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Tema 2: Capitalización Simple - 1-
TEMA 2 : CAPITALIZACIÓN SIMPLE
ÍNDICE
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE .............................................................. 1
1.1. CONCEPTO .................................................................................................. 2
1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN ............................................................. 2
1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN ..................................................... 2
1.4. DESARROLLO DE LA OPERACIÓN .............................................................. 3
1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL ............................................................... 4
1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES .................................................... 5
1.7. CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS ............................................................... 6
1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN ...................................................................... 7
2. TANTOS EQUIVALENTES ................................................................ 8
2.1. CONCEPTO .................................................................................................. 8
2.2. RELACIÓN DE TANTOS EQUIVALENTES.................................................... 9
3. DESCUENTO SIMPLE....................................................................... 9
3.1. CONCEPTO .................................................................................................. 9
3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN ................................................... 10
3.3. DESCUENTO RACIONAL........................................................................... 11
3.4. DESCUENTO COMERCIAL ........................................................................ 12
4. TANTO DE INTERÉS Y DESCUENTO EQUIVALENTES .................. 14
1. CAPITALIZACIÓN SIMPLE
Las operaciones en régimen de simple se caracterizan porque los intereses a medida que se van generando no se acumulan y no generan intereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los intereses que se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital -el inicial-, al tipo de interés vigente en cada período. Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (uno o
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menos de un año). 1.1. CONCEPTO La capitalización simple es la operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otro equivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera en régimen de simple. 1.2. DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN Partiendo de un capital (C 0 ) del que se dispone inicialmente -capital inicial-, se trata de determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo las condiciones en las que la operación se contrata ( tiempo -n- y tipo de interés -i- ). Este capital final o montante se irá formando por la acumulación al capital inicial de los intereses que genera la operación periódicamente y que, al no disponerse de ellos hasta el final de la operación, se añaden finalmente al capital inicial. 1.3. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN Los intereses no son productivos, lo que significa que: A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producir nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial , al tanto de interés vigente en dicho período. Gráficamente para una operación de tres períodos:
0 1 2 3 Inicio
C 0 C^1
I 1 =C 0 ⋅ i
I 2 =C 0 ⋅ i
C 2
I 3 =C 0 ⋅ i
C 3 =C 0 + Intereses
Fin
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EJEMPLO 1
Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años en régimen de capitalización simple.
C 4 = 2. 000 ⋅( 1 + 4 ⋅ 0 , 08 )= 2. 640 €
EJEMPLO 2
Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos 1.000 euros al 5% de interés anual para el primer año y cada año nos suben el tipo de interés un punto porcentual. En este caso la fórmula general de la capitalización simple no es aplicable al ser diferente el tipo de interés en cada período. El montante será, igualmente, el resultado de añadir al capital inicial los intereses de cada período, calculados siempre sobre el capital inicial pero al tipo vigente en el período de que se trate.
C 3 C 0 I 1 I 2 I 3 1. 000 1. 000 0 , 05 1. 000 0 , 06 1. 000 0 , 07
C 3 = 1. 180 €
1.5. CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL
Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma: C n =C 0 ⋅( 1 +n⋅i ) despejando C 0 resulta:
1 n i C 0 Cn = + ⋅
0 4 años
2.000 C 4?
i = 8%
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EJEMPLO 3
¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros para comparme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual para ese plazo?
C 0 = 1 +^12.^500 ⋅ 0 , 06 =^11 .,^50012 = 1. 339 , 29 €
1.6. CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES
Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capital inicial y sumarlos.
C (i i ... i )
InteresesTotales I I ... I (C i) (C i) ... (C i) 0 1 2 n
1 2 n 0 1 0 2 0 n = ⋅ + + +
Intereses Totales=C 0 ⋅(i 1 +i 2 +...+in ) Si i 1 = i 2 =...+in=ise cumple:
C i n
InteresesTotales I I ... I (C i) (C i) ... (C i) n(C i) 0
1 2 n 0 0 0 0 = ⋅ ⋅
Intereses Totales=C 0 ⋅n⋅ i Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencias entre ambos: In =Cn−C 0
EJEMPLO 4 ¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual? …/…
0 2 años
C 0? 1.
i = 6%
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EJEMPLO 6
Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5 años se obtenga un montante de 1.500 euros.
- 000 ⋅( 1 + 5 ⋅i)= 1. 500 €
5 0 ,^110 %
i = =
1.8. CÁLCULO DE LA DURACIÓN
Conocidos los demás componentes de la operación: capital inicial, capital final y tipo de interés, si se parte de la fórmula general de la capitalización simple, despejando la variable desconocida se puede calcular la duración de la operación. C n =C 0 ⋅( 1 +ni ) A partir de esa fórmula se despeja la variable desconocida que es «n»:
i
CC^1
CC^1 ni CC^1 ni ni CC^1 n^0
n 0
n 0
n 0
n= + ⇒ − = ⇒ = − ⇒ =^ −
i
CC^1
n 0
n −
EJEMPLO 7
Un capital de 2.000 euros colocado a interés simple al 4% anual asciende a 2. euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto. …/…
0 5 años
1.000 1.
i?
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- 000 ⋅( 1 +n⋅ 0 , 04 )= 2. 640 €
0 , 04 8 años
n =
2. TANTOS EQUIVALENTES
Normalmente los tipos de interés suelen venir expresados en términos anuales, pero no siempre se devengan con esa periodicidad, sino que, en la mayoría de las ocasiones, la acumulación de los intereses al capital inicial se hace en períodos más pequeños (meses, trimestres, semestres,...). La cuestión es ¿por el hecho de modificar la frecuencia de cálculo de intereses me beneficiaré o, por el contrario, me veré perjudicado? En este sentido, lo lógico es pensar que cualquiera que sea el número de veces que se calculen los intereses, al final el importe total de los mismos no haya variado, esto es, el resultado final de la operación no se vea afectado. En consecuencia, si se cambia la frecuencia de cálculo de los intereses habrá que cambiar el importe del tanto de interés aplicado en cada caso. Surge el concepto de tantos equivalentes. 2.1. CONCEPTO Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, se dice que son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial durante un mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final o montante.
0 n? años
2.000 2.
i=4%
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3.2. CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN
Los intereses no son productivos, lo que significa que: A medida que se generan no se restan del capital de partida para producir (y restar) nuevos intereses en el futuro y, por tanto Los intereses de cualquier período siempre los genera el mismo capital, al tanto de interés vigente en dicho período. En una operación de descuento el punto de partida es un capital futuro conocido (Cn) cuyo vencimiento se quiere adelantar. Deberemos conocer las condiciones en las que se quiere hacer esta anticipación: duración de la operación (tiempo que se anticipa el capital futuro) y tanto de interés aplicado. El capital que resulte de la operación de descuento (capital actual o presente –C 0 –) será de cuantía menor , siendo la diferencia entre ambos capitales los intereses que el capital futuro deja de tener por anticipar su vencimiento. En definitiva, si trasladar un capital desde el presente al futuro implica añadirle intereses, hacer la operación inversa, anticipar su vencimiento, supondrá la minoración de esa misma carga financiera. Gráficamente:
0 1 2 n- 1 Inicio
C 0
Cn
Fin
n
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Elementos: D ≡ Descuento o rebaja Cn ≡ Valor final o nominal C 0 ≡ Valor actual, inicial o efectivo i ód ≡ Tanto de la operación Por tanto, el capital presente (C 0 ) es inferior al capital futuro (Cn), y la diferencia entre ambos es lo que se denomina descuento (D). Se cumple la siguiente expresión: D =Cn −C 0 Además, el descuento, propiamente dicho, no es más que una disminución de intereses que experimenta un capital futuro como consecuencia de adelantar su vencimiento, por lo tanto se calcula como el interés total de un intervalo de tiempo (el que se anticipe el capital futuro). Se cumple: D =Capital⋅Tipo⋅ Tiempo Y, según cuál sea el capital que se considere para el cómputo de los intereses, estaremos ante las dos modalidades de descuento que existen en la práctica: DESCUENTO RACIONAL, MATEMÁTICO O LÓGICO DESCUENTO COMERCIAL O BANCARIO En todo caso, y cualquiera que sea la modalidad de descuento que se emplee, en este tipo de operaciones el punto de partida es un capital futuro (Cn) (conocido) que se quiere sustituir por un capital presente (C 0 ) (que habrá de calcular), para lo cual será necesario el ahorro de intereses (descuento) que la operación supone. 3.3. DESCUENTO RACIONAL El ahorro de intereses se calcula sobre el valor efectivo (C 0 ) empleando un tipo de interés efectivo (i).
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El capital inicial se obtiene por diferencia entre el capital final (Cn) y el descuento (Dc): C 0 =Cn−Dc=Cn− (C n⋅n⋅d) =Cn−Cn⋅n⋅d=Cn⋅( 1 −n⋅d) C 0 =Cn⋅( 1 −n⋅d ) EJEMPLO 9 Se pretende aniticipar al momento actual el vencimiento de un capital de 100 euros con vencimiento dentro de 3 años a un tanto anual del 10%. Calcular el capital inicial y el descuento de la operación: Caso 1 : Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el inicial (descuento racional):
C 0 = 1 +Cnn⋅i= 1 +^1003 ⋅ 0 , 1 = 76 , 92 € D r =Cn−C 0 = 100 − 76 , 92 = 23 , 08 € o bien: D r =C 1 n+⋅nn⋅^ ⋅ii =^1001 +⋅ 33 ⋅^ ⋅ 00 , 1 ,^1 = 23 , 08 € o bien: D r =C 0 ⋅n⋅i= 76 , 92 ⋅ 3 ⋅ 0 , 1 = 23 , 08 € Caso 2 : Considerando que el capital sobre el que se calculan los intereses es el nominal (descuento comercial):
0 3 años
C 0?
Dr? 100
i=10%
0 3 años
C 0?
Dc? 100
d=10%
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D c =Cn⋅n⋅d= 100 ⋅ 3 ⋅ 0 , 1 = 30 € D c =Cn−C 0 ⇒C 0 =Cn−Dc= 100 − 30 = 70 € o bien: C 0 =Cn⋅( 1 −n⋅d)= 100 ⋅( 1 − 3 ⋅ 0 , 1 )= 70 €
4. TANTO DE INTERÉS Y DE DESCUENTO EQUIVALENTES
Si el tipo de interés (i) aplicado en el descuento racional coincide en número con el tipo de descuento (d) empleado para el descuento comercial, el resultado no sería el mismo porque estamos trabajando sobre capitales diferentes para el cómputo del cálculo de intereses; de forma que siempre el descuento comercial será mayor al descuento racional (Dc> Dr) – como ocurre en el ejemplo 1. No obstante resulta interesante, para poder hacer comparaciones, buscar una relación entre tipos de interés y de descuento que haga que resulte indiferente una modalidad u otra. Será necesario, por tanto, encontrar un tanto de descuento equivalente a uno de interés, para lo cual obligaremos a que se cumpla la igualdad entre ambas modalidades de descuentos: Dr = Dc. Sustituyendo los dos descuentos por las expresiones obtenidas anteriormente: Dr =D c C 1 n+⋅nn ⋅ ⋅ i i=Cn⋅n ⋅ d
Esta expresión la podemos simplificar dividiendo por (C n ⋅ n):
1 +in^ ⋅i=^ d Obteniéndose el tanto de descuento comercial «d» equivalente al tanto «i»
1 n i d i = + ⋅
Análogamente, conocido «d» se podrá calcular el tanto «i»:
