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Ejercicios resueltos
Bolet´ın 5
Campo el´ectrico
Ejercicio 1
La masa de un prot´on es 1, 67 · 10 −^27 kg y su carga el´ectrica 1, 6 · 10 −^19 C. Compara la fuerza de repulsi´on el´ectrica entre dos protones situados en el vac´ıo con la fuerza de atracci´on gravitatoria que act´ua entre ellos.
Soluci´on 1
Dividiendo los m´odulos de la fuerza gravitatoria y de la fuerza electrost´atica, se tiene:
Fe Fg
K q 2 /r 2 G m^2 /r 2
K q 2 G m^2
9 · 10 9 · (1, 6 · 10 −^19 ) 2
6 , 67 · 10 −^11 · (1, 67 · 10 −^27 ) 2
Para part´ıculas cargadas, las fuerzas gravitatorias son despreciables frente a las fuerzas el´ectricas. Las fuerzas gravitatorias son importantes para objetos de gran masa y sin carga el´ectrica apreciable, tal como es el caso de la Tierra y los objetos colocados en su superficie.
Ejercicio 2
Dos peque˜nas bolas, de 10 g de masa cada una de ellas, est´an suspendidas del mismo punto mediante dos hilos de 1 m de longitud cada uno. Si al cargar las bolitas con la misma carga el´ectrica, los hilos se separan formando un ´angulo de 10 ◦^ , determina el valor de la carga el´ectrica.
Soluci´on 2
Sobre cada bola act´uan su peso, la tensi´on del hilo y la fuerza el´ectrica. Aplicando la condici´on de equilibrio, se tiene que:
∑ ⃗ F = P⃗ + T⃗ + F⃗ e = 0 ⇒
{ Tx = Fe Ty = P
{ T sin ϕ = K q^
2 r 2 T cos ϕ = m g
q q
ϕ
ϕ
ϕ
T (^) T
T F
P
x
y
e
r
Dividiendo:
tan ϕ =
K q 2 m g r 2
⇒ q =
√ m g r 2 tan ϕ K
= r
√ m g tan ϕ K
Si la longitud del hilo es igual a d y como cada bola se separa de la vertical un ´angulo ϕ = 5 ◦^ , la distancia entre ellas es: r = 2 d sin 5. Sustituyendo en la ecuaci´on anterior:
q = 2 · 1 · sin 5 ◦
√ 10 · 10 −^3 · 9 , 8 · tan 5 ◦ 9 · 10 9
= 1, 7 · 10 −^7 C
Ejercicio 3
En el origen de coordenadas est´a situada una carga q 1 = +3 μC y en el punto (4,0) otra carga q 2 = − 3 μC. Determina: el vector campo el´ectrico en el punto A(0,3) y la fuerza que act´ua sobre una carga q 3 = − 6 μC colocada en el punto A.
Soluci´on 3
- C´alculo del m´odulo del campo que crea la carga q 1 en el punto A.
E 1 = K
|q 1 | r 12
3 · 10 −^6
= 3000 N/C
Vectorialmente: E⃗ 1 = 3000ȷ ⃗ N/C C´alculo del m´odulo del campo que crea la carga q 2 en el punto A.
E 2 = K
|q 2 | r 22
3 · 10 −^6
= 1080 N/C
Del diagrama se deduce que sus componentes son:
E 2 x = E 2 cos ϕ = 1080 ·
= 864 N/C ⇒ E⃗ 2 x = 864ı⃗ N/C
Ep,f inal = K
q 1 q 2 r (^) f inal
3 · 10 −^6 · (− 6 · 10 −^6 )
= − 0 ,0405 J
El trabajo que realiza la fuerza el´ectrica en el proceso de separaci´on de las cargas es:
WF (i→f ) = −∆Ep = −(Ep,f inal − Ep,inicial = −[− 0 , 0405 − (− 0 ,081)] = − 0 ,0405 J
Alejar dos cargas de distinto signo no es un proceso espont´aneo, por lo que un agente externo tiene que realizar un trabajo contra la fuerza electrost´atica, que se almacena en forma de energ´ıa potencial el´ectrica. La energ´ıa potencial el´ectrica de la distribuci´on final es mayor que la energ´ıa potencial el´ectrica de la distribuci´on inicial.
Ejercicio 5
En el origen de coordenadas est´a situada una carga q 1 = +3 μC y en el punto A(4,0) otra carga q 2 = − 3 μC. Si las cargas est´an situadas en el vac´ıo y las coordenadas se expresan en metros, determina el trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar una carga q 3 = − 6 μC desde el punto B(0,3) hasta el punto C(3,0). Interpreta el signo obtenido.
Soluci´on 5
Aplicando el teorema de Pit´agoras, la distancia entre el punto A y el punto B son 5 m. En ausencia de la carga q 3 , el potencial en un punto es igual a la suma de los potenciales que crean cada una de las cargas fijas.
V B = V 1 B + V 2 B =
K q 1 r (^1) B
K q 2 r (^2) B
= 9 · 10 9 · 3 · 10 −^6
) = 3600 V
V C = V 1 C + V 2 C =
K q 1 r (^1) C
K q 2 r (^2) C
= 9 · 10 9 · 3 · 10 −^6
) = −18000 V
El trabajo que realizan las fuerzas del campo para trasladar la carga q 3 desde B hasta C es:
WB→C = −q ∆V = −q (V (^) C − V (^) B ) = −(− 6 · 10 −^6 ) · (− 18000 − 3600) = − 0 ,13 J
Trasladar una carga negativa desde el punto B hasta el punto C no es un proceso espont´aneo, un agente externo realiza un trabajo que se almacena en forma de energ´ıa potencial asociada a la nueva distribuci´on.
Ejercicio 6
Una carga puntual de valor nq se coloca en el origen de coordenadas, mientras que otra carga de valor −q se coloca sobre el eje X a una distancia d del origen. Calcula las coordenadas del punto donde el campo el´ectrico es nulo si n = 4. ¿Cu´anto valdr´a el potencial electrost´atico en ese punto?
Soluci´on 6
En la zona del eje X situada entre las cargas el campo el´ectrico debido a cada una de ellas tiene la misma direcci´on y sentido, luego aqu´ı no se puede anular el campo el´ectrico. Sea x la coordenada del punto en el que se anula el campo el´ectrico. Este punto est´a situado a una distancia x del origen de coordenadas y a una distancia (x − d) de la carga negativa. En este punto los m´odulos de los campos generados por cada una de las cargas son iguales.
E+ = E− ⇒
K nq x^2
K q (x − d) 2
⇒ n (x − d) 2 = x^2
Si n = 4, entonces: 2 (x − d) = x ⇒ x = 2 d. El punto A est´a situado a una distancia 2 d hacia la parte positiva del eje X. Aplicando la definici´on de potencial electrost´atico, se tiene que:
V A = V A+ + V A− =
K · 4 · q 2 · d
K · (−q) d
K q d
Ejercicio 7
Dibuja las l´ıneas de campo el´ectrico y las superficies equipotenciales del campo el´ectri- co creado por una carga q = − 4 μC. ¿Qu´e distancia hay entre la superficie equipotencial de −12000 V y la de −4000 V?
Soluci´on 7
V 1 V 2 V 3
−Q
1
2
3
Las l´ıneas de campo del campo el´ectrico creado por una carga puntual son radiales y por convenio se dirigen hacia las cargas negativas. Las superficies equipotenciales del
∆ r 5 cm
50 V 40 V 30 V 20 V 10 V
X
Y
E
A
B
- El trabajo que realizan las fuerzas del campo es independiente de la trayectoria.
WA→B = −q∆V = −q (V (^) B − V (^) A ) = −(− 1 , 6 · 10 −^19 ) · (10 − 50) = − 6 , 4 · 10 −^19 J
El proceso no es espont´aneo, un agente externo realiza un trabajo al trasladar al electr´on que se almacena en forma de energ´ıa potencial el´ectrica asociada a la nueva posici´on del electr´on dentro del campo el´ectrico.
Ejercicio 9
En una regi´on del espacio act´ua un campo el´ectrico uniforme, de forma que al trasladar una carga de 0,4 C desde el punto A(x, 0) hasta el punto B(x + 0, 2 , 0), la fuerza el´ectrica realiza un trabajo de −200 J. Si al punto A se le asigna un potencial el´ectrico de 20 V, calcula el potencial del punto B y la componente del campo el´ectrico en la direcci´on del eje X.
Soluci´on 9
Si se elige el punto A como origen de un sistema de referencia con el eje X paralelo a la direcci´on del campo, entonces la coordenada del punto B es: xB = 0,2 m Aplicando la relaci´on entre el trabajo y la diferencia de potencial entre esos puntos, se tiene:
WA→B = −q ∆V = −q (V (^) B − V (^) A ); −200 = − 0 , 4 · (V (^) B − 20) ⇒ V (^) B = 520 V
Aplicando la relaci´on entre el potencial y el campo, resulta que:
E cos ϕ = −
∆V
∆r
= −2500 V/m
Vectorialmente: E⃗ = − 2500 ı ⃗ V/m El campo el´ectrico tiene el sentido del potencial decreciente.
Ejercicio 10
Un electr´on se deja en reposo en el origen de coordenadas donde act´ua un campo el´ectrico uniforme de intensidad: E⃗ = − 400 ı ⃗ N/C. Determina la diferencia de potencial entre el origen de coordenadas y el punto A(5, 0) cm. Calcula la velocidad del electr´on cuando pasa por el citado punto A. Datos: me = 9, 1 · 10 −^31 kg
Soluci´on 10
- Al realizar un desplazamiento desde el origen de coordenadas hasta el punto A, el vector campo el´ectrico y el desplazamiento forman un ´angulo de 180 ◦^. Aplicando la relaci´on entre el potencial y el campo, se tiene:
E cos ϕ = −
∆V
∆r
; 400 · cos 180 ◦^ = −
∆V
⇒ ∆V = 20 V
∆ r
X O
E
A
El punto A est´a a mayor potencial que el punto O, ya que el campo el´ectrico tiene el sentido del potencial decreciente. Si al origen de coordenadas se le asigna un potencial el´ectrico igual a cero voltios, el punto A est´a a un potencial de:
∆V = V (^) A − V (^) O = 20 V ⇒ V (^) A = 20 + V (^) O = 20 + 0 = 20 V
- Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa mec´anica:
∆Ec + ∆Ep = 0; ∆Ec = −∆Ep ⇒
me v (^) A^2 = −qe ∆V
Sustituyendo: 1 2
· 9 , 1 · 10 −^31 · v (^) A^2 = −(− 1 , 6 · 10 −^19 ) · 20 ⇒ vA = 2, 65 · 10 6 m/s
Ejercicio 11
Un electr´on que lleva una velocidad dev⃗ = 5 · 10 6 ı⃗ m/s accede perpendicularmente
a un campo el´ectrico uniforme de intensidad E⃗ = 3000ȷ⃗ N/C. Deduce la ecuaci´on de la trayectoria que describe el electr´on. ¿Qu´e distancia recorre verticalmente el electr´on despu´es de trasladarse horizontalmente 12 cm?
Soluci´on 12
- La energ´ıa cin´etica en unidades S.I. es:
Ec = 100 eV = 100 · 1 , 6 · 10 −^19 = 1, 6 · 10 −^17 J
Aplicando la definici´on de energ´ıa cin´etica, se tiene la velocidad inicial del electr´on.
Ec =
m v 2 ; 1 , 6 · 10 −^17 =
· 9 , 1 · 10 −^31 · v 02 ⇒ v 0 = 5, 93 · 10 6 m/s
- La velocidad final es la mitad de la inicial, por lo que la variaci´on de su energ´ıa cin´etica es:
∆Ec =
m v (^2) f −
m v 20 =
m
[( v 0 2
) 2 − v 02
]
m
( −
v (^20)
) = −
Ec,inicial = −75 eV
- Se elige un sistema de referencia con el origen en la posici´on inicial del electr´on y el eje X coincidente con la trayectoria del mismo. Como el electr´on se frena sin modificar su trayectoria, significa que act´ua sobre ´el una fuerza el´ectrica de sentido contrario al de su movimiento y por ello el campo el´ectrico tiene la misma direcci´on y sentido que la velocidad inicial del electr´on. Aplicando la ley de la conservaci´on de la energ´ıa mec´anica, se cumple:
∆Ec + ∆Ep = 0 ; ∆Ec = −∆Ep ; −75 = −qe ∆V
Como la carga q del electr´on es negativa se tiene que la diferencia de potencial entre el punto de salida y el de entrada en el campo es: ∆V = −75 V. Como el campo el´ectrico es uniforme y tiene la direcci´on y sentido del desplaza- miento: E · cos ϕ = −
∆V
∆r
= 750 V/m ⇒ E⃗ = 750ı⃗ V/m
Ejercicio 13
Una esfera que tiene una masa de 0,1 g y una carga el´ectrica de 0, 1 μC se encuentra sujeta al extremo de un hilo de 10 cm de longitud. El otro extremo del hilo est´a sujeto a un punto de una placa met´alica, colocada verticalmente y cargada el´ectricamente, que genera un campo el´ectrico uniforme de 5000 N/C. ¿Qu´e ´angulo forma el hilo con la vertical?
Soluci´on 13
Sobre la bolita act´uan su peso, la fuerza el´ectrica y la tensi´on del hilo. Eligiendo un sistema de referencia con el eje X como la horizontal y el eje Y la vertical y aplicando la condici´on de equilibrio:
∑ ⃗ Fx = 0; T⃗ x + F⃗ e = 0; Tx = Fe ⇒ T sin ϕ = |q| E
ϕ
ϕ
P
T
Tx
e
y
F
T
∑ ⃗ Fy = 0; T⃗ y + P⃗ = 0; Ty = P ⇒ T cos ϕ = m g
Dividiendo miembro a miembro:
tan ϕ =
|q| E m g
⇒ ϕ = arctan
0 , 1 · 10 −^6 · 5000
0 , 1 · 10 −^3 · 9 , 8
