FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN.
UNAM.
CÁLCULO VECTORIAL.
FUNCIÓN MULTIVARIABLE.
Ing. Fortunato Cerecedo Hernández
ENERO 2015
CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIÓN ESCALAR MULTIVARIABLE.
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Campo Escalar, Apuntes de Matemáticas
Asignatura: mate 3, Profesor: Fortunato Cerecedo, Carrera: Ingeniería Industrial, Universidad: UPSA-M
Tipo: Apuntes
2015/2016
1 / 29
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FACULTAD DE ESTUDIOS SUPERIORES ARAGÓN.
UNAM.
CÁLCULO VECTORIAL.
FUNCIÓN MULTIVARIABLE.
Ing. Fortunato Cerecedo Hernández ENERO 2015
CONCEPTOS BÁSICOS DE FUNCIÓN ESCALAR MULTIVARIABLE.
CONTENIDO.
Tomando para distintos valores de "𝑛"
a) Si 𝑛 = 1 𝑓: 𝑅 → 𝑅 Función de una sola variable.
b) Si 𝑛 = 2 𝑓: 𝑅^2 → 𝑅 Función de dos variables.
c) Si 𝑛 = 3 𝑓: 𝑅^3 → 𝑅 Función de tres variables.
d) Para una "𝑛 − 𝑢𝑝𝑙𝑎 ” 𝑓: 𝑅𝑛^ → 𝑅 Función de “n” variables.
El dominio de la función es el conjunto dado como;
𝐷 = 𝑅𝑛^ = {(𝑥 1 , 𝑥 2 , …. , 𝑥𝑛) | 𝑥 1 , 𝑥 2 , …. , 𝑥𝑛 ∈ 𝑅}
El Co-dominio o conjunto imagen se indica cómo;
Para cualquier elemento del dominio existe una imagen que se encuentra en el contra dominio de la función, esto lo podemos expresar de la siguiente forma;
De acuerdo a la definición 1, no se permite que un elemento del dominio presente dos imágenes distintas, como se observa a continuación.
Los pares ordenados a los que se refiere la definición 1, serían de la forma;
Variables independientes variable dependiente
Ejemplos de función multivariable.
i. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 𝑦 + 4
ii. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑦^2
iii. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑒−𝑥^ + sin(𝑦 + 𝑧)
iv. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 2𝑥+𝑦4𝑧
v. 𝑓(𝑥 1 , 𝑥 2 , 𝑥 3 , 𝑥 4 ) = 𝑥 1 + 3𝑥 2 − 12 𝑥 4
vi. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √𝑦𝑥
vii. 𝑓(𝑥, 𝑦) = √4 − 𝑥^2 − 𝑦^2
viii. 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑥^2 + 𝑦^2 + 𝑧^2
ix. 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑒2𝑦
x. 𝑓(𝑥, 𝑦) = ln(𝑥 − 𝑦)
Ejemplo 1.
Analizar la función; 𝑓(𝑥, 𝑦) = −4𝑥 + 𝑦 − 1
Solución. Se puede observar dos variables independientes, por lo cual el dominio de la
función es el espacio 𝑅^2. El conjunto de imágenes está en 𝑅^1.
Es posible evaluar la función para cualquier número real, dando como resultado un número real, así; 𝑓(2,3) = −8 + 3 − 1 = −
Si el par (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅^2 , entonces se puede expresar en forma vectorial;
Lo anterior nos indica que este tipo de funciones son correspondencias de un vector con un número real. Ver la figura 1.
El dominio de la función es:
Nuestros resultados nos indican que el dominio es un subconjunto del espacio 𝑅^2
En la figura siguiente se puede visualizar el dominio de la función.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN.
DEFINICIÓN 2.
Sea 𝑓 ∶ 𝑆 → 𝑅 , 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑆 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑛, se define la gráfica de
"𝑓" como el subconjunto de 𝑅𝑛+1^ que consta de los puntos:
Usando el concepto de conjunto, la gráfica de la función multivariable es:
Observar que si 𝑆 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑅𝑛^ 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 (𝑥 1 , 𝑥 2 , …. , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅𝑛
De acuerdo a la definición 2, la grafica de una función multivariable se encuentra
en el espacio 𝑅𝑛+1.
- FUNCIÓN ESCALAR MULTIVARIABLE.
- GRÁFICA DE LA FUNCIÓN.
- ESPACIO 3D.
- SUPERFICIE.
- CLASIFICACIÓN DE SUPERFICIES BÁSICAS
- CONJUNTO DE NIVEL.
- SUPERFICIES Y CURVAS DE NIVEL.
- EJERCICIOS.
- a) Si 𝑛 = 1; la gráfica resultante es una curva en 𝑅
- b) Si 𝑛 = 2 ; la gráfica es una superficie en 𝑅
Entonces 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 0 ; representa una superficie si las coordenadas de todo
punto sobre la superficie satisfacen la ecuación y además si todo punto cuyas coordenadas satisfacen la ecuación está en la superficie. Observando la definición 3 y la definición 4 concluimos que S es un subconjunto
de 𝑅^3.
CLASIFICACIÓN DE SUPERFICIES BÁSICAS
En esta clasificación se muestran su ecuación y su gráfica correspondiente.
- PLANO : Es una superficie, generada por un conjunto de puntos, cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de la forma:
La expresión anterior es conocida como ecuación general del plano.
- ESFERA : Superficie formada por todos aquellos puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación ordinaria.
Donde: las coordenadas del centro de
la esfera son (ℎ, 𝑘, 𝑙)^ y el radio
viene denotado como `r´.
(𝑥 − ℎ)^2 + (𝑦 − 𝑘)^2 + (𝑧 − 𝑙)^2 = 𝑟^2
- CILINDRO: Un cilindro es una superficie generada por una recta que se mueve a lo largo de una curva plana dada de tal forma que siempre queda paralela a una recta fija que no está en el plano de dicha curva. La recta que de desplaza se llama generatriz del cilindro y la curva plana se llama directriz del cilindro. En el espacio tridimensional la gráfica de una ecuación en 2 de las 3 variables x, y, z es un cilindro cuyas regladas son paralelas al eje asociado con la variable faltante y cuya dirección es una curva en el plano asociado con las dos variables que aparecen en la ecuación.
La ecuación de una superficie cilíndrica estará en términos de la curva que sirva de directriz.
- SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN : Si una curva plana se hace girar alrededor de una recta fija que está en el plano de la curva la superficie generada se llama superficie de revolución. La recta fija se llama eje de la superficie de revolución y la curva plana se llama curva generadora o línea revolvente. La ecuación de una superficie de revolución estará en términos de la curva generadora.
PARABOLOIDE HIPERBÓLICO:
HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA:
CONO ELÍPTICO:
𝑥^2
𝑎^2 −^
𝑦^2
𝑏^2 =^
𝑥^2
𝑎^2 +^
𝑦^2
𝑏^2 −^
𝑧^2
𝑐^2 =^1
𝑥^2
𝑎^2 +^
𝑦^2
𝑏^2 −^
𝑧^2
𝑐^2 =^0
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:
Ejemplo 3.
Mostrar la gráfica de la función; 𝑓(𝑥, 𝑦) = −4𝑥 + 𝑦 − 1
Solución.
Si se presentan dos variables independientes el dominio está en 𝑅^2.
De acuerdo a la Definición 2, la gráfica se debe encontrar en el espacio
𝑅𝑛+1^ ; 𝑠𝑖 𝑛 = 2, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑝𝑎𝑐𝑖𝑜 𝑅^3.
La figura 3 muestra dicha gráfica.
La gráfica de la función es una superficie, que corresponde a un plano.
𝑥^2
𝑎^2 +^
𝑦^2
𝑏^2 −^
𝑧^2
𝑐^2 =^ −^1
En el espacio 𝑅^3 , colocamos la superficie cilíndrica resultante. Ver figura 5.
En la figura se observa con claridad el plano coordenado x-y. La parte que se localiza por debajo de la superficie sobre el plano x-y, corresponde con el dominio de la función.
En los ejemplos 3 y 4 relacionados con la gráfica de una función 𝑓(𝑥, 𝑦), se utilizó
el conocimiento de superficies básicas, sin embargo existe una infinidad de funciones que no tienen ninguna relación con éstas, entonces podemos bosquejar la gráfica usando el concepto de conjunto de nivel.
CONJUNTO DE NIVEL.
DEFINICIÓN 5.
Sea 𝑓 ∶ 𝑺 → 𝑅 𝑦 𝑘 ∈ 𝑅 ; entonces el conjunto de nivel de valor “k”, ésta
definido como aquellos puntos (𝑥 1 , 𝑥 2 , … …. 𝑥𝑛) ∈ 𝑺 ; para los que:
El conjunto de nivel correspondiente será:
Los conjuntos 𝑆 𝑦 𝑁 𝑠𝑜𝑛 𝑠𝑢𝑏𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑅𝑛.
El conjunto de nivel se localiza en el dominio de la función.
a. Si 𝑛 = 2 → 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑘 ; resulta una curva de nivel en el plano x-y de
valor “k”
b. Si 𝑛 = 3 → 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑘 ; resulta una superficie de nivel en el
dominio de la función de valor “k”. La idea de conjunto de nivel es un método útil para representar geométricamente una función de dos variables similar al de la representación de un paisaje tridimensional por medio de un mapa topográfico bidimensional. Al considerar diferentes valores para la constante “ k”, obtenemos un conjunto de curvas de nivel o curvas de contorno llamado mapa de relieve. Ejemplo 5. Determinar el conjunto de nivel para la función del ejemplo 4 dado como;
Considere;
i. 𝑘 = 1
ii. 𝑘 = 2
iii. 𝑘 = 2.
Solución.
i. Si 𝑘 = 1 → 𝑓(𝑥, 𝑦) = 1 = √4𝑦 → 4𝑦 = 1 ∴ 𝑦 = 14 ; La
expresión resultante corresponde a una recta, observar la siguiente figura.
La figura 8 nos muestra otra vista de la gráfica de la función..
SUPERFICIES Y CURVAS DE NIVEL.
Las gráficas siguientes muestran las superficies así como sus curvas de nivel, para diversas funciones en dos variables.
Superficie
Curvas de nivel