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T´ECNICAS DE OPTIMIZACI ´ON
Ciencias Ambientales. Primera semana de febrero de 2008. Duraci´on 2 horas.
INSTRUCCIONES. Cada uno de los dos problemas tiene un valor m´aximo de 5 puntos. El ´unico material permitido es calculadora no programable y el libro: Novo V.: Teor´ıa de la optimizaci´on, Aula Abierta, UNED; sin ning´un tipo de anotaci´on (no est´a permitido el uso de fotocopias).
1. Se desea obtener los extremos (m´aximos y m´ınimos) relativos de la funci´on
f (x, y) = x − 3 x^3 − xy^2
en los siguientes casos:
(a) Si no hay ninguna restricci´on.
(b) Si las variables x, y est´an sujetas a la restricci´on x^2 + y^2 − x = 2.
Nota: los resultados han de justificarse.
2. Consid´erese el programa
Optimizar z = x + ky
sujeto a
3 x + 2y ≥ 6
x + 6y ≥ 8
x ≥ 0 , y ≥ 0
(a) Resu´elvase gr´aficamente para k = 2.
(b) Estudiar para los distintos valores de k si tiene soluci´on y en caso afirmativo
determinar si el n´umero de soluciones es finito o infinito.
SOLUCIONES. T´ECNICAS DE OPTIMIZACI ´ON.
Ciencias Ambientales. UNED
Curso 2007-2008. Primera Semana de Febrero de 2008.
- (a) La condici´on necesaria de extremo es ∇f (x) = 0, es decir,
∂f ∂x
∂f ∂y
= (0, 0), que es equivalente al sistema (^) { 1 − 9 x^2 − y^2 = 0 − 2 xy = 0, cuyas soluciones son p 1 = (0, 1), p 2 = (0, −1), p 3 = (1/ 3 , 0) y p 4 = (− 1 / 3 , 0). Examinemos la condici´on suficiente en estos puntos. El Hessiano vale
Hf (x, y) =
− 18 x − 2 y − 2 y − 2 x
Resumimos en la siguiente tabla el estudio de las condiciones suficientes:
p 1 = (0, 1) p 2 = (0, −1) p 3 = (1/ 3 , 0) p 4 = (− 1 / 3 , 0)
Hf (pi)
Forma cuadr. Indefinida Indefinida Def. positiva Indefinida Conclusi´on pto. silla pto. silla m´aximo pto. silla
(b) Usando el m´etodo de los multiplicadores de Lagrange, la lagrangiana de este problema es
L(x, y, λ) = x − 3 x^3 − xy^2 + λ(x^2 + y^2 − x − 2).
La condici´on necesaria de extremo da:
1 − 9 x^2 − y^2 + λ(2x − 1) = 0 − 2 xy + λ(2y) = 0 x^2 + y^2 − x − 2 = 0.
De la segunda ecuaci´on se tiene que y(−x + λ) = 0, de donde resultan dos posibilidades (a) y = 0 ´o (b) λ = x, que examinamos a continuaci´on. (a) y = 0. Sustituyendo en la tercera ecuaci´on, resulta x^2 − x − 2 = 0, de donde x = 2 ´o x = −1. Sustituidos en la primera, resultan, respectivamente, λ = 7 ´o λ = − 8 /3. Con esto, tenemos las soluciones (2, 0; 7) y (− 1 , 0; − 8 /3). (b) λ = x. Sustituyendo en la primera ecuaci´on, resulta 1 − 9 x^2 − y^2 + x(2x − 1) = 0, que simplificando da y^2 = − 7 x^2 − x + 1. Sustituyendo en la tercera ecuaci´on se obtiene x^2 + (− 7 x^2 − x + 1) − x − 2 = 0, que simplificando da 6x^2 + 2x + 1 = 0. Ecuaci´on que no tiene soluci´on, por lo que no tenemos nuevas soluciones en este caso (b). Recopilando tenemos dos candidatos a = (2, 0) con λ = 7 y b = (− 1 , 0) con λ = − 8 /3. Para estudiar la condici´on suficiente, la forma cuadr´atica asociada en p = (x, y) es
φp(h 1 , h 2 ) =
∑^2
i,j=
hihj Di,j L(p, λ) = (− 18 x + 2λ)h^21 − 4 yh 1 h 2 + (− 2 x + 2λ)h^22 ,
(b) En al figura se ha representado el conjunto factible del programa y un representante de las curvas de nivel de la funci´on objetivo del problema para diferentes valores de k. La direcci´on de la flecha que aparece en cada curva de nivel indica la direcci´on de crecimiento del valor de la funci´on objetivo.
Si k < 0, el problema carece de m´aximo y de m´ınimo.
Si k = 0, las curvas de nivel de la funci´on objetivo son las rectas de ecuaci´on x = c, c ∈ R, y por tanto, existen infinitos m´ınimos globales que se alcanzan en todos los puntos de la forma (0, y) para y ≥ 3. En este caso, el problema no tiene m´aximo.
Si k = 2/3, las curvas de nivel de la funci´on objetivo son rectas paralelas a la restricci´on 3 x + 2y = 6 y por ello el problema tiene infinitos m´ınimos globales en todos los puntos del segmento que une los puntos
p 2 = (0, 3), p 0 =
es decir, en los puntos del conjunto
S 1 =
λ(0, 3) + (1 − λ)
: λ ∈ [0, 1]
El problema no tiene m´aximo si k = 2/3.
- Si k = 6, todos los puntos del segmento de extremos p 0 =
y p 1 = (8, 0) son m´ınimos
globales. De nuevo no hay m´aximo global.
- Si k ∈ (2/ 3 , 6), el program tiene un ´unico m´ınimo en p 0 =
y carece de m´aximo.
Si k ∈ (0, 2 /3), existe un ´unico m´ınimo en p 2 = (0, 3) y no hay m´aximo.
Si k ∈ (6, ∞), el problema tiene un ´unico m´ınimo en p 1 = (8, 0) y no existe m´aximo.
