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Tema 8
- Clasificar los puntos cr´ıticos de las siguientes funciones:
(a) f (x, y) = (x − 2)^2 + (y − 1)^2
∇f (x, y) = (2(x − 2), 2(y − 1))
si ∇f (x∗, y∗) = (0, 0) →
{ x∗^ = 2 y∗^ = 1 El punto cr´ıtico es el ¯x∗^ = (2, 1) Calculamos la matriz hessiana:
Hf (x, y) =
( 2 0 0 2
)
Puesto que Hf (x, y) es definida positiva ∀(x, y) ∈ IR^2 , y en particular, en ¯x∗^ = (2, 1), el punto ¯x∗^ es un m´ınimo local estricto de f.
(b) f (x, y) = 4 − x^2 + y^2
∇f (x, y) = (− 2 x, 2 y)
Si ∇f (x∗, y∗) = (0, 0) →
{ x∗^ = 0 y∗^ = 0 , por tanto, el punto cr´ıtico es el x¯∗^ = (0, 0)
La matriz hessiana es Hf (x, y) =
( − 2 0 0 2
) , que es indefinida ∀(x, y) ∈
IR^2 , y en particular en ¯x∗^ = (0, 0), luego ¯x∗^ es un punto de silla.
(c) f (x, y) = x^2 − xy + y^2 − 2 y + x
∇f (x, y) = (2x − y + 1, −x + 2y − 2)
Si ∇f (x∗, y∗) = (0, 0) →
{ x∗^ = 0 y∗^ = 1 , por tanto, el punto cr´ıtico es el x¯∗^ = (0, 1)
La matriz hessiana es Hf (x, y) =
( 2 − 1 − 1 2
) , que es definida positiva
∀(x, y) ∈ IR^2 , y en particular, en ¯x∗^ = (0, 1), luego el punto ¯x∗^ es un m´ınimo local estricto de f.
(d) f (x, y) = (x^2 + y^2 )e−(x (^2) +y (^2) )
∇f (x, y) = (2xe−(x (^2) +y (^2) ) − 2 x(x^2 + y^2 )e−(x (^2) +y (^2) ) , 2 ye−(x (^2) +y (^2) ) − 2 y(x^2 + y^2 )e−(x (^2) +y (^2) ) ) = (2xe−(x
(^2) +y (^2) ) [1 − (x^2 + y^2 )], 2 ye−(x
(^2) +y (^2) ) [1 − (x^2 + y^2 )])
Si ∇f (x∗, y∗) = (0, 0) →
x∗ 1 = 0, x∗ 2 = 0, x∗ 3 = 1,
y∗ 1 = 0 y∗ 2 = 1 y∗ 3 = 0 Por tanto, los puntos cr´ıticos son ¯x∗ 1 = (0, 0), ¯x∗ 2 = (0, 1) y ¯x∗ 3 = (1, 0). La matriz hessiana es ( 2 e−(x (^2) +y (^2) ) [(1 − 2 x^2 )(1 − (x^2 + y^2 )) − 2 x^2 ] − 4 xye−(x (^2) +y (^2) ) [2 − (x^2 + y^2 )] − 4 xye−(x (^2) +y (^2) ) [2 − (x^2 + y^2 )] 2e−(x (^2) +y (^2) ) [(1 − 2 y^2 )(1 − (x^2 + y^2 )) − 2 y^2 ]
)
En particular,
( 2 0 0 2
) , que es definida positiva, por tanto, el punto x¯∗ 1 = (0, 0) es un m´ınimo local estricto de f.
( − 4 e−^1 0 0
) , que es semidefinida negativa, por tanto,
el punto ¯x∗ 3 = (1, 0), es un m´aximo global.
( 0 0 0 − 4 e−^1
) , que es indefinida, por tanto, el punto
x¯∗ 2 = (0, 1), es un punto de silla.
- Calcular la matriz hessiana de la funci´on f (x, y) = x^2 + y^2 en el punto (1, 1) y clasificar el punto (1, 1).
∇f (x, y) = (2x, 2 y)
Calculamos la matriz hessiana, Hf (x, y) =
( 2 0 0 2
) , ∀(x, y) ∈ IR^2
En particular Hf (1, 1) =
( 2 0 0 2
) , que es definida positiva, luego el punto
x¯∗^ = (1, 1) es un m´ınimo local estricto de f.
- Una empresa productora de dos bienes tiene las siguientes funciones de demanda y coste: Q 1 (P 1 , P 2 ) = 40 − 2 P 1 − P 2 Q 2 (P 1 , P 2 ) = 35 − P 1 − P 2 C(Q 1 , Q 2 ) = Q^21 + 2Q^22 + 10
Hallar los niveles de producci´on (Q 1 y Q 2 ) y los precios (P 1 y P 2 ) que maxi- mizan el beneficio. Discutir si dicho m´aximo es global.
- Discutir el car´acter de los puntos cr´ıticos de la funci´on
f (x, y) = ax^2 + 2bxy + cy^2 + dx + ey + f
seg´un los valores de los par´ametros reales a, b, c, d, e y f , siendo ac − b^2 6 = 0.
∇f (x, y) = (2ax + 2by + d, 2 bx + 2cy + e)
Hallamos los puntos cr´ıticos:
∇f (x, y) = (0, 0) →
{ 2 ax + 2by + d = 0 2 bx + 2cy + e = 0
(I)
(II)
Multiplicamos (I) por ”-b” y (II) por ”a”: − 2 abx − 2 b^2 y − bd = 0 2 abx + 2acy + ae = 0 2 y(−b^2 + ac) + ae − bd = 0 y∗^ = (^) 2(bdac−−aeb (^2) ) siendo ac − b^2 6 = 0.
De (I) tenemos: 2 ax+ 62 b
( bd−ae 6 2(ac−b^2 )
)
(^2) d−abe+d(ac−b (^2) ) (ac−b^2 ) →^ x
∗ (^) = b^2 d−abe+d(ac−b^2 ) 2 a(ac−b^2 )
Luego el punto cr´ıtico es, x¯∗^ =
( (^) b (^2) d−abe+d(ac−b (^2) ) 2 a(ac−b^2 ) ,^
bd−ae 2(ac−b^2 )
)
Calculamos la matriz hessiana,
Hf (x, y) =
( 2 a 2 b 2 b 2 c
) , ∀(x, y) ∈ IR^2
|Hf (x, y)| = 4ac− 4 b^2 = 4(ac−b^2 ) 6 = 0, por la condici´on dada en el enunciado. Puesto que |Hf (x, y)| 6 = 0, la matriz hessiana no puede ser semidefinida positiva, ni semidefinida negativa. Las posibilidades que tenemos son definida positiva, definida negativa e indefinida. Estudiemos los distintos casos:
Hf (x, y) es definida positiva ∀(x, y) ∈ IR^2 , luego ¯x∗^ es un m´ınimo local estricto de f.
Hf (x, y) es definida negativa ∀(x, y) ∈ IR^2 , luego ¯x∗^ es un m´aximo local estricto de f.
Hf (x, y) es indefinida ∀(x, y) ∈ IR^2 , luego ¯x∗^ es un punto de silla.
- Hallar y clasificar los puntos cr´ıticos de la funci´on
f (x 1 , x 2 ) = ax 1 x 2 + b(
x 1
x 2
siendo a, b ∈ IR, a 6 = 0, b 6 = 0.
∇f (x 1 , x 2 ) =
( ax 2 − (^) xb 2 1 , ax 1 − (^) xb 2 2
)
Hallamos los puntos cr´ıticos:
∇f (x 1 , x 2 ) = (0, 0) →
ax 2 − (^) xb 2 1 = 0 → x 2 = (^) axb 2 1 ax 1 − (^) xb 2 2
Sustituyendo, ax 1 − ( b axb 1
) 2 = 0 → ax 1 − ba
(^2) x (^21) b^2 = 0
ax 1 − a
(^2) x (^21) b = 0^ →^ x^1
( a − a (^2) x 1 b
) = 0
→
{ x 1 = 0 a − a
(^2) x 1 b = 0^ →^ x
∗ 1 =^
b a x 1 = 0 no lo tenemos en cuenta, pues x 2 no estar´ıa definida. x∗ 2 = b a( ba )^2 = ab
Luego el punto cr´ıtico es, ¯x∗^ =
( b a ,^
a b
) , con a 6 = 0,b 6 = 0 y a, b ∈ IR. Calculamos la matriz hessiana,
Hf (x 1 , x 2 ) =
2 b x^31 a a (^2) xb 3 2
(^) ∀(x 1 , x 2 ) ∈ IR^2
Particularizamos para nuestro punto ¯x∗^ =
( b a ,^
a b
) y nos queda,
Hf
( b a ,^
a b
)
2 a^3 b^2 a a 2 b 4 a^3
y adem´as
∣∣ ∣Hf
( a b ,^
b a
)∣∣ ∣ = 2 b
4 6 a^6 3 ·^
26 a^6 b^2 −^ a
(^2) = 4b (^2) − a 2
Estudiemos el car´acter de Hf
( b a ,^
a b
) , para los distintos valores de ”a” y ”b”:
- Si a > 0 y 4b^2 − a^2 > 0, Hf
( (^) b a ,^
a b
) es definida positiva, luego el punto ¯x∗^ =
( (^) b a ,^
a b
) es un m´ınimo local estricto de f.
- Si a < 0 y 4b^2 − a^2 > 0, Hf
( b a ,^
a b
) es definida negativa, luego el punto ¯x∗^ =
( b a ,^
a b
) es un m´aximo
- Si a > 0, b > 0 y 4ac − d^2 > 0, Hf (0, 0 , 0) es definida positiva, luego el punto ¯x∗^ = (0, 0 , 0) es un m´ınimo local estricto de f.
- Si a < 0, b < 0 y 4ac − d^2 > 0, Hf (0, 0 , 0) es definida negativa, luego el punto ¯x∗^ = (0, 0 , 0) es un m´aximo local estricto de f.
- Si a > 0, b > 0 y 4ac − d^2 = 0, Hf (0, 0 , 0) es semidefinida positiva (y por tanto, convexa), luego ¯x∗^ = (0, 0 , 0) es un m´ınimo global de f.
- Si a < 0, b < 0 y 4ac − d^2 = 0, Hf (0, 0 , 0) es semidefinida negativa (y por tanto, c´oncava), luego ¯x∗^ = (0, 0 , 0) es un m´aximo global de f.
- Si ab < 0, Hf (0, 0 , 0) es indefinida, luego ¯x∗^ = (0, 0 , 0)es un punto de silla.
- Consideremos una empresa monopol´ıstica que vende un ´unico bien en tres mercados separados para los que se tienen las tres funciones siguientes de ingreso medio: P 1 = 63 − 4 Q 1 , P 2 = 105 − 5 Q 2 y P 3 = 75 − 6 Q 3. La funci´on de costes es C = 20 + 15Q + Q^2. Hallar las cantidades y los precios de equilibrio.
Las funciones de ingreso en cada mercado son: I 1 (q 1 ) = p 1 q 1 = (63 − 4 q 1 )q 1 = 63q 1 − 4 q^21 I 2 (q 2 ) = p 2 q 2 = (105 − 5 q 2 )q 2 = 105q 2 − 5 q 22 I 3 (q 3 ) = p 3 q 3 = (75 − 6 q 3 )q 3 = 75q 3 − 6 q^23
siendo la funci´on de ingresos de la empresa, I(q 1 , q 2 , q 3 ) = I 1 (q 1 ) + I 2 (q 2 ) + I 3 (q 3 )
y por tanto, la funci´on de beneficios es, B(q 1 , q 2 , q 3 ) = I(q 1 , q 2 , q 3 ) − C(q 1 + q 2 + q 3 ),
donde hemos supuesto que q = q 1 + q 2 + q 3 , es la cantidad total producida. Luego, B(q 1 , q 2 , q 3 ) = − 5 q 12 − 6 q^22 − 7 q^23 − 2 q 1 q 2 − 2 q 2 q 3 − 2 q 1 q 3 + 48q 1 + 90q 2 + 60q 3 − 20 El programa es,
m´axB(q 1 , q 2 , q 3 )
Aplicamos las condiciones de primer orden, ∂B ∂q 1 = 0^ → −^10 q^1 −^2 q^2 −^2 q^3 + 48 = 0 ∂B ∂q 2 = 0^ → −^12 q^2 −^2 q^1 −^2 q^3 + 90 = 0 ∂B ∂q 3 = 0^ → −^14 q^3 −^2 q^2 −^2 q^1 + 60 = 0
^ quedando el sistema,
− 10 q 1 − 2 q 2 − 2 q 3 + 48 = 0 − 12 q 2 − 2 q 1 − 2 q 3 + 90 = 0 − 14 q 3 − 2 q 2 − 2 q 1 + 60 = 0
que tiene por soluci´on
q¯∗^ =
( 282 97 ,^
633 97 ,^
285 97
) que es el punto cr´ıtico.
La matriz hessiana es,
HB(q 1 , q 2 , q 3 ) =
, ∀(q 1 , q 2 , q 3 )^ ∈^ IR 3
Llamando Di, i = 1, 2 , 3, a los menores principales, tenemos: D 1 = − 10 D 2 =
∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣ = 116
D 3 = |HB(q 1 , q 2 , q 3 )| =
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
∣∣ ∣∣ ∣∣ ∣
Luego, HB(q 1 , q 2 , q 3 ) es semidefinida negativa (y por tanto, c´oncava), entonces q¯∗^ =
( 282 97 ,^
633 97 ,^
285 97
) es un m´aximo global de B.
Las cantidades son, q 1 = 28297 ' 3 unidades q 2 = 63397 ' 6 .5 unidades q 3 = 28597 ' 3 unidades
vendi´endose a los precios, p 1 = 51.37 u.m. p 2 = 72.37 u.m. p 3 = 57.37 u.m.
y obteni´endose un beneficio de,
B
) = 431. 57 u.m.
- Obtener los m´aximos y m´ınimos locales y globales, si los hubiera, de la funci´on f (x, y) = 2x^2 + y^2 + 8x − 6 y + 20.
Hallamos los puntos cr´ıticos,
∇f (x, y) = (0, 0) →
{ 4 x + 8 = 0 → x∗^ = 2 2 y − 6 = 0 → y∗^ = 3
Luego el ´unico punto cr´ıtico es el ¯x∗^ = (2, 3) Calculamos la matriz hessiana,
Hf
( (^1) / 2 ,^
)
( − (^3) / 2
) que es definida negativa, luego
( (^1) / 2 ,^
)
es un m´aximo local. Por otro lado, en las rectas x = 0 e y = 0, la funci´on f se anula. Para la recta x = 1, f (1, y) = −y^3 es negativa (y > 0), y cuando y = 1, como f (x, 1) = −x^3 tambi´en es negativa la funci´on (x > 0). As´ı pues, los puntos del conjunto,
{(x, y) ∈ IR^2 : x = 0, 0 ≤ y ≤ 1 } ∪ {(x, y) ∈ IR^2 : y = 0, 0 ≤ x ≤ 1 }
son m´ınimos locales de f en A. En el punto (1, 1) la funci´on, aunque ∇f (1, 1) 6 = (0, 0) (obs´ervese que no se cumple la condici´on necesaria), tiene m´ınimo global. El punto
( (^1) / 2 ,^
) es el m´aximo global.
(b) f (x, y) = xy, sobre el tri´angulo de v´ertices (0, 0), (1, 0) y (0, 1).
Llamaremos D al tri´angulo de v´ertices (0, 0),(1, 0) y (0, 1). Por el toerema de Weierstrass, la funci´on f (x, y) = xy alcanzar´a m´aximo y m´ınimo global en el conjunto D. Adem´as los puntos ´optimos pertenecen a D.
Calculamos el gradiente, ∇f (x, y) = (y, x) → si ∇f (x, y) = (0, 0) → x∗^ = y∗^ = 0 → ¯x∗^ = (0, 0) ∈ D es un punto cr´ıtico.
En (0, 0) no son aplicables las condiciones de segundo orden, pues (0, 0) no es un punto interior a D. Estudiemos el comportamiento de f en D,
- Si x = 0 → f (0, y) = 0
- Si y = 0 → f (x, 0) = 0
- Si x + y = 1 → f (x, 1 − x) = x(1 − x) = h(x) Derivamos e igualamos a cero, h′(x) = 1 − 2 x = 0 → x =^1 / 2 h′′(x) = − 2 < 0 → x =^1 / 2
es m´aximo global de h.
El valor m´ınimo de f en D es 0, y se alcanza en cualquier punto de los catetos del tri´angulo D, luego (0, 0)es un m´ınimo global de f en D. El valor m´aximo de f en D es^1 / 4 y se alcanza en el punto
( (^1) / 2 ,^
) . Ve´amoslo:
- Supongamos que ∃(x∗ 1 , x∗ 2 ) ∈ D/f (x∗ 1 , x∗ 2 ) > 14. Dicho punto ser´a tal que x∗ 1 + x∗ 2 < 1 o bien x∗ 1 + x∗ 2 = 1, siendo en ambos casos x∗ 1 > 0 y x∗ 2 > 0.
- Si x∗ 1 + x∗ 2 = 1 → x∗ 1 = 1 − x∗ 2 y f (x∗ 1 , x∗ 2 ) = f (1 − x∗ 2 , x∗ 2 ) = x∗ 2 (1 − x∗ 2 ) > 14 s´ı y s´olo si (x∗ 2 )^2 − x∗ 2 + 14 < 0 lo cual es contradicci´on pues (x∗ 2 )^2 − x∗ 2 + 14 =
( x∗ 2 − (^12)
) 2 > 0.
- Si x∗ 1 + x∗ 2 < 1 → x∗ 1 < 1 − x∗ 2 y 14 < f (x∗ 1 , x∗ 2 ) = x∗ 1 x∗ 2 < (1 − x∗ 2 )x∗ 2 si y s´olo si 14 < x∗ 2 − (x∗ 2 )^2 lo cual tambi´en es una contradicci´on.
Por tanto, el m´aximo global de f en D se alcanza en
( 1 2 ,^
1 2
) aunque no se cumple la condici´on necesaria ∇f
( 1 2 ,^
1 2
) 6 = (0, 0).
- Para la funci´on f (x, y) = (3 − x)(3 − y)(x + y − 3), identificar los puntos cr´ıticos y clasificarlos. Estudiar su car´acter global.
Hallamos los puntos cr´ıticos, ∇f (x, y) = (0, 0) ∇f (x, y) = ((3 − y)(6 − 2 x − y), (3 − x)(6 − 2 y − x)) = (0, 0)
{ (3 − y)(6 − 2 x − y) = 0 (3 − x)(6 − 2 y − x) = 0 obteniendo como puntos cr´ıticos ¯x∗ 1 =
( (^3) / 2 ,^3
) y ¯x∗ 2 =
( 3 , 3 / 2
) . Calculamos la matriz hessiana,
Hf (x, y) =
( −2(3 − y) −9 + 2x + 2y −9 + 2x + 2y −2(3 − x)
) ∀(x, y) ∈ IR^2
En particular,
( (^3) / 2 ,^3
)
( 0 0 0 − 3
) que es indefinida, luego el punto ¯x∗ 1 =
( (^3) / 2 ,^3
)
es un punto de silla.
( 3 , 3 / 2
)
( − 3 0 0 0
) que es semidefinida negativa, entonces ¯x∗ 2 = ( 3 , 3 / 2
) es un m´aximo local de f. Adem´as, f es c´oncava, por tanto x¯∗ 2 =
( 3 , 3 / 2
) es tambi´en un m´aximo global.
En estas condiciones, existen Ux∗^ y Uy∗^ entornos de x∗^ e y∗^ respectivamente, y una funci´on h : Ux∗ −→ Uy∗ tal que:
- y∗^ = h(x∗)
- g(x, h(x)) = b, ∀x ∈ Ux∗
- h es continua y derivable en Ux∗ siendo la derivada de la funci´on h en x∗ igual a h′(x∗) = −
∂g ∂x ∂g (x∗,y∗) ∂y (x∗,y∗) Por tanto, en un entorno de (x∗, y∗), el programa original se reduce a min F (x, h(x)) ←→ min f (x) con f (x) = F (x, h(x)). Las condiciones necesarias de primer orden para un programa sin restricciones son f ′(x) = 0. Ahora bien, en x∗^ se tiene
∂f ∂x =^
∂F ∂x +^
∂F ∂y ·^
∂h ∂x = 0
Sustituyendo la derivada de h respecto de ”x” por su valor tenemos:
∂F ∂x −
∂F/
∂y ∂g/ ∂y
∂g∂x = 0 (1)
Por otra parte, podemos escribir la siguiente identidad:
∂F ∂y −
∂F/
∂y ∂g/ ∂y
∂g ∂y = 0 (2)
Si llamamos λ∗^ = −∂F∂g^ //∂y∂y (x∗, y∗), entonces (1) y (2) se pueden expresar como:
∂F ∂x (x
∗, y∗) + λ∗ ∂g ∂x (x
∗, y∗) ∂F ∂y (x
∗, y∗) + λ∗ ∂g ∂y (x
∗, y∗)
} (3)
Obs´ervese que las ecuaciones (3) junto con la restricci´on g(x, y) = b, son las condiciones necesarias de primer orden para programas con restricciones de igualdad.
- Demostrar que, sobre la recta y = mx, la funci´on f (x, y) = 3x^3 − 4 x^2 y + y^2 tiene un m´ınimo en (0, 0) pero que no existe m´ınimo en un entorno bidimensional del origen.
min f (x, y) = 3x^3 − 4 x^2 y + y^2 s.a. y = mx
}
Sustituyendo la restricci´on en la funci´on objetivo, se obtiene un programa sin restricciones con una ´unica variable de decisi´on,
min 3x^3 − 4 mx^3 + m^2 x^2 x ∈ <
}
Los puntos cr´ıticos de la funci´on objetivo f (x) = (3 − 4 m)x^3 + m^2 x^2 son las soluciones de,
f ′(x) = 3(3 − 4 m)x^2 + 2m^2 x = 0
x [3(3 − 4 m)x + 2m^2 ] = 0 →
{ x = 0 3(3 − 4 m)x + 2m^2 = 0 Uno de los puntos cr´ıticos es x = 0, ahora s´olo basta demostrar que dicho punto sea m´ınimo. Puesto que,
f ′′(x) = (18 − 24 m)x + 2m^2 → f ′′(0) = 2m^2 > 0 Luego x = 0 es un m´ınimo del problema sin restricciones, por tanto, la soluci´on del problema inicial es (0, 0), ya que para x = 0, se obtiene y = 0.
- Determinar los extremos de la funci´on f (x, y) = x^2 + y^2 restringida a la condici´on y + x^2 = 1.
opt f (x, y) = x^2 + y^2 s.a. y + x^2 = 1
}
Sustituimos la restricci´on en la funci´on objetivo, y obtenemos un programa sin restricciones con una ´unica variable de decisi´on,
opt x^2 + (1 − x^2 )^2 x ∈ <
}
Los puntos cr´ıticos de la funci´on objetivo f (x) = x^2 + (1 − x^2 )^2 son las soluciones de,
f ′(x) = 2x + 2(1 − x^2 )(− 2 x) = 0
2 x [1 − 2(1 − x^2 )] = 0 →
{ x = 0 1 − 2(1 − x^2 ) = 0 1 − 2 + 2x^2 = 0 2 x^2 = 1 → x = ±
√ 1 2 =^ ±
√ 2 2 Por tanto, los puntos cr´ıticos son x = −
√ 2 2 ,^ x^ = 0 y^ x^ =^
√ 2
Por otro lado,
positiva, por tanto, x∗^ = (1, − 1 , 2) es un m´ınimo local estricto.
(b) max z s. a. x^2 + y^2 = 4, x + y + z = 5.
La funci´on lagrangiana es, £(λ; x, y, z) = z + λ 1 (x^2 + y^2 − 4) + λ 2 (x + y + z − 5) y las condiciones necesarias de primer orden son, ∂£ ∂x ∂£ = 2λ^1 x^ +^ λ^2 = 0 ∂y = 2λ^1 y^ +^ λ^2 = 0 ∂£ ∂z ∂£ = 1 +^ λ^2 = 0 ∂λ 1 =^ x
(^2) + y (^2) − 4 = 0 ∂£ ∂λ 2 =^ x^ +^ y^ +^ z^ −^ 5 = 0
Llamamos, f (x, y, z) = z g 1 (x, y, z) = x^2 + y^2 − 4 g 2 (x, y, z) = x + y + z − 5 Resolviendo el sistema anterior, se obtienen los puntos estacionarios con sus multiplicadores de Lagrange asociados,
x∗ 1 =
) ; λ^11 = 2 √^12 ; λ^12 = − 1 x∗ 2 =
( −
) ; λ^21 = 2 −√^12 ; λ^22 = − 1 La condici´on de regularidad se verifica ya que, como
∇g 1 (x, y, z) = (2x, 2 y, 0) y ∇g 2 (x, y, z) = (1, 1 , 1) en x∗ 1 resultan los vectores
{( 2
) , (1, 1 , 1)
} que son linealmente independientes y, en x∗ 2 los vectores
{( − 2
) , (1, 1 , 1)
} que tambi´en cumplen la propiedad de independencia lineal. Calculamos la matriz H£(λ 1 , λ 2 ; x, y, z),
H£(λ 1 , λ 2 ; x, y, z) = Hf (x, y, z) + λ 1 Hg 1 (x, y, z) + λ 2 Hg 2 (x, y, z) =
+^ λ 1
+^ λ 2
=
2 λ 1 0 0 0 2 λ 1 0 0 0 0
- Particularizando en x∗ 1 se tiene,
H£(λ^11 , x∗ 1 ) =
y como M (x∗ 1 ) = {p¯ ∈ <^3 /Jg(x∗ 1 )¯p = 0} = {p¯ ∈ <^3 /p 1 + p 2 = 0, p 3 = 0} entonces x∗ 1 es un m´ınimo local estricto, pues ∀p¯ = (p, −p, 0) ∈ M (x∗ 1 )con ¯p 6 = 0 se tiene
p¯tH£(λ^11 , x∗ 1 )¯p = √^22 p^2 > 0
H£(λ^21 , x∗ 2 ) =
y como M (x∗ 2 ) = M (x∗ 1 ) entonces x∗ 2 es un m´aximo local estricto ya que, ∀p¯ ∈ M (x∗ 2 ), con ¯p = (p, −p, 0) 6 = 0, p¯tH£(λ^21 , x∗ 2 )¯p = − √^22 p^2 < 0
(c) Opt. x^2 y s. a. x^2 + y^2 = 1.
Sean f (x, y) = x^2 y, g(x, y) = x^2 + y^2 − 1; la funci´on lagrangiana es £(λ; x, y) = f (x, y) + λg(x, y) = x^2 y + λ(x^2 + y^2 − 1) y las condiciones necesarias de primer orden son: ∂£ ∂x ∂£ = 2xy^ + 2λx^ = 0 ∂y =^ x
(^2) + 2λy = 0 ∂£ ∂λ =^ x
(^2) + y (^2) − 1 = 0
Resolviendo el sistema anterior, obtenemos los puntos estacionarios con sus multiplicadores de Lagrange asociados,
x∗ 1 = (0, 1); λ∗^ = 0 x∗ 2 = (0, −1); λ∗^ = 0 x∗ 3 =
(√ 2 3 ,^ √−^1 3
) ; λ∗^ = √^13 x∗ 4 =
( −
√ 2 3 ,^
−√ 1 3
) ; λ∗^ = √^13 x∗ 5 =
(√^ 2 3 ,^ √^1 3
) ; λ∗^ = − √^13 x∗ 6 =
( −
√ 2 3 ,^ √^1 3
) ; λ∗^ = − √^13 En este caso la matriz H£(λ; x, y) es
H£(λ; x, y) = Hf (x, y) + λHg(x, y) =
( 2 y 2 x 2 x 0
)
( 2 0 0 2
)
( 2 y + 2λ 2 x 2 x 2 λ
)
Particularizando en los puntos estacionarios obtenemos:
∂£ ∂^ ∂x£^ = 2x^ + 2λ^1 x^ −^ λ^1 y^ + 2λ^2 x^ = 0 ∂y = 2y^ −^ λ^1 x^ + 2λ^1 y^ + 2λ^2 y^ = 0 ∂£ ∂z ∂£ = 2z^ −^2 λ^1 z^ = 0 ∂λ 1 =^ x
(^2) − xy + y (^2) − z (^2) − 1 = 0 ∂£ ∂λ 2 =^ x
(^2) + y (^2) − 1 = 0
Resolviendo el sistema anterior, obtenemos los puntos estacionarios con sus multiplicadores de Lagrange asociados, x∗ 1 =
( √ 2 2 ,^
√ 2 2 ,^0
) ; λ∗ 1 = 1; λ∗ 21 = −^3 / 2 x∗ 2 =
( (^) −√ 2 2 ,^
√ 2 2 ,^0
) ; λ∗ 1 = 1; λ∗ 22 =^5 / 2 x∗ 3 =
( √ 2 2 ,^
−√ 2 2 ,^0
) ; λ∗ 1 = 1; λ∗ 23 = −^5 / 2 x∗ 4 =
( − √ 2 2 ,^
− √ 2 2 ,^0
) ; λ∗ 1 = 1; λ∗ 24 =^3 / 2
En este caso la matriz es H£(λ 1 , λ 2 ; x, y, z) = Hf (x, y, z) + λ 1 Hg 1 (x, y, z) + λ 2 Hg 2 (x, y, z) =
+ λ 1
+ λ 2
=
2 + 2λ 1 + 2λ 2 −λ 1 0 −λ 1 2 + 2λ 1 + 2λ 2 0 0 0 2 − 2 λ 1
Particularizando en los puntos estacionarios obtenemos:
- Para x∗ 1 con λ∗ 1 = 1, λ∗ 21 = −^3 / 2 , la matriz,
H£(λ∗ 1 , λ∗ 21 , x∗ 1 ) =
y para los vectores ¯p 6 = 0 con p ∈ M (x∗ 1 ) = {p¯ ∈ <^3 /Jg(x∗ 1 )¯p = ¯ 0 } =
=
p^ ∈ <
√ (^2) / 2
√ (^2) / √^2 2
p 1 p 2 p 3
= 0
=
{p ∈ <^3 /p 1 + p 2 = 0} se verifica ( p 1 −p 1 p 3
)
p 1 −p 1 p 3
= 4p 2 1 >^ 0,
luego x∗ 1 es un m´ınimo local estricto.
( − √ 2 2 ,^
√ 2 2 ,^0
) con λ∗ 1 = 1,λ∗ 22 =^5 / 2 , obtenemos la matriz,
H£(λ∗ 1 , λ∗ 22 , x∗ 2 ) =
y para los vectores ¯p 6 = 0 con p ∈ M (x∗ 2 ) = {p¯ ∈ <^3 /Jg(x∗ 2 )¯p = ¯ 0 } = p^ ∈ <
/ 2
/ 2 0 −
p 1 p 2 p 3
= 0
=
{p ∈ <^3 / − p 1 + p 2 = 0} se verifica ( p 1 p 1 p 3
)
p 1 p 1 p 3
= 16p 2 1 >^ 0,
luego x∗ 2 es un m´ınimo local estricto.
( √ 2 2 ,^
− √ 2 2 ,^0
) con λ∗ 1 = 1;λ∗ 23 = −^5 / 2 , obtenemos la matriz,
H£(λ∗ 1 , λ∗ 23 , x∗ 3 ) =
y para los vectores ¯p 6 = 0 con p ∈ M (x∗ 3 ) = {p¯ ∈ <^3 /Jg(x∗ 3 )¯p = ¯ 0 } =
=
p^ ∈ <
/ 2
/ √^2 2 −
p 1 p 2 p 3
= 0
=
{p ∈ <^3 /p 1 − p 2 = 0} se verifica ( p 1 p 1 p 3
)
p 1 p 1 p 3
= − 4 p 2 1 <^ 0,
luego x∗ 3 es un m´aximo local estricto.
( − √ 2 2 ,^
− √ 2 2 ,^0
) con λ∗ 1 = 1, λ∗ 24 =^3 / 2 obtenemos la matriz,
H£(λ∗ 1 , λ∗ 24 , x∗ 4 ) =
y para los vectores ¯p 6 = 0 con p ∈ M (x∗ 4 ) = {p¯ ∈ <^3 /Jg(x∗ 4 )¯p = ¯ 0 } =
p^ ∈ <
/ 2
/ 2 0 −
p 1 p 2 p 3
= 0
=
{p ∈ <^3 / − p 1 − p 2 = 0} se verifica
