puntos cercanos, pero no es el mayor o menor de
todos los valores.
En cambio, los extremos absolutos (máximos y mínimos) se considera el valor de
una función 𝒈𝒈(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) que es el mayor o menor valor de dicha función. El máximo
absoluto es el mayor de todos los valores y el mínimo absoluto es el menor de todos
sus valores.
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SECCIÓN PRÁCTICA
3.- Determine si el límite de las siguientes funciones existe o no existe. Explique su
respuesta.
a) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→( 0 , 0 )
𝑥𝑥
6
−3𝑦𝑦
5
𝑥𝑥
4
+6𝑦𝑦
12
b) lim
(𝑥𝑥,𝑦𝑦)→( 0 , 0 )
In �
7+𝑦𝑦
4
𝑥𝑥
4
Solución:
a) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
(𝒙𝒙,𝒚𝒚)→(𝟎𝟎,𝟎𝟎)
𝒙𝒙
𝟔𝟔
−𝟑𝟑𝒚𝒚
𝟓𝟓
𝒙𝒙
𝟒𝟒
+𝟔𝟔𝒚𝒚
𝟏𝟏𝟏𝟏
( 0 )
6
−3( 0 )
5
( 0 )
4
+6( 0 )
12
0
0
Existe una incongruencia matemática y por ende el límite no existe. Esto quiere decir
que para todos los valores diferentes de (0,0) el límite no existe. Ahora realizamos el
método de trayectorias
(𝒙𝒙,𝒚𝒚)→(𝟎𝟎,𝒚𝒚)
𝟔𝟔
𝟓𝟓
𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏
6
5
4
12
−
(𝒙𝒙,𝒚𝒚)→(𝒙𝒙,𝟎𝟎)
𝟔𝟔
𝟓𝟓
𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏
6
5
4
12
2
Como los limites por el método de trayectorias no son iguales, el límite no existe.
b) 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥
(𝒙𝒙,𝒚𝒚)→(𝟎𝟎,𝟎𝟎)
𝟕𝟕+𝒚𝒚
𝟒𝟒
𝒙𝒙
𝟒𝟒
+𝟒𝟒
� = lim
(x,y)→( 0 , 0 )
In �
7+( 0 )
4
( 0 )
4
� = lim
(x,y)→( 0 , 0 )
In �
7
4
7
4
Por lo tanto, el límite existe.
4.- Dada la siguiente función 𝑠𝑠(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧) =
1
�𝑥𝑥
2
+𝑦𝑦
2
+𝑧𝑧
2
verifique que satisface la ecuación de
Laplace en sus tres dimensiones.
2
2
2
2
2
2
= 0
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Solución:
a) 𝒛𝒛 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 𝜽𝜽 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 , 𝜽𝜽 = 𝒔𝒔𝒎𝒎
𝟏𝟏
, 𝒔𝒔 = 𝒔𝒔
𝟑𝟑
𝒎𝒎.
Aplicamos el método de la regla de la cadena para
𝝏𝝏𝒛𝒛
𝝏𝝏𝒔𝒔
3
3
3
2
2
3
Y por otra parte
𝝏𝝏𝒛𝒛
𝝏𝝏𝒎𝒎
3
3
2
3
3
2
b) 𝒔𝒔
𝒓𝒓
𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔𝒄𝒄, 𝒓𝒓 = 𝒔𝒔𝒎𝒎, 𝜹𝜹 =
� 𝒔𝒔
𝟏𝟏
𝟏𝟏
.
Aplicamos el método de la regla de la cadena para
𝝏𝝏𝒛𝒛
𝝏𝝏𝒔𝒔
𝑟𝑟
𝑟𝑟
2
2
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𝑟𝑟
𝑟𝑟
2
2
−
1
2 (2𝑠𝑠)�
𝑟𝑟
𝑟𝑟
2
2
𝑟𝑟
�𝑚𝑚 cos 𝛿𝛿 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛿𝛿 �
2
2
Y por otra parte
𝝏𝝏𝒛𝒛
𝝏𝝏𝒎𝒎
𝑟𝑟
𝑟𝑟
2
2
𝑟𝑟
𝑟𝑟
2
−
1
2 (2𝑚𝑚)�
𝑟𝑟
𝑟𝑟
2
2
𝑟𝑟
�𝑠𝑠 cos 𝛿𝛿 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝛿𝛿 �
2
2
