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Unidad 11. Física nuclear
BACHILLERATO
Física 2 Actividades de los epígrafes
Unidad 2. Campo electrostático
BACHILLERATO
Física 2 Actividades de los epígrafes
1 Naturaleza eléctrica de la materia
Página 68
1 Determina cuántos electrones tendrían que extraerse de un cuerpo para que quedara con una carga de 1 C. La carga de un electrón es –1,6 · 10–19^ C aproximadamente. Si un electrón se escapa de un cuerpo, este queda con una carga igual pero positiva. Si la carga es de 1 C, es porque la cantidad de electrones que se han marchado es:
N , electrones 1 6 10
19
18 = (^) $ – = $
2 Si por un circuito eléctrico circula una intensidad de corriente de 1 mA, ¿cuántos minu- tos tardará en pasar una carga de 1 C? La intensidad de corriente eléctrica, en unidades del SI, es: I = 1 mA = 10–3^ A Con la definición de intensidad eléctrica, podemos determinar el tiempo que tarda en pasar una carga de 1 C:
I (^) t 8 s mins^ , min min 40 s
q t (^) I
q 10
3
3 = = = (^) – = $ = =
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3 Si una pila del tipo AAA tiene una carga de 1 000 mAh (miliamperios hora), expresa esta carga en culombios. La unidad mAh es una unidad de carga, aunque no es la del SI. Para expresarla en culom- bios, simplemente tenemos que realizar un cambio de unidades:
q = 1000 mAh = 1 Ah $ 3 600 1 h^ s^ =3 600 A $s =3 600 C
4 Calcula a qué distancia habrá que colocar dos cargas de 1 C, en el vacío, para que se repelan con una fuerza equivalente al peso de 1 000 kg. Los datos son: q 1 = q 2 = q = 1 C ; m = 1 000 kg El peso de un cuerpo de masa 1 000 kg es: P = m · g = 1 000 · 9,8 = 9 800 N Por tanto, debemos calcular la distancia a la que hay que poner las cargas para que se re- pelan con una fuerza de 9 800 N:
8 m
q F K r
q q K r
q r K (^) F 9 10 (^) 9 800^1
2 (^0 )
1 2 (^0 )
2 0
= $ $^ = $ = $ = $ 9 $ =
Este resultado da una idea de la fortaleza de la interacción eléctrica.
5 La distancia media entre un protón y un electrón en un átomo de hidrógeno es de 0, nm. Compara la fuerza de atracción eléctrica con la gravitatoria. Datos: mp = 1,67 · 10–27^ kg; me = 9,1 · 10–31^ kg.
Física 2 Actividades de los epígrafes El módulo de la fuerza de atracción gravitatoria entre un protón y un electrón es:
, ( , )
F G ,^ ,^ , N
r
m m 6 67 10 0 052 10
g
p e 2
11 9 2
27 31
= = $^ $^ $^ = $
El módulo de la fuerza electrostática con la que se atraen es:
F ,^ ,^ , N
r
K
q q 10 0 052 10
p e 9 1 6 10 1 6 (^10) 8 5 10 e (^) 2 9 2
19 19 0 9 8
= = $^ $^ $^ = $
Comparamos las dos fuerzas:
F , ,
F 10
e 8 5^ 2 3 g^47
8 39
$
= $^ = $
Luego la fuerza eléctrica es unos dos mil trescientos sextillones de veces la gravitatoria, por lo que podemos despreciar totalmente la atracción gravitatoria entre partículas cargadas.
6 ¿A qué distancia habrá que colocar dos electrones para que se repelan con 1 N? Utilizamos la ley de Coulomb:
F K 8 , , m r
q q r (^) F q
K
e 0 e 2 e^0 e 9 10 1 1 6^10 19 1 5 10^14
(^9) – – $
= = $ = $^ $ $ = $
2 Campo electrostático
Página 70
7 Determina la expresión vectorial de la fuerza que se ejerce sobre una carga de 5 μC en (80, 100) cm, debido a una carga de 2 mC colocada en el punto (10, 40) cm. La situación de las cargas se representa en la imagen siguiente, junto a los datos del problema: y (cm) A
B
x (cm)
q
F u
0
100
40
10 80
r
q'
q l= 5 μC = 5 10$ –6C
q = 2 mC = 2 10$ –3C
A = (80, 100) cm
B = (10, 40) cm
El vector de posición es: (^8) r (^) = BA = ( 80 100, ) – ( 10 40, ) = ( 70 60, ) cm = ( 70 $ i + 60 $ j ) cm 8 8 8
El vector unitario, u^8 , es radial hacia afuera. Para calcularlo, podemos usar la unidad que queramos para 8 r y para r, siempre y cuando sean la misma, ya que u^8 es adimensional:
( )
i j u (^) rr^ i j
2 2
(^8 8 88 )
Ahora calculamos el módulo de la fuerza con su signo, y multiplicamos por este vector:
F K , N r
q q 9 10 10 10 8 500 10
e 0 2 9
3 6 4
$ $ $^ $^ $
l
Física 2 Actividades de los epígrafes El módulo del campo con el signo es: N K (^) r C
q E 9 10 10
(^0 )
9
$ $ $ $
Ahora, lo multiplicamos por el vector unitario:
E E u 2 466 ( i j ) ( i j ) (^) CN 73
10 Encuentra el campo eléctrico que crea una carga de –5 μC colocada en el punto (–3, –5) cm en el punto (2, 2) cm.
La situación del problema se muestra en la figura de la derecha. El vector de posición es: (^8) r (^) = AB = ( ,2 2 ) – –( 3 , – 5 )= 8
= ( ,5 7 ) cm = ( 5 $ i + 7 $ j ) cm
8 8
Cuyo módulo es:
r = 5 2 + 7 2 $ 10 –^2 m = 74 10$ –^2 m
y (cm)
A
B
x (cm)
E
u 2
-3 (^) r 2
q'
El vector unitario en la dirección radial es:
u (^) r r i^ j^ i^ j 5 7 7
2 2
8 8 +^ +
8 8 8 8
El módulo del campo con su signo es:
C
E K , N
r
q 9 10 7 10
(^0 )
(^66)
$ $ $ $
= = $^ = $
Entonces, el campo es:
E E u , ( , , ) CN
i j i j 7
$ – 6 $ – 3 53 6 – 4 95^6
8 8 8 8
Página 73
11 Se coloca una carga de 20 mC en el punto (0, 0), y otra de – 4 mC en el punto (0, 10) cm. Encuentra el punto donde el campo eléctrico es cero.
La situación del problema es la que se muestra en la imagen: y (cm)
x (cm)
q 1 = 20 μC
q 2 = – 4 μC
E 1
E 2
x
10 cm
A
Física 2 Actividades de los epígrafes El punto buscado solo puede estar sobre el eje Y por encima de la carga q 2. Llamaremos x a la distancia del punto A a la carga q 2. En el punto A se cumple:
8 8 8 8 ( )
E E E E K ( )
d x
q K x
q 1 +^2 =^01 =^2 0 $^120 $^22 x^^2 $^ q^ 1 d^ x^^2 $ q 2
8 8
8 _ q (^) 1 – q (^) 2 i$ x^2 – 2 $ d $ x $ q (^) 2 – d^2 $ q 2 = 0 Sustituimos los datos, y resolvemos la ecuación de segundo grado: ( 20 – 4 ) $ 10 –^3 $ x^2 – 2 0 1 4 10$ , $ $ –^3 $ x – 0 1, 2 $ 4 10$ –^3 = 0 8
16 x 0 8 x 0 04 0 x 2 16 m
2 –^2 –^ – – 2
Por tanto, el campo se anula en el punto A = (0, 8) cm.
12 Una carga de –5 μC se encuentra en el punto (–10, 1) cm, y otra de 8 μC, en el punto (4, 8) cm. ¿Cuánto valdrá el campo en el punto (4, 1) cm? La situación del problema es la siguiente: y (cm)
x (cm)
q 1 = –5 μC
q 2 = 8 μC
E 2
E 1
E
B
A -10 4
8
1
El vector de posición de la primera carga es: r^8 (^) 1 = AP = ( ,4 1 ) – –( 10 1, ) = ( 14 0, ) cm = 14 $ i cm
(^88)
El vector de posición de la segunda carga es: (^8) r (^) 2 = BP = ( ,4 1 ) – ( ,4 8 ) = ( , 0 – 7 ) cm =– 7 $ j cm 8 8
Los vectores unitarios en las direcciones radiales de cada carga son:
u (^) r ; r
r (^) i i u
r j (^14147) j
(^11)
1 (^2 )
(^8 ) 8
(^8 )
Calculemos ahora el módulo con el signo de cada campo eléctrico:
C
E K , N
r
q 9 10 10
1 0
(^1 ) 4
6 12 2
6
$ $ $ $
= = $^ = $
C
E K , N
r
q 9 10 10
(^0 292 )
(^66) 2 2
2
= = $^ = $
Vectorialmente, los campos creados por cada carga son: E (^) 1 = E (^) 1 $ u (^) 1 = – 2 30 10 , $ 6 $ i (^) CN^ ; E (^) 2 = E (^) 2 $ u (^) 2 =–14 70 10, $ –^6 $ j CN
8 8 8 8 8 8
Ahora sumamos para obtener el campo eléctrico total: E = E (^) 1 + E (^) 2 = ( – 2 30 10 , $ 6 $ i – 14 70 10, $ –^6 $ j ) CN
(^8 8 8 8 )
Física 2 Actividades de los epígrafes El potencial a 50 cm de la carga q es: V K (^) r , V
q = 0 $ = 9 10$ 9 $ (^) 0 50^1 =18 10$^9 La energía potencial de una carga de 1 nC colocada ahí es:
K (^) r , J
q E
q p 0 9 10^9 1 100 50^18
l
15 Calcula el trabajo que realiza el campo que crea una carga de –5 μC cuando transporta una carga de 2 pC desde una distancia de 20 m hasta 5 m. La carga fuente es q = –5 μC = –5 · 10–6^ C, y la carga testigo, q l = 2 pC = 2 · 10–12^ C. Veamos cuánto vale el potencial a las distancias indicadas:
V ( m) K (^) r V
q 20 0 9 10 9 – 5 10^20 – 2 250
V ( m) K (^) r V
q 5 0 9 10 9 – 5 10^5 – 9 00 0
La energía potencial que tiene la carga testigo en estos potenciales es: E (^) p ( 20 m) = q l $ V ( 20 m) = 2 10$ –^12 $ ( – 2 250 ) =–4 5 10, $ –^9 J
E (^) p ( 5 m) = q l $ V ( 5 m) = 2 10$ –^12 $ ( – 9 00 0 ) =–18 0, $ 10 –^9 J El trabajo que realiza el campo es: W = – D E (^) p = E (^) p ( 20 m) – Ep ( 5 m) = – 4 5 10 , $ –^9 – –( 18 0 10, $ –^9 )^ =1 35 10, $ –^8 J Puesto que el trabajo es positivo, esto significa que la carga se mueve a favor del campo. Si fuese negativo, significaría que se ha forzado a la carga a moverse en contra del campo (con una fuerza externa).
16 Para el campo eléctrico creado por una carga de 1 mC, determina las distancias que separan las superficies equipotenciales: a) De 4 000 V a 3 000 V. b) De 3 000 V a 2 000 V. c) De 2 000 V a 1 000 V. d) De 1 000 a 0 V. Veamos a qué distancia de la carga el potencial toma los valores indicados en el enunciado:
V K (^) r 8 V 8 m
q V 9 10 (^) r r
0 a (^) a a
= $ = $ 9 $ –^3 = = $ 9 $ –^3 =
V (^) b 9 10 (^10) r^ 3 000 V 8 r 9 10 (^) 3 000^10 3 000m b b
= $ 9 $ –^3 = = $ 9 $ –^3 =
V (^) c 9 10 (^10) r^ 2 000 V 8 r 9 10 (^) 2 000^10 4 500m c c
= $ 9 $ –^3 = = $ 9 $ –^3 =
V (^) d 9 10 (^10) r^1000 V 8 r 9 10 100010 9 000m d d
= $ 9 $ –^3 = = $ 9 $ –^3 =
V (^) e 9 10 (^10) r^08 r 8 ∞ e e
= $ 9 $ –^3 =
Veamos las distancias que separan las superficies equipotenciales de: a) 4 000 V a 3 000 V: rb – ra = 3 000 – 2 250 = 750 m b) 3 000 V a 2 000 V: rc – rb = 4 500 – 3 000 = 1 500 m c) 2 000 V a 1 000 V: rd – rc = 9 000 – 4 500 = 4 500 m d) 1 000 V a 0 V: re – rd = ∞ – 9 000 = ∞ Como vemos, las esferas que representan las superficies equipotenciales se van espaciando cada vez más para un mismo incremento de potencial.
Física 2 Actividades de los epígrafes
Página 77
17 ¿Crees que una hipotética partícula de carga positiva y sin masa seguiría las líneas de fuerza del campo eléctrico? Una hipotética partícula con carga eléctrica positiva y sin masa (que realmente no existe), seguiría las líneas de fuerza del campo eléctrico, y si la carga fuese negativa, también segui- ría las líneas de fuerza del campo pero en sentido contrario. Pero, realmente, las partículas con carga eléctrica tienen también masa. Es decir, tienen inercia. Por consiguiente, no si- guen las líneas de fuerza del campo, puesto que si el campo curva repentinamente en un punto, la partícula no puede hacerlo instantáneamente debido a su inercia.
18 En el origen de coordenadas hay una carga de –6 μC y en el punto (0, 12) cm otra de –3 μC. Determina el punto donde el campo es cero y el potencial en dicho punto. La disposición de las cargas es la que se muestra en la imagen.
y (cm)
x (cm)
E 1
E 2
q 2
q 1 –
x
d q^1 = –6^ μC = –6 · 10–6^ C q 2 = –3 μC = –3 · 10–6^ C
Llamamos x a la distancia que hay desde el punto que buscamos hasta la carga q 1. A la dis- tancia que separa las dos cargas la llamamos d = 12 cm = 12 · 10–2^ cm. En el punto donde se anula el campo se cumple:
E (^) 1 + E (^) 2 = 0 8 E (^) 1 = E 2
8 8
K ( )
x
q K d x
q q d x q x
0 $^21 =^0 $^221 $^ –^2 = 2 $^2
q (^) 1 $ ( d^2 + x^2 – 2 $ d $ x ) = q (^) 2 $ x^2
_ (^) q (^) 1 – q (^) 2 i$ x^2 – 2 $ d $ q (^) 1 $ x + d^2 $ q 1 = 0
Introducimos los datos: ( 6 10 $ –^6 – 3 10$ –^6 )^ $ x^2 – 2 12 10$ $ –^2 $ 6 10$ –^6 $ x + ( 12 10$ –^2 )^2 $ 6 10$ –^6 = 0 3 $ x^2 – 1 44, $ x + 0 0864, = 0 8 x = 0 070, m=7 0, cm La segunda solución la hemos descartado porque no es compatible con el ejercicio. El potencial en este punto es:
V V V K (^) x , V
q K (^) d x
q 9 10 7 0 10
1 2 0
1 0
(^2 ) 2
6 2
(^66)
$ $ $ $ $
= + = + = e + $^ o= $
Física 2 Actividades de los epígrafes La situación de las cargas del problema es la mostrada en la imagen: y (cm)
x (cm)
2
-20 4
q'
q 2
q 1
r 1
r 2
Vamos a calcular el potencial en el origen de coordenadas y después multiplicaremos por el valor de la carga testigo para obtener la energía potencial de esta. Los vectores de posición de cada carga con respecto al punto donde se va a calcular el potencial son: (^8) r (^) 1 = ( 20 $ i – 2 $ j ) cm ; r (^) 2 = ( – 4 $ i + 15 $ j ) cm 8 8 8 8 8
Y sus módulos son: r (^) 1 = 20 2 + ( – 2 ) 2 = 20 10, cm =20 10 10, $ –^2 m
r (^) 2 = ( – 4 ) 2 + 15 2 =15 52, cm = 15 52, $ 10 –2m Aplicamos el principio de superposición para el potencial:
V V V K ,^ , V
r
q K (^) r
q 9 10 20 10 10
(^1 2 0 )
1 (^0 )
(^2 ) 2
6 9 2
6 4
$ $ $ $ $
= + = + = + $^ = $
La energía potencial de la carga q l^ en este punto es: E (^) p = q l $ V = – 2 4 10 , $ –^9 $ ( – 8 4 10, $ 4 )^ =2 02, $ 10 –^4 J La energía potencial que tiene esta partícula es la que se debió aplicar sobre la partícula en reposo a una distancia infinita para llevarla hasta el punto donde está, dejándola en reposo. Efectivamente: W (^) ext = D E (^) p = E (^) p – E (^) p 0 = 2 02 10, $ –^4 – 0 =2 02 10, $ –^4 J
21 ¿Cuánta energía tendrán dos cargas de 1 nC colocadas a 1 cm de distancia?
Imaginamos una carga de 1 nC colocada en un punto estático y que tomamos otra carga de 1 nC en reposo a una distancia infinita. Si llevamos a esta segunda carga hasta 1 cm de dis- tancia de la primera carga, el trabajo que realizamos para conseguirlo es, precisamente, la energía potencial que tiene la carga testigo colocada en este punto. Puesto que la interac- ción es mutua, la energía potencial que calculamos de esta manera es, en realidad, la aso- ciada a las dos cargas por estar cerca la una de la otra. El resultado obtenido es indiferente de cómo imaginemos que acercamos las dos cargas hasta la distancia de 1 cm; podríamos suponer que acercamos la primera carga hasta 10 cm, y luego la segunda 9 cm más, etc.
E K (^) r J
q q 9 10 10
p 0
(^1 2 ) 2
(^9 )
= = $ $ $^ = $
Si en lugar de dos cargas tuviéramos tres, cuatro o más, la energía potencial asociada a todas ellas la podríamos calcular imaginando que tenemos una carga inicial a la que vamos acercando sucesivamente el resto de cargas una a una, sumando el trabajo realizado en cada etapa.
Física 2 Actividades de los epígrafes
4 Consideraciones energéticas
Página 79
22 En el origen de coordenadas hay una carga eléctrica de 5 mC. Mediante una fuerza externa, se mueve una carga de 1 nC, que inicialmente estaba en reposo en el punto (90, 50) cm, hasta el punto (10, 10) cm, donde se deja nuevamente en reposo. ¿Qué trabajo ha realizado el campo eléctrico? ¿Qué trabajo ha realizado la fuerza externa?
Las cargas son: q = 5 mC = 5 10 $ –^3 C ; q l= 1 nC = 10 –^9 C La carga q l^ se mueve entre los puntos: A = (90, 50) cm ; B = (10, 10) cm Como sabemos, el trabajo que realiza la fuerza conservativa del campo es igual a: W (^) C = – D E (^) p = – q l$D V Luego, necesitamos calcular el valor del potencial eléctrico en los puntos inicial y final: y (cm)
x (cm)
50
10 q (^1090)
rB
rA
A
B
V K (^) r , V
q 9 10 90 50
A 4 37 10
(^0) A 9 2 2
3 2
V K (^) r , V
q 9 10 0 0 10
B 3 18
(^0) B
9 2 2 2
(^38)
$ $ $ $
= = $^ $
Por tanto, el trabajo que realiza el campo es: W (^) C = – q l^ $ D V = – q l$ ( V (^) B – V (^) A ) = – 10 –^9 $ ( ,3 18 10 $ 8 – 4 37, $ 107 )=–0 27, J El signo menos significa que el campo se opone a este movimiento. Si la carga sale del reposo y termina en reposo, no hay incremento de energía cinética; por tanto, según el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total es cero. En consecuencia, el trabajo de la fuerza externa es opuesto al trabajo que realiza el campo: W (^) T = D E (^) c = 0 8 W (^) T = W (^) C + W (^) ext = 0 8 W (^) ext = WC =0 27, J Como el trabajo de la fuerza externa es positivo, esta fuerza favorece el movimiento.
23 Tenemos una carga de 10 mC en el origen de coordenadas. ¿Qué trabajo externo habrá que realizar a una carga de –5 μC para colocarla a 1 m de distancia de la primera carga?
Tenemos que calcular el trabajo que realiza una fuerza externa sobre la carga q l =– 5 μCpara moverlo desde una distancia infinita hasta un metro de distancia de la carga q = 10 mC = = 10–2^ C. Como no nos dicen otra cosa, supondremos que la carga estaba en reposo y la dejaremos en reposo, por lo que no va a haber incremento de energía cinética. Esto quiere decir que, de acuerdo con el teorema de las fuerzas vivas, el trabajo total (el de la fuerza externa y el de la fuerza conservativa del campo) es cero: WT = ∆ Ec = 0 Entonces, el trabajo que realiza la fuerza externa es el opuesto al que realiza el campo: W (^) T = W (^) ext + W (^) C = 0 8 W (^) ext =– WC
Física 2 Actividades de los epígrafes La fuerza electrostática tiende a atraer a la carga testigo hacia la carga fuente, mientras que la fuerza externa tiende a alejarla. Veamos, primeramente, que la fuerza externa es realmen- te mayor que la eléctrica, y por tanto, podrá alejar la carga testigo de la carga fuente.
F K , N
r
q q 9 10 20 10
(^0 29) 2 2
3 9
= l= $^ $^ $ =
El teorema de las fuerzas vivas nos dice que el trabajo total es igual al incremento de ener- gía cinética: W (^) T = D E (^) c = E (^) c ( 1 m) – E (^) c ( ,0 20 m) = E (^) c ( 1 m) – 0 = Ec ( 1 m) Así que calcularemos el trabajo total: W (^) T = W (^) ext + WC W (^) T = Fext $ D r = 4 0 80$ , =3 20, J W (^) C = – D E (^) p = E (^) p ( ,0 20 m) – E (^) p ( 1 m) = q l $ 6 V ( ,0 20 m) – V ( 1 m)@ Para terminar este cálculo, necesitamos los potenciales a 20 cm y a 1 m:
V ( , m) K (^) r , V
q 0 20 0 9 10 – 5 10^ 0 20^ – 225 000 000 1
= $ = $ 9 $ $ –^3 =
V ( m) K (^) r V
q 1 0 9 10 – 5 10^1 – 45 000 000 2
= $ = $ 9 $ $ –^3 =
Entonces: W (^) C = q l $ 6 V ( ,0 20 m) – V ( 1 m) @ = 3 10$ –^9 $ 6 – 225 000 000 – –( 45 000 000 ) @=–0 54, J Entonces: W (^) T = W (^) ext + W (^) C = 3 20 , – 0 54, =2 66, J = Ec (1 m)
5 Flujo del campo eléctrico
Página 80
26 Demuestra que la unidad de flujo eléctrico también es V · m.
Puesto que el flujo eléctrico es: F E (^) = E $ S
8 8
su unidad es la del campo eléctrico multiplicada por la de superficie:
C
N (^) m C
N m (^) m C 1 $ 2 = 1 $^ $ = 1 J^ $ m = 1 V m$
donde hemos utilizado que 1 N · m = 1 J y que 1 V = 1 J/C.
27 En una región del espacio hay un campo eléctrico uniforme y estacionario igual a E = 1000 $ i N/C
8 8
. Determina el flujo eléctrico de este campo a través de una superficie cuadrada de 10 cm de lado colocada: a) Paralela al plano YZ. b) Paralela al plano XY. El módulo del vector superficie es: S = 10 · 10 = 100 cm^2 = 10–2^ m^2
Física 2 Actividades de los epígrafes a) En el primer caso: Y
Z
X
E S
El vector del campo y el vector superficie son paralelos: F E = E $ S = 1000 10$ –^2 $ cos 0 = (^10) mV
8 8 V í m b) En el segundo caso: Y
Z
X
E
S
Vemos que el vector del campo y el vector superficie son perpendiculares; por tanto:
F E (^) = E $ S = E $ S $ cos 90 °= 0
8 8
28 Determina el flujo de un campo eléctrico uniforme y estacionario de 2 000 N/C cuando atraviesa una superficie rectangular de 4 Ò 8 cm formando un ángulo de 30° con dicha superficie. El módulo del vector superficie es: S = 4 í 8 = 32 cm^2 = 32 í 10 –4^ m^2 La situación es la siguiente:
S 90º – q q
El ángulo que forma el vector del campo eléctrico con el vector superficie es 90° – 30° = 60°. Por tanto: F (^) E = E $ S = E $ S $ cos ( 90 ° – o) = 2 000 32 10$ $ –^4 $ cos ( 90 ° – 30 °) =3 2, (^) mV
8 8 V í m
29 ¿Cuánto vale el flujo eléctrico de una carga de 1 mC situada en el centro de una esfera de 1 m de radio a través de la superficie de la esfera? ¿Y si la carga es de –2 mC? No aplicamos el teorema de Gauss para resolver esta actividad porque en este punto de la unidad aun no se ha estudiado. Aunque el campo eléctrico que crea la carga no es uniforme, sí toma el mismo valor (en módulo) a lo largo de toda la superficie esférica. Para cada trozo elemental de superficie de la esfera, el vector del campo y el vector superficie son paralelos y con el mismo sentido.
Física 2 Actividades de los epígrafes
32 Indica qué signo tendrá el flujo a través de una superficie cerrada si en su interior hay:
a) Una carga eléctrica positiva. b) Una carga eléctrica negativa. c) No hay ninguna carga, pero hay una positiva cerca en el exterior.
Para resolver este ejercicio aún no podemos utilizar el teorema de Gauss, ya que aún no se ha visto. a) Las cargas positivas son fuentes del campo, luego las líneas de fuerza salen de ellas. Por eso, el flujo tiene que ser positivo. b) Las cargas negativas son sumideros del campo. Por tanto, las líneas del campo entran en ellas. En consecuencia, el flujo es negativo. c) Si hay una carga positiva en el exterior, sus líneas de fuerza entrarán y saldrán de la su- perficie cerrada, dejando un flujo neto igual a cero.
33 Si el flujo a través de una superficie cerrada es cero, ¿podremos estar seguros de que en su interior no hay ninguna carga eléctrica?
Si el flujo a través de una superficie cerrada es cero, puede ser porque no haya ninguna línea de fuerza que la atraviese, en cuyo caso no habría cargas eléctricas, o que entren el mismo número de líneas de fuerza que las que salen, lo que puede suceder si hay cargas cercanas o si hay cargas en su interior de modo que la suma de todas ellas dé una carga neta igual a cero. Por tanto, no podemos asegurar que no haya cargas eléctricas en su interior.
6 Teorema de Gauss
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34 Si en el interior de una superficie cerrada hay cargas eléctricas, pero la suma es cero, ¿qué significa esto desde el punto de vista de las líneas de fuerza del campo que atra- viesan las superficie? Según el teorema de Gauss:
F (^) e
q E = 0 Puesto que q representa la suma de todas las cargas que existen en el interior de la esfera cerrada, cada una con su signo, si esta es cero, entonces el flujo eléctrico es cero también. Esto significa que el número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie es cero; bien porque no haya líneas de fuerza, o bien porque entren y salgan el mismo número de líneas.
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35 El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es –9 · 10^8 V í m. Si sa- bemos que la carga positiva en el interior de la superficie suma 2 mC, ¿habrá carga negativa en el interior? En caso de que sea así, calcula cuánta.
El teorema de Gauss nos dice que el flujo eléctrico que atraviesa una superficie cerrada, en cuyo interior hay una carga neta q, es:
F (^) e e π ( q q )
q q q E^4 K 0 0 0 –
= = +^ – = $ $ $ +
Física 2 Actividades de los epígrafes La carga q la podemos separar en la suma de toda la carga positiva ( q + > 0) más toda la negativa ( q – < 0). Si el flujo es negativo, la carga neta negativa supera a la positiva.
- 9 10 $ 8 = 4 $ π $ 9 10$ 9 $ ( 2 10$ –^3 + q – )
π
q C 4 9 10
9
(^83 )
= $^ $ = $
36 Una carga de –10 pC está en el centro de un cubo de 12 cm de arista. Determina el flujo de esta carga a través de uno de los lados. Si cambiamos el cubo por otro de 6 cm de arista manteniendo la carga en el centro, ¿cuánto será ahora el flujo? Según el teorema de Gauss, el flujo eléctrico total a través de las seis caras del cubo es:
F (^) e
q E = 0 Puesto que la carga está en el centro del cubo, no hay ninguna diferencia entre una cara u otra. Por tanto, el flujo en cada cara ( F E l^ ), es idéntico, y debe cumplirse que:
F F (^) e
q E^6 E 0
= $ l=
F (^) e π π , V m
q K
q 6 4 6 4 9 10^6
E (^) 0 0 9 –^12 $ $^ $^ $^ $^ $^ $^ $^ l= = = $^ = $
Como vemos, este resultado es independiente del tamaño del cubo.
7 Aplicaciones del Teorema de Gauss
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37 Una lámina plana infinita está cargada con –0,5 pC/dm^2.
a) Determina el valor del campo eléctrico que crea. b) Calcula la diferencia de potencial de dos puntos separados un metro de distancia.
a) Vamos a escribir la carga por unidad de superficie en unidades del SI:
q , dm
pC pC
C
m
dm m
0 5 C
2 12 2
(^2 ) 2
El campo creado por una superficie plana infinita es:
e
q (^) π q (^) π q π ( ) , C
E K K N
2 0 4 0 2 2 0 2 9 10^ – 5 10^ – 2 827
9 – 11 = (^) $ = $ $ $ = $ $ $ = $ $ $ $ $ =
La expresión del potencial eléctrico en función de la distancia, x, es: V = E í x = –2,827 í x V Veamos la diferencia de potencial entre dos puntos situados a distancias a y a + 1: Va = –2,827 · a V ; Va + 1 = –2,827 · ( a + 1) = (–2,827 · a – 2,827) V Va – Va + 1 = –2,827 · a + 2,827 · a + 2,827 = 2,827 V El potencial, que es negativo, va aumentando en 2,827 V cada metro hasta llegar al valor cero en el infinito.
Física 2 Actividades de los epígrafes Cuando acercamos otro cuerpo, se induce en él carga eléctrica de signo contrario a la del con- ductor en la zona más próxima a este y, conforme se acerca, el campo total en el aire va crecien- do hasta que el propio aire ya no puede soportar un valor tan grande del campo, y es cuando se produce la descarga. Esto ocurre antes si acercamos el cuerpo a un pico del conductor que si lo acercamos a otra parte, ya que de inicio el campo eléctrico en esta zona es mayor.
E 2
E 1
E 1 > E 2
++
+++ ++
++
41 Una esfera metálica de 10 cm de diámetro está cargada con un potencial eléctrico de 20 V.
a) ¿Con qué carga eléctrica está cargada? b) Determina el potencial a 5 cm de la superficie exterior de la esfera. a) Tanto el potencial como el campo que crea una esfera conductora en el exterior son como los de una carga puntual colocada en el centro de la esfera con el mismo valor de carga. Tanto el potencial como el campo toman valores continuos. Por tanto, el poten- cial en la superficie de la esfera de radio R es:
V K (^) R 8 , C
q q VK^ R 9 10
(^0 0 )
= = = $^ = $
b) Un punto situado a 5 cm de la superficie de la esfera está a 15 cm de su centro. El po- tencial en este punto es:
V K^ ,^ , V R
q 9 10 10
0 9
1 2
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42 El módulo del campo eléctrico en la superficie de una esfera conductora de 2 cm de radio es 2,25 · 10^2 N/C, ¿qué potencial eléctrico hay en su interior? El potencial eléctrico en el interior de la superficie es constante e igual al que hay en la superficie. Recordemos que el campo eléctrico y el potencial de una esfera conductora en su exterior (e incluso en su superficie) son los mismos que los que crearía una carga puntual colocada en su centro con la misma carga:
E K ; 8 r
q V K (^) r
q = 0 $ 2 = 0 $ V = E $ r En la superficie, r = R : V = E · R = 2,25 · 10^2 · 2 · 10–2^ = 4,50 V
43 El campo eléctrico en el interior de un conductor inmerso en un campo eléctrico ex- terno es siempre cero; sin embargo, en los materiales aislantes, no. ¿Dónde radica la diferencia? Que un material sea conductor quiere decir que tiene partículas cargadas con libertad de movimiento. Los metales son conductores de primera especie, es decir, las partículas carga- das con libertad de movimiento son los electrones. Por tanto, si un metal, por ejemplo, es atravesado por un campo eléctrico externo, sobre sus electrones actúa una fuerza eléctrica
Física 2 Actividades de los epígrafes que los desplaza. Aparece una zona con exceso de electrones y otra con defecto. Es decir, surge una carga negativa en una parte del conductor y otra positiva en la contraria. Debido a esto, se crea en el interior del conductor otro campo eléctrico que se opone al externo. El campo interno va creciendo hasta que anula el externo, alcanzándose el equilibrio. En un material que no sea conductor, el campo en su interior no se puede anular, ya que no hay cargas que se puedan desplazar para crear un campo que anule el externo. Como mu- cho, pueden formarse dipolos eléctricos en las moléculas, que entre todas crean un campo eléctrico oponiéndose al exterior, pero que no llegan a anularlo.
44 Si una jaula de Faraday anula en su interior el campo eléctrico debido a las cargas exter- nas, ¿anulará también en el exterior el campo de las cargas eléctricas que pueda haber en su interior? No se anula. Una demostración de esto se muestra en la resolución del ejercicio 35, en el que una carga eléctrica en el centro de una esfera conductora hueca deja sentir su campo en el exterior de la esfera.
45 Un trozo de metal como el de la imagen derecha está inmerso en un campo externo de 200 N/C perpendicular a las caras de 2 Ò 3 cm. ¿Qué carga se forma en ellas? El campo eléctrico neto en el interior del metal es cero; por tanto, en el metal con forma pa- ralelepípeda se producirá una separación de cargas para crear un campo interno que anule el externo. Luego, se crea un campo de 200 N/C en sentido contrario. Si consideramos que se comporta como un condensador, el campo entre los planos carga- dos es:
e
q E (^) S e 8 e (^) π (^) π C 1 pC
Q Q E S
K
E S
0 0 0 0 9
- (^4) – 12 $ $^ $^ $ $$ = $ $ $
= = = = = $^ $^ $ =
