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Capítulo 3 del libro trata sobre covariancia, transformación de datos, regresión lineal y correlación. Se explica la definición de covariancia y su relación con la varianza. Se describe cómo transformar datos y cómo afecta la media y la varianza. Se presenta el concepto de regresión lineal y se explica cómo determinar la recta de regresión para minimizar los errores. Se discute el coeficiente de correlación de pearson y sus propiedades.
Tipo: Apuntes
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Este tema 3 corresponde a la Lecci´on 11 del libro.
La covarianza de dos variables X, Y se define como
sXY =
∑ (X − X)(Y − Y ) n
En la pr´actica se usa esta otra f´ormula equivalente:
sXY =
∑ XY n
que se lee: media de los productos menos producto de las medias.
Nota: La covarianza de una variable consigo misma es la varianza:
sXX =
∑ X^2 n
− (X)^2 = s^2 X.
Nota: Hay que tener cuidado en no confundir
∑ X^2 (suma de cuadrados) con (
∑ X)^2 (cuadrado de la suma). Tampoco se debe confundir
∑ XY (suma de productos) con (
∑ X)(
∑ Y ) (producto de las sumas).
Si tenemos unos datos X con media X y varianza s^2 X , en ocasiones ser´a ne- cesario transformarlos (por ejemplo para cambiar de unidades o de escala). Sean Y = bX + a
los datos transformados. Entonces se tiene:
La media se transforma igual que los datos,
Y = bX + a.
La varianza, como es una medida de dispersi´on, s´olo cambia de escala con el valor absoluto de b, pero no le influye ni el signo de b ni el desplazamiento a. La f´ormula exacta es
s^2 Y = b^2 s^2 X.
Para la desviaci´on t´ıpica, al hacer la ra´ız cuadrada queda
sY = |b|sX ;
recordemos que no puede ser negativa, por eso aparece el valor absoluto.
Ejemplo Las siguientes temperaturas en grados Celsius
X : 22 , 30 , 26 , 29 , 22 , 29 , 23 , 27 , 29 , 27 , 29 , 29 , 21 ,
tienen media X = 26′38 y desviaci´on t´ıpica sX = 3′25. Al pasarlas a grados Fahrenheit,
Y =
tenemos los nuevos datos
Y : 71 ′ 6 ; 86 ′ 0 ; 78 ′ 8 ; 84 ′ 2 ; 71 ′ 6 ; 84 ′ 2 ; 73 ′ 4 ; 80 ′ 6 ; 84 ′ 2 ; 80 ′ 6 ; 84 ′ 2 ; 84 ′ 2 ; 69 ′ 8.
Si tenemos unos pares de observaciones
(X 1 , Y 1 ),... , (Xn, Yn)
de dos variables X e Y , queremos encontrar una relaci´on del tipo
Yˆ = bX + a.
Distinguimos Yˆ (la estimaci´on que vamos a hacer te´oricamente) de Y (el valor que hemos obtenido experimentalmente). Llamaremos errores de estimaci´on (o ((valores residuales))) a las diferencias
e = Y − Y .ˆ
Queremos encontrar una recta (((recta de regresi´on))) que cumpla las siguien- tes condiciones:
La media de los errores es cero, e = 0. Esto quiere decir que unos errores se compensan con otros.
La varianza s^2 e de los errores es m´ınima. Esto quiere decir que los errores est´an lo m´as concentrados posible.
Nota: En general no se puede conseguir que s^2 e = 0, pues ´esto significar´ıa que todos los errores son iguales entre s´ı e iguales a la media e = 0, es decir que todos los e = 0, lo que s´olo es cierto si los puntos de los datos est´an perfectamente alineados.
Con las dos condiciones anteriores, la recta de regresi´on existe y es ´unica, como se comprueba usando el llamado m´etodo de m´ınimos cuadrados (ver m´as adelante). Se obtienen las siguientes f´ormulas:
a = Y − bX,
b =
sXY s^2 X
donde sXY es la covarianza.
Nota: La f´ormula para a significa que la recta de ajuste siempre pasa por el punto (X, Y ). Entonces la ecuaci´on de la recta puede escribirse tambi´en como ( Yˆ − Y ) =
sXY s^2 X
M´ınimos cuadrados* Veamos c´omo se obtienen las f´ormulas de la regre- si´on. Como Y = Yˆ + e, al calcular las medias se obtiene que la media de las estimaciones Yˆ es la misma que la de las observaciones Y , pues la media de los errores es cero. Por tanto, por la f´ormula de transformaci´on de datos que vimos en el apartado 3.1.2 tiene que ser
Y¯ = b X¯ + a.
De ah´ı sacamos la f´ormula de a. Ahora la varianza de los errores es
s^2 e =
∑ e^2 n
y vamos a buscarle un m´ınimo absoluto al variar b. Usando la f´ormula de a, es e = Y − Yˆ = Y − (bX + a) = (Y − Y ) − b(X − X)
Para abreviar llamemos x = X − X¯ e y = Y − Y¯. Entonces e = y − bx. Tenemos e^2 = (y − bx)^2 = y^2 − 2 bxy + b^2 x^2
luego
s^2 e =
n
∑ y^2 − 2 b
∑ xy + b^2
∑ x^2 ) = s^2 y − 2 bsxy + b^2 s^2 x (3.1)
y al derivar queda ds^2 e db
= − 2 sxy + 2bs^2 x.
Al igualar a cero, 0 = −sxy + bs^2 x,
luego
b =
sxy s^2 x
y a = Y − bX = 38′ 59 − 9 ′ 51 × 3 = 10′ 07 ,
con lo que la ecuaci´on de la regresi´on de v sobre t es
ˆv = 9′ 51 t + 10′ 07.
Nota: Deben explicitarse siempre todas las f´ormulas para detectar m´as facilmente posibles errores de c´alculo.
Estimaci´on Podemos comparar los valores estimados por esta f´ormula con los valores experimentales v de la velocidad: por ejemplo si t = 3, ˆv = 38′ 6 aunque v = 36′76. Tambi´en podemos estimar que al cabo de t = 10 segundos la velocidad de ca´ıda ser´a ˆv ∼= 105′17.
El coeficiente de correlaci´on de Pearson viene dado por la f´ormula
r =
sXY sX sY
Es un indicador de si el ajuste lineal que hemos realizado es bueno o malo. Su cuadrado r^2 se llama coeficiente de determinaci´on.
Propiedades
El coeficiente de correlaci´on r tiene el mismo signo que b, porque
r = b
sX sY
El coeficiente de correlaci´on tiene que estar comprendido entre −1 y +1: − 1 ≤ r ≤ +.
Interpretaci´on Cuando r = ±1 la varianza de los errores es nula (ver f´ormula 3.4), lo que quiere decir que nuestros datos se ajustan perfectamente a la recta. Como el signo de r es el mismo que el de b, una r = +1 quiere decir que el ajuste es perfecto y positivo (al crecer X crece Y ), mientras que si r = −1 el ajuste es perfecto pero b < 0, es decir al crecer X disminuye Y. Una r ∼ 0 significa que el ajuste es malo.
Varianza explicada Veamos por qu´e es cierta esa interpretaci´on del coe- ficiente de correlaci´on r. Por la f´ormula (3.1) y la de transformaci´on de datos se tiene
s^2 e = s^2 Y − s^2 Yˆ.
Esto se interpreta as´ı: la variabilidad de la variable dependiente Y tiene dos partes s^2 Y = s^2 Yˆ + s^2 e. (3.3)
Una es la variabilidad de las estimaciones Yˆ , que se deducen directamente de la variable independiente X por la f´ormula de regresi´on (esta parte se llama variabilidad ((explicada))). La otra parte es la variabilidad debida a los errores de estimaci´on, que no controlamos. Por tanto el ajuste es mejor o peor seg´un sea la proporci´on s^2 Yˆ /s^2 Y entre la varianza explicada y la varianza total. Pero por la relaci´on entre r y b de la f´ormula (3.2) tenemos que esa proporci´on es
s^2 Yˆ s^2 Y
b^2 s^2 X s^2 Y
= r^2 ,
es decir el coeficiente de determinaci´on. Por eso cuando r = ±1 (es decir r^2 = 1) significa que el ajuste es perfecto, pues el 100 % de la varianza estar´ıa explicada por la regresi´on y no habr´ıa errores de estimaci´on. Por otro lado, una r pr´oxima a cero indicar´ıa un ajuste malo, pues la mayor proporci´on de la varianza procede del error.
Varianza de los errores Ya vimos que la varianza de los errores de esti- maci´on e = Y − Yˆ es
s^2 e = s^2 Y − 2 bsXY + b^2 s^2 X.
Como, por la f´ormula de b, es sXY = bs^2 X queda
s^2 e = s^2 Y − b^2 s^2 X.
1.55 1.6 1.65 1.7 1.75 1.8 1.
60
80
100
120
140
160
Figura 3.2: ´Indices de masa corporal para un adulto de 20 a 30 a˜nos: imc adecuado en verde (20–25). Para otras edades, a˜nadir un punto al ´ındice por cada diez a˜nos.
