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CAMPO GRAVITATORIO.
1 LEY DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Dos masas ejercen entre si una fuerza de atracción directamente proporcional
al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia. que las separa.
2
1 2
d
m m
F G
G=6,67 · 10
Es habitual que una de las masas sea la tierra M.
2 d
M m F G
Ejercicios:
1 Dados dos cuerpos de masas m y M a una distancia dada D que
experimentan una fuerza gravitatoria de valor F = 20 N, ¿qué fuerza
experimentarán estos mismos cuerpos si los situamos al doble de su
distancia?
La fuerza de interacción a la distancia D será 20 N
D
M m
F G G (^2)
; si doblamos
la distancia, la nueva distancia será D´ = 2·D, entonces la fuerza gravitatoria
será:
5 N
4
20 N
4 D
M m G
( 2 D )
M m G
D ´
M m F G G (^222)
2 Si tenemos dos cuerpos a una distancia fija D con masas m y M que
sufren una fuerza gravitatoria de 50N, ¿qué fuerza experimentarán dos
cuerpos a la misma distancia pero que tienen doble de m y triple de M?
Las dos nuevas masas serán m´ = 2·m y M´ = 3·M. Los dos cuerpos con masas
m y M sufren una fuerza:
50 N
D
M m F G G (^2)
Las nuevas masas se atraerán con una fuerza dada por:
650 N 300 N
D
6 M m G
D
3 M 2 m G
D
M´m ´ F G G (^222)
3 Dos masas se atraen con una fuerza de 10 N. Si la distancia entre ellas
se reduce a la mitad, entonces la fuerza es de:
a) 20 N.
b) 1800 N.
c) 0,5 N.
d) 2 N.
e) 40 N.
f) no se puede saber con la información dada.
La ley de gravitación universal que da la fuerza de atracción entre dos masas
se expresa por:
2 r
m m ´ F G
. Si la distancia, r, se reduce a la mitad,
2
r r ´ , la nueva fuerza, F´, será:
4 F
r
m m ´ 4 G
(r/ 2 )
m m ´ F´ G 2 2
. Y por ser F = 10, resultará: F´ = 40 N
Por tanto, la opción correcta es la e).
4 Dados dos cuerpos con masa m y m' situados a una distancia R, ¿en
Tenemos dos objetos de masa conocida separados por una distancia
también conocida. Establecemos
su interacción gravitacional utilizando la ley de gravitación universal: 2
L T G r
m M F G
6 2 2
22 24
2
2 11
G
38410 m
7 , 3510 kg 5 , 9810 kg
kg
Nm
F 6 , 67 10
F 1 , 99 10 N
20
G
7 Tres cuerpos de masas iguales situados en los vértices de un triángulo
equilátero de lado L. Calcular la fuerza que cada dos masas ejercen sobre
la tercera.
Solución:
Por razones de simetría nos limitaremos a calcular la fuerza resultante sobre
una cualesquiera de las tres masas, pues sobre las otras actuarán fuerzas
semejantes. Las correspondientes fuerzas gravitatorias vienen indicadas en
el gráfico:
Y
X
1
F
2
F
F
Para efectuar la suma, descomponemos las fuerzas según los ejes X,Y de la figura:
F1X = F 1 ·cos60º; F1Y = F 1 ·sen60º
F2X = F 2 ; F2Y = 0
Por tanto:
3 i 3 j
2 L
G m
j
2
1 i
2
L
G m
F (F cos 60 º F)i F sen 60 ºj F 2
2
2
2
1 2 1
El módulo e inclinación de la fuerza resultante (^) F serán:
; arctg
L
3 G m 12
2 L
G m F 2
2
2
2
Es decir F está dirigida hacia el centro del triángulo, como era de esperar por razones de simetría.
8 ¿Qué masa tendrá un cuerpo que se encuentra a una distancia de 4 m
de una masa de 5 kg si experimenta una fuerza de intensidad 20 N?
A partir de la ley de gravitación universal, sabemos que 2 r
G M m F
(^) , dado que
conocemos
m = 5 kg y r = 4 m, conocida la fuerza que experimenta M podemos despejar el
valor de su masa.
Así, 9 ,^610 kg
5 G
20 M
G M 5
F
11
2
Por tanto, la masa de este cuerpo es 10
11 órdenes de magnitud superior a la
masa dato.
2 LEYES DE KEPLER.
1ª Ley: Los planetas describen órbitas elípticas alrededor del Sol estando
situado este en uno de sus focos.
2ª Ley: El radio vector que une el Sol con los planetas barre áreas iguales en
tiempos iguales de la elipse en tiempos iguales.
que es una generalización de la 3ª ley de Kepler con
2 4
K
GM
Esta expresión permite calcular el radio de cualquier planeta conocido el valor
del período y distancia de uno de sus satélites.
Ejercicios:
1 Si el período de un planeta A es el doble que el otro planeta B, ¿cómo se
relacionan los radios de sus órbitas?
Aplicando la tercera ley de Keppler tenemos que:
3
B
2
B
3
A
2
A
R
T
R
T
sustituyendo el dato del problema^ A B
T 2 T tenemos:
3
B
2
B
3
A
2
B
R
T
R
( 2 T )
3
B
2
B
3
A
2
B
R
T
R
4 T
por tanto:
3
B
3
A
R
R
R
R
3 (^3) A
B
ó^ 3
A B
4
R
R
2 Si un planeta A recorre un área S en una cantidad de tiempo t.¿Qué
tiempo empleará en recorrer un área equivalente a 5S?
Aplicando la segunda ley de Keppler sabemos que en tiempos iguales se
barren áreas iguales. Por tanto un área 5S se barrerá en cinco veces más
tiempo que un área S.
3 Dado que la distancia media de la Tierra al Sol es 14,96·
6 km, calcula
el valor correspondiente para el planeta Venus.
Datos: Los períodos en la Tierra (T) y en Venus (V) son 365,256 y 224,
días terrestres, respectivamente
Conociendo el radio de la órbita de un planeta, y su período, se determina el
radio de la órbita de otro planeta, si se sabe su período. Basta para ello
utilizar la tercera ley de Keppler, por tanto:
2
V
3
V
2
T
3
T
T
R
T
R
y dado que conocemos ambos períodos y el radio de la órbita terrestre,
despejamos el radio de la órbita de Venus.
108 , 2 10 km
365 , 256 d
227 , 701 d ( 149 , 610 km )
T
T R
R
6
3
2
6
3
1
2
T
3
T
2
V
V
Al dividir se simplifican las unidades de tiempo por lo que no se necesitan
conversiones.
4 Determina el período de un satélite en su órbita en torno a la Tierra
sabiendo que la distancia Luna-Tierra es de 3,84·
8 m y considerando
que su periodo es de 28 días.
Datos: Radio órbita del satélite = 2·
7 m.
Conocido el radio de la órbita lunar, y dado que el período de la Luna es de
28 días, podemos conocer el período del satélite a partir de la tercera ley de
Keppler:
La velocidad orbital es de
T
T T T
2 R
v
Sustituyendo los datos se obtiene: v 2 , 9710 m/s
4
T
7 Calcular la velocidad media de la Tierra en su órbita alrededor del Sol y
la de la luna en su órbita alrededor de la Tierra, sabiendo que el radio
medio de la órbita lunar es 400 veces menor que el de la órbita terrestre y
que el periodo de revolución lunar es 13,38 veces menor que el de la
terrestre. (RST=149·
9 m)
Sean RL y TL el radio y período de la Luna alrededor de la Tierra y RT = RST y TT
el radio y período de la Tierra alrededor del Sol; conocemos RT = 149·
9 m y
TT = 1 año = 3,15·
7 seg y sabemos que:
R
R
T
L
y 13 , 38
T T
T L ^.
Las respectivas velocidades lineales orbitales serán
13 , 38 v
T
2 R
; v
T
2 R
v
T
L
L
L
T
T
T
Sustituyendo los valores de RT y TT:
vT = 2,97·
4 m/seg
vL = 9,92·
2 m/seg
8 Los cometas Halley y Kohertelx tienen períodos de 76 años y unos 106
años respectivamente, Suponiendo, para simplificar, que sus órbitas
sean circulares, calcúlense sus distancias medias al Sol, así como sus
velocidades medias.
Datos: distancia Tierra – Sol = 1,5·
8 km.
Conocido el período de la Tierra en su giro en torno al Sol TT = 3,15·
7 s y la distancia Tierra – Sol
podemos calcular la constante de Keppler:
3
2 19
11 3
2 7
3
T
2
T
m
s 2 , 94 · 10
1 , 510 m
3 , 1510 s K
r
T
Los períodos de los satélites serán:
TH = 76·365·24·60·60 = 239,7·
7 s
TK = 106·365·24·60·60 = 334,3·
7 s
Sustituyendo estos datos: 3 , 410 m
k
T
2 , 7 10 m ; r
k
T
r
12
1 / 3 2
K K
12
1 / 3 2
H H
Conocidos los radios, las velocidades vienen dadas por:
6390 , 3 m/ s
T
2 r
7077 , 4 m/s ; v
T
2 r
v
K
K K
H
H H
9 El radio de la órbita de la Luna en torno a la Tierra es de 400.000 km; el
período de revolución es de 28 días. El radio de la órbita de Dione, el
cuarto satélite de Saturno, es el mismo, pero su período de revolución es
de 2,8 días. ¿Cuál es la masa de Saturno en relación a la de la Tierra
suponiendo órbitas circulares?
Calculamos la velocidad de giro de la Luna en torno a la Tierra:
1038 , 9 m/ s
28 86. 400 s
2 410 m v
8
L
(^).
La velocidad de Dione será: 10388 ,^9 m/s 2 , 8 86. 400 s
2 410 m v
8
D
(^).
Conocidas estas velocidades y sabiendo que:
r
M
v G
r
v m
r
G M m
2
2
En el caso de la Tierra:
D
S
D
L
T
L r
G M
y v
r
G M
v
En la superficie terrestre g 0 =9,8 m/s
2
3 VARIACIÓN DE LA INTENSIDAD DE CAMPO GRAVITATORIO CON LA
ALTURA.
En la superficie terrestre (^0 ) R
M
g G
T
A una determinada altura h sobre la superficie terrestre
2 R h
M
g G
T
2
2
R
M G
R h
M G
o
T
T
g
g
^
2
2
1
1
R
R h
o
g
g
2
2
R h
R
g o
g
o R h
R g (^) 2 g
2
NOTA: Este cociente lo haremos siempre que tengamos que calcular la
gravedad en algún planeta o a una determinada altura.
Ejercicios:
1 Los radios de la Tierra y de Marte son, respectivamente, 6.400 km y
3.400 km. La masa de la Tierra es 9,5 veces la de Marte. El valor de la
aceleración de la gravedad en la superficie de Marte es, en m/s
2 :
a) 5,
b) 3,
c) 9,
d) 17,
e) 2,
f) 5,
Aplicando la ecuación 2 r
G m g
(^) a la Tierra y Marte, se tiene:
2
M
M
2 M
T
T
T r
G m
y g
r
G m
g
(^) , donde mT y rT son la masa y el radio de la Tierra
respectivamente, y mM y rM los de Marte. Dividiendo miembro a miembro la
segunda ecuación entre la primera, resulta:
m r
m r
g
g
2
2
T M
2
M T
T
M
(^) y como gT = 9,81 m/s
2 se concluye: gM = 3,66 m/
s
2
. Luego la
opción correcta es la b).
2 La aceleración de la gravedad en la superficie terrestre es de 9,8 m/s
2 .
La aceleración de la gravedad en la superficie de Venus es de 8,9 m/s
2 .
Un objeto de 25 kg de masa en la superficie de la Tierra tiene, en la
superficie de Venus, una masa de:
a) 2,27 kg.
b) 2,55 kg.
c) 22,7 kg.
d) 25 kg.
e) 222,5 kg.
La respuesta correcta es la d) porque la masa es un invariante, no depende
de la situación del cuerpo ni del valor de la aceleración de la gravedad. Lo
que sí varía es el peso, que en el caso del objeto dado en el enunciado vale:
5¿En qué porcentaje cambiará el peso de una persona si se subiera a una
altura equivalente a la de la Torre Sears de Chicago, que es 4,432·
2 m?
El diámetro de la Tierra es de 1,274246·
7 m.
Para determinar la variación del peso calcularemos la fuerza de atracción
gravitatoria en la superficie terrestre FT y en lo alto de la Torre Sears FS. Dado
que se trata de un problema de porcentaje, sólo será necesario usar relaciones
y así evitaremos el uso de constantes. Aplicamos la ley de gravitación
universal. La relación de pesos es:
2 6
2 6
2
T
2
T
T
S
6 , 37167 · 10 m
6 , 37123 · 10 m
1 / R
1 /R h
F
F
que con cuatro cifras significativas es 99,99%. La reducción en el peso, y en
consecuencia la reducción en gT es tan sólo 0,01%.
6 Un pollo de 1 kg pesa 9,8 N en la superficie terrestre. A una altura de un
radio terrestre por encima de la superficie de la Tierra, ¿cuál será su
peso? Datos: supongamos que el pollo está en uno de los polos.
El peso viene dado por P = m·g. Dado que g, la aceleración de la gravedad
depende de la distancia al centro de la Tierra, ésta variará con la distancia. g
se calcula a partir de la ley de gravitación
universal, ésta será: 2
T
r
M G
g
(^) así 2
T
T
R
M G
g
en la superficie terrestre.
A la altura señalada será (^2)
T
T
2
T
T
4 R
M G
( 2 R )
M G
g ´
. Por tanto, dado que la masa
del pollo es de 1 kg tenemos que la relación de pesos será:
m 4 R
M G P´ m g ´
m R
M G P m g
2 T
T
2 T
T
así N^2 ,^45 N
4
9,
4
p p´
7 La masa de la Tierra es 80 veces la de la Luna y su radio 4 veces mayor.
Calcular el valor de la aceleración del campo gravitatorio en la superficie
lunar.
La aceleración de la gravedad viene dada por 2 r
G M
g
(^) siendo M la masa del
planeta y r su radio. La aceleración en la Luna será: (^2)
L
L
L
R
G M
g
y la de la
Tierra: (^2)
T
T
T
R
G M
g
. La masa de la Luna se relaciona con la de la Tierra como
9 La densidad del oro es 19,3 10
3 kg/m
3
. ¿Qué tamaño tiene una esfera de oro
macizo para que la aceleración de la gravedad en su superficie sea igual a 9,
m/s
2 ?.Compruebe su respuesta comparándolo con el radio de la Tierra, cuya
densidad es de 5,5 10
3 kg/m
3 .
La aceleración de la gravedad viene dada por: g =GM/r
2 ; conocida g = 9,
m/s
2 y sabiendo que
la masa es
3 r
3
4 M (suponiendo la Tierra una esfera perfecta), tenemos
que
Gr
3
r
r
3
g G 2
3
Sustituyendo los datos del problema, obtenemos el radio de la esfera de oro:
19 , 310 G r r 1 , 819 , 27 1819 km.
3
4 9 , 81
3
El radio de la Tierra es de 6370 km, y dado que su densidad es menor, es
coherente que su radio sea mayor
4 ENERGÍA POTENCIAL GRAVITATORIA Eg.
El trabajo para trasladar una masa de un punto A a otro B es igual a la
disminución de la energía potencial gravitatoria.
El valor de la energía potencial gravitatoria es:
- En un punto de la superficie terrestre:
R
M m U G A
donde:
M es la masa de la tierra
R es el radio de la Tierra
- a una altura h sobre la superficie terrestre:
A
M m
U G
R h
El trabajo para desplazarse de A a B es UA-UB. Siendo por tanto independiente
de la trayectoria. Cuando estemos cerca de la superficie terrestre podemos
suponer la aproximación: Ep=-mg 0 h
5 POTENCIAL GRAVITATORIO Vg.
Se llama potencial gravitatorio a la energía potencial por unidad de masa.
VA=
R
M
G
m
U
A se mide en J/Kg.
El trabajo para desplazarse de A a B es m(VA-VB)
Una superficie equipotencial es el lugar geométrico de los puntos del plano que
tienen igual potencial. El trabajo para desplazarse entre dos punto de una
superficie equipotencial es cero.
Ejercicios:
1 Calcular el trabajo realizado por el campo gravitatorio, en la caída de
una piedra de 1 kg. desde un edificio de altura 20 m.
El trabajo realizado se calculará mediante el teorema de la energía potencial.
Así, el trabajo será la diferencia de energía potencial cambiada de signo.
T E f E i mgh 1 9 , 8 20 196 J
i f p P
