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Repaso de las leyes b´asicas del electromagnetismo
Leonardo David Mejia Gonzalez
Universidad de las FF.AA ESPE [email protected]
I. OBJETIVO GENERAL
- Comprender y profundizar acerca de todos las par´ametros magn´eticos presentes en una maquina el´ectrica
II. OBJETIVOS ESPEC´IFICOS
- Relacionar las ecuaciones de Maxwell con los fen´omenos que ocurren dentro de una maquina el´ectrica
- Realizar una analog´ıa entre un circuito magn´etico y un circuito el´ectrico
- Comprender como afectan las perdidas en una maquina el´ectrica y como minimizarlas
III. INTRODUCCI ON´
Para entender una maquina electrica no solo es necesario entender todos sus aspectos constructivos, sino que debemos comprender el desempe˜no que cumple el campo magnetico en ella.
En un transformador el campo electrico de ca ayuda a transferir energia del lado primario al secundario sin necesidad de una conexi´on electrica, este principio se conoce como inducci´on
IV. ECUACIONES DE MAXWELL
∇ × E~ =
∂ B~
∂t
o
c
E^ ~ · dl~ =
s
∂ B~
∂t
· ds~
∇ × H~ = J ~
∂ D~
∂t
o
c
H^ ~ · dl~ =
s
J^ ~ · ds~ +
s
∂ D~
∂t
· ds~
∇ · B~ =0 o
s
B^ ~ · ds~ = 0
∇ · D~ =ρ o
s
D^ ~ · ds~ =
v
ρdv
Donde: E~ es la intensidad de campo el´ectrico [V /m]
H^ ~ es la intensidad de campo magn´etico [A/m]
B^ ~ es la densidad de flujo magnetico en teslas o [W b/m^2 ]
D^ ~ es la densidad de flujo el´ectrico en [C/m^2 ]
J^ ~ es el volumen de la densidad de corriente en [A/m^2 ]
ρ es el volumen de la densidad de carga en [C/m^3 ]
Las ecuaciones anteriores se relacionan entre si por la ley de la conservaci´on de la carga, conocida por la ecuacion de continuidad
∇ · J~ = −
∂ρ ∂t
Ademas es importante a˜nadir la ecuacion de fuerza de Lorentz
F^ ~ = q[ E~ + ~v × B~]
que define la fuerza que experimenta una cargaq que se mueve con velocidad ~v a trav´es de un campo el´ectrico y un campo magn´etico.
Los campos el´ectricos y los campos magn´eticos son los campos fundamentales de la densidad de flujo el´ectrico y la densidad de flujo magn´etico, y se relacionan de la siguiente manera,
D^ ~ = E~ = r 0 E~ B~ =μ H~ = μrμ 0 H~
A. Fuerza electromotriz inducida
La ley de induccion de Faraday representa la fuerza electromotriz en una espira cerrada estacionaria debido a una tasa de cambio de la densidad de flujo magnetico respecto al tiempo.
et = −
s
∂ B~
∂t
· ds~
Cuando en un conductor la carga se mueve con una velocidad ~v en un campo magnetico B~, se induce una fem adicional en aquel,se conoce como fem de movimiento o voltaje de velocidad, esta fem se conduce por el movimiento de un conductor en un campo magn´etico, se expresa de la siguiente manera
em =
c
(~v × B~) · dl~
Para una espira cerrada que se mueve en un campo magnetico, la fem total inducida debe ser igual a la suma de la fem de transformacion y la fem de movimiento.
e = et + em
B. Ley de fuerza de Ampere
Cuando una carga q se mueve con velocidad ~v en un campo magn´etico B~, la fuerza que ejerce el campo magnetico sobre la carga es, F~ = q~v × B~
La ley de fuerza de ampere se usa para calcular el par desarrollado en todos los motores el´ectricos.
Para transmitir el m´aximo par a un motor el campo magn´etico debe ser perpendicular al conductor que porta la corriente.
D. Dipolos magn´eticos
La corriente es la cantidad de carga que pasa por un punto en un segundo y si se multiplica la corriente por el ´area se obtiene el momento orbital magn´etico. Ademas un un electr´on gira sobre su propio eje y esto confiere al electr´on un momento magn´etico de giro
E. Ferromagnetismo
El dominio magnetico es una region muy peque˜na en la que todos los dipoles magneticos estan perfec- tamente alineados. Un material virgen es aquel que tiene sus dominios con direcciones aleatorias, para magnetizarlo se requiere de un campo magn´etico, todos sus polos tienen a alinearse.
Fig. 2. Orientaci´on aleatoria de dipolos magn´eticos en un material ferromagn´etico no magnetizado
Cuando una corriente en una bobina establece un campo H dentro del material, el cual puede considerarse una variable independiente. El campo aplicado H~ crea un campo B~, si B~ es muy d´ebil resulta reversible el movimiento de ls limites del dominio, si H~ aumenta el campo B~ se vuelve mas intenso. El campo B~ inicialmente crece muy lento, luego mas r´apido y despu´es vuelve a ser lento y finalmente se estabiliza, esta curva se llama curva caracter´ıstica de magnetizaci´on.
(a) Campo magnetico establecido por una bobina portadora de corriente
(b) Caracteristica de magnetizacion de un ma- terial ferromagnetico Fig. 3.
La saturacion magn´etica ocurre mientras se avanza por encima de la rodilla, la permeabilidad en cualquier punto de la curva es la razon de B a H.
F. El ciclo de hist´eresis
Si se conecta una fuente variable en un material ferromagnetico y del otro extremo se conecta una bobina, esta permite medir la intensidad de campo magnetico y la densidad de flujo magnetico, es decir una corriente permite medir estas dos variables.
Cuando la curva B-H empieza a nivelarse se supone que todos los dipolos magneticos se alinearon con el campo B~ y en ese momento la densidad de flujo magn´etica es m´axima y el material esta saturado, en este punto el material alcanza un valor de permeabilidad casi igual al del vac´ıo, es por eso que no conviene usarlo en transformadores.
Cuando el campo magn´etico empieza a disminuir, la curva no sigue la trayectoria previa, sino que sigue otra trayectoria, es decir que el campo B no decrece con la misma rapidez con la que creci´o, a esto se le llama hist´eresis. La curva muestra que aun cuando el campo H se reduce, en el material permanece un flujo magn´etico, a esto se le conoce como remanencia o densidad residual de flujo. Entre mayor sea la capacidad de mantener esa remanencia, el materia se lo conoce como material magn´etico duro y es usado para la construcci´on de motores con imanes permanentes.
Fig. 4. Ciclo de hist´eresis
Para reducir a cerro el flujo magn´etico es necesario invertir la corriente de la bobina, el valor de H que lo logra se conoce como fuerza coercitiva
VI. CIRCUITOS MAGN ETICOS´
Puesto que las lineas de flujo magn´etico forman una trayectoria cerrada y el flujo magn´etico que entra por un limite es el mismo que sale por otro limite, es posible establecer una analog´ıa entre el flujo magn´etico y la corriente en un circuito conductor cerrado.
A diferencia de un circuito el´ectrico donde la corriente se confina a un material conductor, el flujo magn´etico no solo se confina al material magn´etico, tambi´en tiende a fluir al rededor del aire, pero si un material tiene alta permeabilidad se puede considerar que todo el flujo se confina dentro del material.
Se debe tener las siguientes consideraciones al momento de analizar un circuito magn´etico:
VIII. BOBINAS ACOPLADAS MAGNETICAMENTE
Cuando dos o mas bobinas se conectan en serie se dice que est´an magneticamente acopladas, la inductancia efectiva depende de la orientaci´on de la bobinas, dispercion de flujo.
A. Conexi´on en serie
Dos bobinas pueden conectarse en serie aditiva o en serie sustractiva, cuando est´an en serie aditiva producen un flujo en la misma direcci´on. Si la corriente i(t) en cualquier tiempo t, en bobinas en serie
(a) Bobinas acopladas magneticamente en se- ria aditiva
(b) Bobinas acopladas magneticamente en se- ria sustractiva Fig. 5.
aditivas, entonces la ca´ıda de tensi´on es,
v 1 =L 1
di dt
+ M
di dt v 2 =L 2
di dt
+ M
di dt
Por ley de voltajes de Kirchoff se tiene que
v = v 1 + v 2 = [L 1 + L 2 + 2M ]
di dt
B. Conexi´on en paralelo
Las bobibas se dice que estan conectadas en paralelo aditivo cuando las bobinas producen un flujo en la misma direccion cuando las corrientes entran a la terminales con puntos.
Fig. 6. Bobinas acopladas magneticamente en paralelo aditivo
i =i 1 + i 2 di dt
di 1 dt
di 2 dt
Inductancia equivalente para dos bobina acopladas magneticamente en paralelo aditivo:
L =
[
L 1 L 2 − M 2
L 1 + L 2 − 2 M
]
Inductanciaequivalente para dos bobina acopladas magneticamente en paralelo sustractivo:
L =
[
L 1 L 2 − M 2
L 1 + L 2 + 2M
]
IX. PERDIDAS MAGN ETICAS´
Existen tres perdidas considerables en una maquina electrica:
- Perdida en el cobre: Tiene lugar en el devanado de la maquina
- Perdidas mec´anicas: Se originan por la rotaci´on del elemento giratorio (rotor) y puede ser: fricci´on en los cojinetes, escobillas y el viento.
- Perdidas magn´eticas: Pueden ser perdidas en el hierro o perdidas en el n´ucleo, es decir corrientes par´asitas y perdidas por hist´eresis
XII. EJERCICIOS
- Dos conductores paralelos est´an separados por una distancia d y conducen corrientes iguales I en direcciones opuestas. Calcule la fuerza por unidad de longitud que experimenta cualquiera de los conductores.
Fig. 7. Ejercicio 1
F^ ~ =I(~L × B~)
F
L
=IB sin θ
=I
μ 0 I 2 πd =I^2
μ 0 2 πd
N
m
- Dos bobinas id´enticas de 500 vueltas est´an devanadas sobre el mismo n´ucleo magn´etico. Una corriente que varia a la tasa de 2000 A/s en la bobina 1 induce un voltaje de 20V en la bobina 2. ¿Cual es la inductancia mutua de este arreglo? Si la auto inductancia de la bobina 1 es 20 mH, que porcentaje del flujo desarrollado por la bobina 1 se enlaza con la bobina 2?
M =
= 0. 01 H
M =k
L 1 L 2 = kL
k =
XIII. PREGUNTAS
- ¿Cual es la diferencia entre un material diamagn´eticos y un material paramagn´eticos? En un material diamagn´eticos el momento magn´etico neto debido a los movimiento orbitales de los electrones y sus espines en cualquier ´atomo particular es cero. En materiales paramagn´eticos debidos a los movimiento de los electrones, orbital y de esp´ın, no se cancelan completamente y los ´atomos y mol´eculas tienen un momento magn´etico neto, lo que produce que los momentos se alineen en el sentido del mismo, lo que provoca un aumento de inducci´on
- Explique el ciclo de hist´eresis de un material magn´etico Cuando la intensidad de campo incrementa el flujo tambi´en lo hace, si la intensidad de campo sigue incrementando el material va a llegar a un punto de saturacion, es decir que el flujo no va a seguir creciendo, cuando la intensidad de campo disminuye el flujo va a empezar a disminuir pero mas lentamente siguiendo otra trayectoria, aunque la intensidad de campo sea cero va a permanecer un flujo en el material llamado flujo remanente.
- Explique cuales son las perdidas dentro de una maquina el´ectrica
- Perdida en el cobre: Tiene lugar en el devanado de la maquina
- Perdidas mec´anicas: Se originan por la rotaci´on del elemento giratorio (rotor) y puede ser: fricci´on en los cojinetes, escobillas y el viento.
- Perdidas magn´eticas: Pueden ser perdidas en el hierro o perdidas en el n´ucleo, es decir corrientes par´asitas y perdidas por hist´eresis
- Que se debe considerar al momento del an´alisis de un circuito magn´etico a) El flujo magn´etico se restringe al flujo a trav´es del material magn´etico, sin perdidas b) No hay diseminacion o dispersi´on de flujo magn´etico en las regiones del entrehierro c) La densidad del flujo magn´etico es uniforme dentro del material magn´etico REFERENCES
[1] Guru, B. S., Hiziroglu, H. R., & Brito, J. E. (2003). M´aquinas el´ectricas y transformadores. Oxford University Press.
