¡Descarga Capítulo 34 de Zemansky y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
Longitud
1 año luz 5 9.461 3 1015 m
Área
Volumen
Tiempo
Ángulo
Rapidez
1 furlong/14 días 5 1.662 3 1024 m/s
1 mi/h 5 1.466 ft/s 5 0.4470 m/s 5 1.609 km/h
1 km/h 5 0.2778 m/s 5 0.6214 mi/h
1 mi/min 5 60 mi/h 5 88 ft/s
1 ft/s 5 0.3048 m/s
1 m/s 5 3.281 ft/s
1 rev/min (rpm) 5 0.1047 rad/s
1 revolución 5 360° 5 2 p rad
1° 5 0.01745 rad 5 p/180 rad
1 rad 5 57.30° 5 180°/p
1 año 5 365.24 d 5 3.156 3 107 s
1 d 5 86,400 s
1 h 5 3600 s
1 min 5 60 s
1 galón 5 3.788 litros
1 ft^3 5 0.02832 m^3 5 28.32 litros 5 7.477 galones
1 litro 5 1000 cm^3 5 1023 m^3 5 0.03531 ft 3 5 61.02 in^3
1 ft 5 144 in^2 5 0.0929 m^2
1 in 2 5 6.452 cm 2
1 m^2 5 104 cm^2 5 10.76 ft^2
1 cm^2 5 0.155 in^2
1 milla náutica 5 6080 ft
1 Å 5 10210 m 5 1028 cm 5 1021 nm
1 mi 5 5280 ft 5 1.609 km
1 yd 5 91.44 cm
1 ft 5 30.48 cm
1 in. 5 2.540 cm
1 cm 5 0.3937 in
1 m 5 3.281 ft 5 39.37 in
1 km 5 1000 m 5 0.6214 mi
1 m 5 100 cm 5 1000 mm 5 106 mm 5 109 nm
Aceleración
Masa
1 kg tiene un peso de 2.205 lb cuando g 5 9.80 m>s^2
Fuerza
Presión
Energía
Equivalencia masa-energía
Potencia
1 Btu/h 5 0.293 W
1 hp 5 746 W 5 550 ft #^ lb/s
1 W 5 1 J/s
1 eV 4 1.074 3 1029 u
1 u 4 931.5 MeV
1 kg 4 8.988 3 1016 J
1 kWh 5 3.600 3 106 J
1 eV 5 1.602 3 10219 J
1 Btu 5 1055 J 5 252 cal 5 778 ft #^ lb
1 ft #^ lb 5 1.356 J
1 cal 5 4.186 J (con base en caloría de 15°)
1 J 5 107 ergs 5 0.239 cal
1 mm Hg 5 1 torr 5 133.3 Pa
5 14.7 lb/in^2 5 2117 lb/ft^2
1 atm 5 1.013 3 105 Pa 5 1.013 bar
1 lb/ft^2 5 47.88 Pa
1 lb/in^2 5 6895 Pa
1 bar 5 105 Pa
1 Pa 5 1 N/m^2 5 1.450 3 1024 lb/in^2 5 0.209 lb/ft 2
1 lb 5 4.448 N 5 4.448 3 105 dinas
1 N 5 105 dinas 5 0.2248 lb
1 u 5 1.661 3 10227 kg
1 slug 5 14.59 kg
1 g 5 6.85 3 1025 slug
1 kg 5 10 3 g 5 0.0685 slug
1 mi/h #^ s 5 1.467 ft/s^2
1 ft/s 2 5 0.3048 m/s^2 5 30.48 cm/s^2
1 cm/s^2 5 0.01 m/s^2 5 0.03281 ft/s^2
1 m/s^2 5 100 cm/s^2 5 3.281 ft/s^2
FACTORES DE CONVERSIÓN DE UNIDADES
CONSTANTES NUMÉRICAS
Constantes físicas fundamentales*
Nombre Símbolo Valor
Rapidez de la luz c Magnitud de carga del electrón e Constante gravitacional G Constante de Planck h Constante de Boltzmann k Número de Avogadro Constante de los gases R Masa del electrón Masa del protón Masa del neutrón Permeabilidad del espacio libre Permitividad del espacio libre
Otras constante útiles
Equivalente mecánico del calor Presión atmosférica estándar 1 atm Cero absoluto 0 K Electrón volt 1 eV Unidad de masa atómica 1 u Energía del electrón en reposo 0.510998918(44) MeV Volumen del gas ideal (0 °C y 1 atm) 22.413996(39) litros/mol Aceleración debida a la gravedad g (estándar)
- Fuente: National Institute of Standards and Technology ( http://physics.nist.gov/cuu ). Los números entre paréntesis indican incertidumbre en los dígitos finales del número principal; por ejemplo, el número 1.6454(21) significa 1.6454 6 0.0021. Los valores que no indican incertidumbre son exactos.
Datos astronómicos †
Radio de la Periodo de Cuerpo Masa (kg) Radio (m) órbita (m) la órbita
Sol — — Luna 27.3 d Mercurio 88.0 d Venus 224.7 d Tierra 365.3 d Marte 687.0 d Júpiter 11.86 y Saturno 29.45 y Urano 84.02 y Neptuno 164.8 y Plutón ‡^ 247.9 y † Fuente: NASA Jet Propulsion Laboratory Solar System Dynamics Group ( http://ssd.jlp.nasa.gov ) y P. Kenneth Seidelmann, ed., Explanatory Supplement to the Astronomical Almanac (University Science Books, Mill Valley, CA, 1992), pp. 704-706. Para cada cuerpo, “radio” es el radio en su ecuador y “radio de la órbita” es la distancia media desde el Sol (en el caso de los planetas) o desde la Tierra (en el caso de la Luna). ‡En agosto de 2006 la Unión Astronómica Internacional reclasificó a Plutón y a otros pequeños objetos que giran en órbita alrededor del Sol como “planetas enanos”.
9.80665 m/s^2
m (^) ec^2
1.66053886(28) 3 10 227 kg
1.60217653(14) 3 10 219 J
2 273.15 °C
1.01325 3 10 5 Pa
4.186 J/cal (15° caloría )
1/4pP 0 8.987551787 c 3 109 N #^ m^2 /C^2
P 0 5 1/m 0 c^2 8.854187817 c 3 10212 C 2 /N #^ m^2
m 0 4 p 3 1027 Wb/A #^ m
m (^) n 1.67492728(29) 3 10 227 kg
m (^) p 1.67262171(29) 3 10 227 kg
m (^) e 9.1093826(16) 3 10 231 kg
8.314472(15) J/mol #^ K
NA 6.0221415(10) 3 10 23 moléculas/mol
1.3806505(24) 3 10 223 J/K
6.6260693(11) 3 10 234 J #^ s
6.6742(10) 3 10211 N #^ m^2 /kg 2
1.60217653(14) 3 10 219 C
2.99792458 3 10 8 m/s
METAS DE APRENDIZAJE Al estudiar este capítulo, usted aprenderá:
- Cómo un espejo plano forma una imagen.
- Por qué los espejos cóncavo y convexo forman diferentes clases de imágenes.
- Cómo se forman imágenes mediante una interfaz curva entre dos materiales transparentes.
- Qué aspectos de una lente determinan el tipo de imagen que produce.
- Qué determina el campo de visión de una lente de cámara.
- Qué causa diversos trastornos en la visión humana, y cómo pueden corregirse.
- El principio de la lente de aumento simple.
- Cómo funcionan los microscopios y los telescopios.
ÓPTICA GEOMÉTRICA
?¿Cómo funcionan las lentes de aumento? ¿a qué distancia del objeto que se examina ofrecen la visión más nítida?
N
uestro reflejo en el espejo del baño, la vista de la Luna a través de un telescopio, los dibujos geométricos que se ven en un caleidoscopio: todos son ejemplos de imágenes. En cada caso, el objeto que miramos parece estar en un lugar diferente de su posición real: nuestro reflejo está del otro lado del espejo, la Luna pa- rece estar más cercana cuando la vemos a través de un telescopio, y los objetos que se ven en un caleidoscopio parecen hallarse en muchos lugares al mismo tiempo. En to- dos los casos, los rayos de luz provenientes de un punto de un objeto se desvían por reflexión o refracción (o una combinación de ambas), de tal forma que convergen hacia un punto denominado punto de imagen , o parecen divergir con respecto a éste_._ Nuestro objetivo en este capítulo es ver cómo ocurre esto y explorar los diferentes tipos de imágenes que se forman mediante dispositivos ópticos simples. Para comprender las imágenes y su formación, sólo necesitamos el modelo de ra- yos de la luz, las leyes de reflexión y refracción, y un poco de geometría y trigonome- tría simples. El papel fundamental que desempeña la geometría en nuestro análisis es la razón por la que se da el nombre de óptica geométrica al estudio de la formación de imágenes mediante rayos luminosos. Comenzaremos nuestro análisis con uno de los dispositivos ópticos de formación de imágenes más sencillos: un espejo plano. Prose- guiremos con el estudio de cómo se forman las imágenes con los espejos curvos, las superficies refractivas y las lentes delgadas. Nuestros resultados constituirán los ci- mientos para entender muchos de los instrumentos ópticos que conocemos, entre ellos las lentes de cámara fotográfica, las lentes de aumento, el ojo humano, los mi- croscopios y los telescopios.
34.1 Reflexión y refracción en una superficie plana
Antes de analizar el significado del término imagen, necesitamos primero el concepto de objeto como se utiliza en óptica. Por objeto entendemos cualquier cosa desde donde se irradian rayos de luz. Esta luz podría ser emitida por el objeto mismo si éste es au- toluminoso , como el filamento incandescente de una bombilla eléctrica. Por otro lado, 15.4 Óptica geométrica: espejos planos
O N L I N E
1158 C APÍT U LO 34 Óptica geométrica
la luz podría ser emitida por una fuente distinta (como una lámpara o el Sol) y luego reflejarse en el objeto; un ejemplo de ello es la luz que llega a nuestros ojos desde las páginas de este libro. La figura 34.1 muestra rayos luminosos que se irradian en to- das direcciones desde un objeto situado en un punto P. Para que un observador vea este objeto directamente, no debe haber obstrucción alguna entre el objeto y los ojos del observador. Advierta que los rayos luminosos provenientes del objeto alcanzan los ojos izquierdo y derecho del observador a diferentes ángulos; el cerebro del observa- dor procesa tales diferencias para inferir la distancia del observador al objeto. El objeto de la figura 34.1 es un objeto puntual carente de extensión física. Los objetos reales con longitud, anchura y altura se llaman objetos extensos. Para comenzar, consideraremos sólo un objeto puntual idealizado, ya que siempre podemos pensar en un objeto extenso como aquél constituido por un gran número de objetos puntuales. Suponga que algunos de los rayos provenientes del objeto inciden en una superfi- cie reflectante plana y lisa (figura 34.2). Ésta podría ser la superficie de un material con un índice de refracción diferente, la cual refleja parte de la luz incidente, o una superficie metálica pulida que refleja casi el 100% de la luz que incide en ella. En to- dos los casos, dibujaremos la superficie reflectante como una línea negra con un área sombreada tras ella, como en la figura 34.2. Los espejos de baño tienen una lámina de vidrio delgada, que se halla frente a la superficie reflectante y la protege; pasaremos por alto los efectos de esta lámina delgada. De acuerdo con la ley de la reflexión, todos los rayos que inciden en la superficie se reflejan a un ángulo con respecto a la normal igual al ángulo de incidencia. Dado que la superficie es plana, la normal tiene la misma dirección en todos los puntos de la su- perficie, y se tiene una reflexión especular. Una vez que los rayos se han reflejado, su dirección es la misma que si hubieran provenido del punto P r. Al punto P se le llama punto de objeto. En tanto que el punto P r es el punto de imagen correspondiente; se dice que la superficie reflectante forma una imagen del punto P. Un observador que ve únicamente los rayos reflejados en la superficie, y que no sabe que está viendo un reflejo, piensa que el origen de los rayos se encuentra en el punto de imagen P r_._ El punto de imagen es, por consiguiente, un medio conveniente para describir la direc- ción de los diversos rayos reflejados, del mismo modo que el punto de objeto P des- cribe la dirección de los rayos que llegan a la superficie antes de la reflexión. Si la superficie de la figura 34.2 no fuera lisa, la reflexión sería difusa , y los rayos provenientes de distintas partes de la superficie seguirían direcciones no correlaciona- das (véase la figura 33.6b). En este caso, no habría una imagen definida del punto P r, de donde todos los rayos reflejados parecen emanar. No podemos ver nuestro reflejo sobre una superficie metálica opaca, porque su superficie es áspera; al pulir el metal su superficie se alisa, hay reflexión especular y se hace visible una imagen reflejada. Una superficie plana refractiva también forma una imagen, como se muestra en la figura 34.3. Los rayos provenientes del punto P se refractan en la interfaz entre dos materiales ópticos. Cuando los ángulos de incidencia son pequeños, la dirección final de los rayos después de la refracción es la misma que si hubiesen provenido del punto P r, como se muestra, y también en este caso llamamos a P r punto de imagen. En la sección 33.2 describimos cómo este efecto hace que los objetos que están bajo el agua parez- can más próximos a la superficie de lo que están en realidad (véase la figura 33.9). En las figuras 34.2 y 34.3 los rayos no pasan realmente por el punto de imagen P r. De hecho, si el espejo de la figura 34.2 es opaco, no hay luz alguna en su lado derecho. Si los rayos salientes no pasan en realidad por el punto de imagen, se dice que la imagen es una imagen virtual. Más adelante veremos casos donde los rayos salientes pasan efectivamente por un punto de imagen, en cuyo caso la imagen resultante recibe el nombre de imagen real. Las imágenes que se forman en una pantalla de proyección, en la película fotográfica de una cámara y en la retina del ojo son imágenes reales.
Formación de imágenes por espejo plano
Concentrémonos por ahora en las imágenes que se producen por reflexión ; más ade- lante en este mismo capítulo regresaremos a la refracción. Para determinar la ubicación precisa de la imagen virtual P r que un espejo plano forma de un objeto situado en P , utilizaremos la construcción que se presenta en la figura 34.4. La figura muestra dos rayos que divergen a partir de un punto de objeto P situado a una distancia s a la
P
34.1 Los rayos luminosos se irradian desde un objeto puntual P en todas direcciones.
Punto de imagen: fuente aparente de los rayos reflejados.
Punto de objeto: fuente de los rayos.
P P!
Espejo plano
34.2 Los rayos luminosos provenientes del objeto situado en el punto P se reflejan en un espejo plano. Los rayos reflejados que penetran en el ojo se ven como si proviniesen del punto de imagen P r.
Cuando na. n (^) b , P! está más próximo a la superficie que P ; para na , n (^) b , se cumple lo opuesto.
Punto de objeto: fuente de los rayos.
Punto de imagen: fuente aparente de los rayos refractados.
P!
P
n (^) a. n (^) b nb
34.3 Los rayos luminosos provenientes del objeto situado en el punto P se refractan en la interfaz plana. Los rayos refractados que penetran en el ojo se ven como si provinieran del punto de imagen P r.
1160 C APÍT U LO 34 Óptica geométrica
imagen extensa; a cada punto del objeto corresponde un punto de la imagen. Se mues- tran dos de los rayos provenientes de Q ; todos los rayos que proceden de Q parecen divergir desde su punto de imagen Q r después de la reflexión. La imagen de la flecha es la línea P r Q r, cuya altura es y r. Otros puntos del objeto PQ tienen puntos de imagen situados entre P r y Q r_._ Los triángulos PQV y P r Q r V son congruentes; por ello, el objeto PQ y la imagen P r Q r tienen los mismos tamaño y orientación, y y 5 y r. La razón de la altura de la imagen con respecto a la altura del objeto, y r> y , en cual- quier situación de formación de imágenes es el aumento lateral m ; es decir,
(aumento lateral) (34.2)
De esta manera, en el caso de un espejo plano el aumento lateral m es la unidad. Cuando nos miramos en un espejo plano, nuestra imagen es del mismo tamaño que nuestro cuerpo. En la figura 34.6 la flecha imagen apunta en la misma dirección que la flecha obje- to; decimos que la imagen es derecha. En este caso, y y y r tienen el mismo signo, y el aumento lateral m es positivo. La imagen que forma un espejo plano siempre es dere- cha, por lo que y y y r tienen la misma magnitud y el mismo signo; de acuerdo con la ecuación (34.2), el aumento lateral de un espejo plano siempre es m 5 11. Más ade- lante encontraremos situaciones donde la imagen está invertida , es decir, la flecha imagen apunta en dirección opuesta a la de la flecha objeto. En el caso de una imagen invertida, y y y r tienen signos opuestos , y el aumento lateral m es negativo. El objeto de la figura 34.6 tiene una sola dimensión. La figura 34.7 muestra un ob- jeto tri dimensional y su imagen virtual tridimensional formada por un espejo plano. El objeto y la imagen guardan la misma relación que una mano izquierda y una mano derecha.
CU I DADO (^) Reflexiones en un espejo plano En este punto, quizás usted se pregunte por qué un espejo plano invierte las imágenes izquierda y derecha, pero no de arriba y de abajo. ¡Esta pregunta es muy engañosa! Como se ve en la figura 34.7, la imagen de arriba a abajo P r Q r y la imagen de izquierda a derecha P r S r son paralelas a sus objetos y no están invertidas de mo- do alguno. Sólo la imagen de adelante hacia atrás P r R r está invertida con respecto a PR. Por lo tanto, lo más correcto es afirmar que un espejo invierte de atrás hacia adelante. Para verificar esta relación entre objeto e imagen, apunte sus pulgares a lo largo de PR y P r R r; sus índices a lo largo de PQ y P r Q r y sus dedos medios a lo largo de PS y P r S r. Cuando un objeto y su imagen están relacionados de esta manera, se dice que la imagen es inversa ; esto significa que sólo se ha invertido la dimensión de adelante hacia atrás. ❚
La imagen inversa de un objeto tridimensional formada por un espejo plano es del mismo tamaño que el objeto en todas sus dimensiones. Cuando las dimensiones transversales del objeto e imagen están en la misma dirección, la imagen es derecha. Así, un espejo plano siempre forma una imagen derecha, aunque inversa. La figura 34. ilustra este punto. Una propiedad importante de todas las imágenes formadas por superficies reflectan- tes o refractivas es que una imagen formada por una superficie o un dispositivo óptico puede servir como el objeto de una segunda superficie o dispositivo. La figura 34. muestra un ejemplo sencillo. El espejo 1 forma una imagen del punto de objeto P , y el espejo 2 forma otra imagen cada una del modo como hemos explicado. Ade- más, sin embargo, la imagen formada por el espejo 1 sirve como objeto para el es- pejo 2, el cual forma entonces una imagen de este objeto en el punto como se muestra. Asimismo, el espejo 1 toma la imagen formada por el espejo 2 como ob- jeto y forma una imagen de ella. Le dejamos a usted la demostración de que este punto de imagen también está en La idea de que una imagen formada por un dispositivo puede actuar como el objeto de un segundo dispositivo es de gran importancia en la óptica geométrica. La aplicaremos más adelante en este capítulo para localizar la imagen formada por dos refracciones sucesivas en superficies curvas de una lente. Esta idea nos ayudará a comprender la formación de imágenes por combinaciones de lentes, como en un microscopio o en un telescopio de refracción.
P r 3.
P r 2
P (^) 3 r
P (^) r 1
P r 2 ,
P r 1
m 5
y r y Una imagen formada por un espejo plano es inversa de atrás hacia delante: el pulgar imagen P! R! y el pulgar objeto PR apuntan en direcciones opuestas (uno hacia el otro).
P
Q S R
Q! S! R! (^) P!
Objeto
Imagen
34.7 La imagen formada por un espejo plano es virtual, derecha e inversa. Es del mismo tamaño que el objeto_._
1!
P
P Espejo 1
P 2!
P 3!
Espejo 2
Imagen del objeto P formada por el espejo 1.
Imagen del objeto P formada por el espejo 2.
Imagen de la imagen P 1! formada por el espejo 2.
34.9 Las imágenes y se forman por reflexión simple de cada rayo proveniente de un objeto situado en P. La imagen localizada tratando cualquiera de las otras imágenes como objeto, se forma por doble reflexión de cada rayo.
P r 3 ,
P (^) 1 r P (^) r 2
34.8 La imagen formada por un espejo plano es inversa; la imagen de una mano derecha es una mano izquierda, y así sucesivamente. (La mano descansa sobre un espejo horizontal.) ¿Son inversas las imágenes de las letras H y A?
34.2 Reflexión en una superficie esférica 1161
34.2 Reflexión en una superficie esférica
Un espejo plano forma una imagen del mismo tamaño que el objeto. No obstante, los espejos tienen numerosas aplicaciones donde se requiere que la imagen y el objeto sean de diferente tamaño. Un espejo de aumento para maquillarse proporciona una imagen más grande que el objeto, y los espejos de vigilancia (que se utilizan en los comercios para identificar a los ladrones) forman una imagen más pequeña que el objeto. También hay aplicaciones de espejos en las cuales es deseable una imagen real , de modo que los rayos luminosos pasan en efecto por el punto de imagen P r. Por sí solo, un espejo plano no es capaz de llevar a cabo ninguna de dichas tareas. En su lugar, se utilizan espejos curvos.
Imagen de un objeto puntual: Espejo esférico
Consideremos el caso especial (y fácil de analizar) de formación de imágenes con un espejo esférico. La figura 34.10a muestra un espejo esférico con radio de curvatura R, con su lado cóncavo hacia la luz incidente. El centro de curvatura de la superficie (el centro de la esfera de la cual forma parte la superficie) está en C , y el vértice del espejo (el centro de la superficie del espejo) está en V. La recta CV recibe el nombre de eje óptico. El punto P es un punto de objeto que se encuentra sobre el eje óptico; por el momento, supondremos que la distancia de P a V es mayor que R. El rayo PV , que pasa por C , incide de forma normal en el espejo y se refleja sobre sí mismo. El rayo PB , a un ángulo a con respecto al eje, incide en el espejo en B , don- de los ángulos de incidencia y reflexión son u. El rayo reflejado interseca el eje en el punto P r. Demostraremos en breve que todos los rayos provenientes de P intersecan el eje en el mismo punto P r, como en la figura 34.10b, siempre y cuando el ángulo a sea pequeño. El punto P r es, entonces, la imagen del punto de objeto P. A diferencia de los rayos reflejados de la figura 34.1, los rayos reflejados de la figura 34.10b se inter- secan realmente en el punto P r, y luego divergen a partir de P r como si hubieran nacido de este punto. Por consiguiente, P r es una imagen real. Con la finalidad de apreciar la utilidad de una imagen real, suponga que el espejo está en una habitación a oscuras, donde la única fuente de luz es un objeto autolumi- noso situado en P. Si se coloca un pedazo pequeño de película fotográfica en P r, todos los rayos luminosos provenientes del punto P que se reflejen en el espejo incidirán en el mismo punto P r de la película; una vez revelada, la película mostrará una sola mancha brillante que representa una imagen nítidamente enfocada del objeto en el punto P. En este principio se basan casi todos los telescopios astronómicos, los cuales utilizan grandes espejos cóncavos para obtener fotografías de objetos celestes. Con un espejo plano como el de la figura 34.2, colocar un pedazo de película en el punto de imagen P sería una pérdida de tiempo; los rayos luminosos nunca pasan realmente por el pun- to de imagen, y no se registra la imagen en la película. Las imágenes reales son indis- pensables en fotografía. Hallemos ahora la ubicación del punto de imagen real P r de la figura 34.10a y pro- bemos la aseveración de que todos los rayos provenientes de P se intersecan en P r (siempre y cuando el ángulo que forman con el eje óptico sea pequeño). La distancia de objeto, medida desde el vértice V , es s ; la distancia de imagen, también medida desde V , es s r. Los signos de s , s r y el radio de curvatura R están determinados por las reglas de signos dadas en la sección 34.1. El punto de objeto P está del mismo lado que la luz incidente, por lo que, de acuerdo con la primera regla de signos, s es positiva. El pun- to de imagen P r está del mismo lado que la luz reflejada, de modo que, de acuerdo con la segunda regla de signos, la distancia de imagen s r también es positiva. El centro de curvatura C está del mismo lado que la luz reflejada, así que, según la tercera regla de signos, R siempre es positivo cuando la reflexión ocurre en el lado cóncavo de una superficie (figura 34.11).
Evalúe su comprensión de la sección 34.1 Si usted camina directamente hacia un espejo plano con rapidez v , ¿con qué rapidez se aproxima su imagen hacia usted? i) más lento que v ; ii) v ; iii) más rápido que v pero más lento que 2 v ; iv) 2 v ; v) más rápido que 2 v. ❚
P^ P!
h
C
s' s
R f
a) Construcción para hallar la posición P! de la imagen formada por un espejo esférico cóncavo
V
B
u u
a b d
P P!
b) La aproximación paraxial es válida para los rayos con a pequeño
V
Todos los rayos provenientes de P tienen un ángulo a pequeño y se intersecan en P !, formando una imagen real.
Para un espejo esférico, a 1 b 5 2 f.
Vértice
Centro de Eje óptico curvatura
Objeto puntual
s y s' son positivas.
34.10 a) Un espejo esférico cóncavo forma una imagen real de un objeto puntual P que está sobre el eje óptico del espejo. b) El ojo observa algunos de los rayos salientes y los percibe como si provinieran de P r.
P C
R. 0
P
C
Saliente
Saliente
El centro de curvatura está en el mismo lado que la luz saliente : R es positivo.
El centro de curvatura no está en el mismo lado que la luz saliente: R es negativo.
R , 0
34.11 La regla de signos para el radio de un espejo esférico.
34.2 Reflexión en una superficie esférica 1163
Esta situación se muestra en la figura 34.13a. El haz de rayos paralelos incidentes converge, después de reflejarse en el espejo, en un punto F situado a una distancia R >2 del vértice del espejo. El punto F donde los rayos paralelos incidentes convergen se llama punto focal o foco ; de este modo decimos que estos rayos se enfocan. La distancia del vértice al punto focal, que se denota con f , recibe el nombre de distancia focal. Vemos que f está relacionada con el radio de curvatura R como sigue:
(distancia focal de un espejo esférico) (34.5)
En la figura 34.13b se muestra la situación opuesta. Ahora el objeto se encuentra en el punto focal F , por lo que la distancia de objeto es s 5 f 5 R >2. La distancia de imagen s r está dada una vez más por la ecuación (34.4):
Con el objeto en el punto focal, los rayos reflejados de la figura 34.13b son paralelos al eje óptico; se encuentran sólo en un punto infinitamente alejado del espejo, por lo que la imagen está en el infinito. De esta manera, el punto focal F de un espejo esférico tiene las siguientes propie- dades: 1) todo rayo entrante paralelo al eje óptico se refleja a través del punto focal y
- todo rayo entrante que pasa por el punto focal se refleja paralelamente al eje óptico. En el caso de espejos esféricos, estos enunciados se cumplen sólo cuando los rayos son paraxiales. En el caso de espejos parabólicos, estos enunciados son exactamente válidos; por ello, se prefieren espejos parabólicos en la construcción de telescopios astronómicos. Se utilizan espejos esféricos o parabólicos en linternas y faros para dar a la luz de la bombilla la forma de un haz paralelo. Ciertas centrales de energía solar utilizan una serie de espejos planos para simular un espejo cóncavo aproximadamente esférico; los espejos recogen la luz del Sol y la dirigen hacia el punto focal, donde se encuentra una caldera de vapor. (Los conceptos de punto focal y distancia focal tam- bién son aplicables a las lentes, como veremos en la sección 34.4.) Por lo regular, expresaremos la relación entre las distancias de objeto y de imagen de un espejo [ecuación (34.4)] en términos de la distancia focal f :
(relación objeto-imagen, espejo esférico) (34.6)
Imagen de un objeto extenso: Espejo esférico
Suponga ahora que se tiene un objeto de tamaño finito , representado por la flecha PQ en la figura 34.14, perpendicular al eje óptico CV. La imagen de P formada por rayos paraxiales está en P r. La distancia de objeto correspondiente al punto Q es casi idéntica a la correspondiente al punto P , por lo que la imagen P r Q r es casi recta y perpendicular al eje. Advierta que las flechas objeto e imagen son de distinto tamaño ( y y y r, respec- tivamente) y de orientación opuesta. En la ecuación (34.2) definimos el aumento late- ral m como la razón del tamaño de imagen y r con respecto al tamaño de objeto y :
m 5
y r y
s
s r
f
R
s r
R
s r
5 0 s r 5 `
f 5
R
C
s 5 "
s! 5 5 f
a) Todos los rayos paralelos incidentes en un espejo esférico se reflejan a través el punto focal.
R 2
F
R (positivo)
Distancia focal
C
s! 5 " s 5 5 f
b) Los rayos divergentes del punto focal se reflejan para formar rayos paralelos salientes
R 2
F
R (positivo)
Punto focal
Punto focal
34.13 El punto focal y la distancia focal de un espejo cóncavo.
Los triángulos beige y azul son similares, por lo
que el aumento lateral es m 5 y / y! 5 2 s / s !. El valor
negativo de m significa que la imagen está invertida.
P Imagen
y P! y!
s
R
s!
uu V
Objeto
Q
Q!
C
34.14 Construcción para determinar posición, orientación y altura de una imagen formada por un espejo esférico cóncavo.
1164 C APÍT U LO 34 Óptica geométrica
Como los triángulos PVQ y P r VQ r de la figura 34.14 son semejantes , también tene- mos la relación y > s 5 2 y r> s r. El signo negativo es necesario porque el objeto y la imagen están en lados opuestos del eje óptico; si y es positiva, y r es negativa. Por lo tanto,
(aumento lateral, espejo esférico) (34.7)
Si m es positiva, la imagen es derecha en comparación con el objeto; si m es negativa, la imagen es invertida con respecto al objeto, como en la figura 34.14. En el caso de un espejo plano , s 5 2 s r, por lo que y r 5 y y m 5 11; puesto que m es positiva, la imagen es derecha, y como la imagen es del mismo tamaño que el objeto.
CU I DADO (^) El aumento lateral puede ser menor que 1 Aunque la razón del tamaño de la imagen con respecto al tamaño del objeto se llama aumento lateral , la imagen formada por un espejo o lente puede ser mayor, menor o del mismo tamaño que el objeto. Si es más pequeña, entonces el valor absoluto del aumento lateral es menor que la unidad: La imagen que forma el espejo de un telescopio astronómico o una lente de cámara es, por lo regular, mucho más pequeña que el objeto. Por ejemplo, la imagen de la estrella brillante de la figura 34.12c mide apenas unos pocos milímetros de ancho, en tanto que la estrella misma tiene un diámetro de cientos de miles de kilómetros. ❚
En nuestro análisis de los espejos cóncavos hemos considerado hasta ahora sólo objetos que se encuentran afuera del punto focal o en éste, de modo que la distancia de objeto s es mayor que o igual a la distancia focal (positiva) f. En este caso el punto de imagen está del mismo lado del espejo que los rayos salientes, y la imagen es real e invertida. Si se coloca un objeto más adentro del punto focal de un espejo cóncavo, de modo que s , f , la imagen resultante es virtual (esto es, el punto de imagen está en el lado opuesto del espejo con respecto al objeto), derecha y más grande que el objeto. Los espejos que se utilizan para aplicar maquillaje (a los que hicimos referencia al principio de esta sección) son espejos cóncavos; al utilizarlos, la distancia del rostro al espejo es menor que la distancia focal, y se observa una imagen derecha ampliada. Se pueden probar estos enunciados acerca de los espejos cóncavos aplicando las ecuaciones (34.6) y (34.7) (véase el ejercicio 34.11). También podremos verificar estos resultados más adelante en esta sección, una vez que hayamos aprendido ciertos mé- todos gráficos para relacionar las posiciones y los tamaños del objeto y de la imagen.
0 m 0 , 1.
0 m 0 5 1,
m 5
y r y
s r s
Ejemplo 34.1 Formación de imagen por un espejo cóncavo I
Un espejo cóncavo forma una imagen, sobre una pared situada a 3.00 m del espejo, del filamento de una lámpara de reflector que está a 10.0 cm delante del espejo. a ) ¿Cuáles son el radio de curvatura y la distancia focal del espejo? b ) ¿Cuál es la altura de la imagen, si la altura del ob- jeto es de 5.00 mm?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema utiliza las ideas desarrolladas en esta sección. Nuestras incógnitas son el radio de curvatura R , la distancia focal f y la altura de la imagen y r.
PLANTEAR: La figura 34.15 presenta la situación. Se conocen las dis- tancias del espejo al objeto ( s ) y del espejo a la imagen ( s r). Se aplica la relación entre objeto e imagen dada por la ecuación (34.6) para ha- llar la distancia focal f , y luego se calcula el radio de curvatura R me- diante la ecuación (34.5). La ecuación (34.7) permite calcular la altura y r de la imagen a partir de las distancias s y s r, y la altura y del objeto.
EJECUTAR: a ) Tanto el objeto como la imagen están del lado cóncavo del espejo (el lado reflectante), por lo que tanto la distancia de objeto
como la distancia de imagen son positivas; tenemos s 5 10.0 cm y s r 5 300 cm. De acuerdo con la ecuación (34.4),
La distancia focal del espejo es f 5 R > 2 5 9.7 cm.
R 5
2 0.100 cm^21 1 3.33 3 10 23 cm 21
5 19.4 cm
1 10.0 cm 1
1 300 cm 5
2 R
Pantalla (^) Objeto Espejo
Imagen Eje óptico
34.15 Nuestro esquema de este problema.
15.5 Espejos esféricos: diagramas de rayos 15.6 Espejos esféricos: ecuación del espejo 15.7 Espejos esféricos: aumento lineal m 15.8 Espejos esféricos: problemas
O N L I N E
1166 C APÍT U LO 34 Óptica geométrica
Ejemplo 34.3 Problema de imagen de Santa Claus
Para saber si se ha ensuciado de hollín, Santa Claus examina su reflejo en un adorno plateado brillante de un árbol de Navidad que está a 0.750 m de distancia (figura 34.18a). El diámetro del adorno es de 7. cm. Las obras de referencia más conocidas indican que Santa Claus es un “viejo elfo muy jovial”, por lo que estimamos su estatura en 1.6 m. ¿En dónde aparece, y cuál es la altura de la imagen de Santa Claus que forma el adorno? ¿Es derecha o invertida?
SOLUCIÓN IDENTIFICAR: Santa Claus es el objeto y la superficie del adorno más próxima a él actúa como espejo convexo. Las relaciones entre distan- cia de objeto, distancia de imagen, distancia focal y aumento son las correspondientes a los espejos cóncavos, siempre y cuando las reglas de signos se apliquen de forma congruente.
a)
34.18 a) El adorno forma una imagen virtual, reducida y derecha de Santa. b) Nuestro esquema para dos de los rayos que forman la imagen.
Eje óptico
NO ESTÁ A ESCALA
b)
Estas expresiones son exactamente equivalentes a las ecuaciones (34.4) y (34.7) co- rrespondientes a un espejo cóncavo. Así, si aplicamos nuestras reglas de signos de modo congruente, las ecuaciones (34.4) y (34.7) son válidas tanto con espejos cóncavos como convexos. Cuando R es negativo (espejo convexo), los rayos entrantes que son paralelos al eje óptico no se reflejan a través del punto focal F. En cambio, divergen como si pro- vinieran del punto F situado a una distancia f detrás del espejo, como se muestra en la figura 34.17a. En este caso, f es la distancia focal, y F recibe el nombre de punto focal virtual. La distancia de imagen s r correspondiente es negativa, así que tanto f como R son negativos, y la ecuación (34.5), f 5 R >2, se cumple con respecto a espejos tanto convexos como cóncavos. En la figura 34.17b los rayos entrantes convergen como si fue- ran a encontrarse en el punto focal virtual F , y se reflejan paralelamente al eje óptico. En síntesis, ecuaciones (34.4) a (34.7), las relaciones básicas de formación de imá- genes por espejos esféricos, son válidas con respecto a espejos tanto cóncavos como convexos, siempre y cuando se apliquen las reglas de signos de forma congruente.
F C
a) Rayos paraxiales que inciden en un espejo esférico convexo divergen a partir de un punto focal virtual
F C
R (negativo)
s 5!
s " 5 R 2 5 f
b) Los rayos dirigidos hacia el punto focal virtual son paralelos al eje después de la reflexión R (negativo)
s " 5!
s 5 R 25 f
Punto focal virtual
34.17 El punto focal y la distancia focal de un espejo convexo.
Métodos gráficos para espejos
En los ejemplos 34.1 y 34.3 aplicamos las ecuaciones (34.6) y (34.7) para determinar la posición y el tamaño de las imágenes formadas por un espejo. También podemos establecer las propiedades de la imagen mediante un sencillo método gráfico. Este método consiste en hallar el punto de intersección de unos pocos rayos específicos que divergen a partir de un punto de objeto (como el punto Q de la figura 34.19) y se reflejan en el espejo. En estas condiciones (sin tener en cuenta las aberraciones), todos los rayos provenientes de este punto de objeto que inciden en el espejo se intersecarán en el mismo punto. Para esta construcción siempre se elige un punto de objeto que no esté sobre el eje óptico. En la figura 34.19 se muestran cuatro rayos que, por lo gene- ral, se dibujan con facilidad, los cuales se conocen como rayos principales.
- Un rayo paralelo al eje , después de reflejarse, pasa por el punto focal F de un espejo cóncavo o parece provenir del punto focal (virtual) de un espejo convexo.
- Un rayo que pasa por el punto focal F (o avanza hacia éste) se refleja paralela- mente al eje.
- Un rayo a lo largo del radio que pasa por el centro de curvatura C , o se aleja de él, interseca la superficie en dirección normal y se refleja de regreso por su tra- yectoria original.
- Un rayo que incide en el vértice V se refleja, formando ángulos iguales con el eje óptico.
34.2 Reflexión en una superficie esférica 1167
4
1
1 1
1 1
3
3
3
3 4
4
4
4
4
2 2 2
2
2
1
3
4
2
El rayo paralelo al eje se refleja a través del punto focal. El rayo que pasa por el punto focal se refleja paralelo al eje. El rayo que pasa por el centro de curvatura interseca la superficie normalmente y se refleja por su trayectoria original. El rayo hacia el vértice se refleja simétricamente a través del eje óptico.
El rayo paralelo reflejado parece provenir del punto focal. El rayo hacia el punto focal se refleja paralelo al eje. Al igual que con el espejo cóncavo: el rayo radial al centro de curvatura interseca la superficie normalmente y se refleja por su trayectoria original. Como con el espejo cóncavo, el rayo hacia el vértice se refleja simétricamente con el eje óptico.
C (^) P! F
Q!
a) Rayos principales para un espejo cóncavo
P
Q
V F C
Q!
P
Q
b) Rayos principales para un espejo convexo
V P!
34.19 Método gráfico para localizar la imagen formada por un espejo esférico. Los colores de los rayos sirven sólo como identificación; no se refieren a colores específicos de la luz.
PLANTEAR: La figura 34.18b muestra la situación. Como el espejo es convexo, su radio de curvatura y su distancia focal son negativos. La distancia de objeto es s 5 0.750 m 5 75.0 cm, y la estatura de Santa Claus es y 5 1.6 m. Se aplica la ecuación (34.6) para calcular la distan- cia de imagen s r, y en seguida la ecuación (34.7) para determinar el au- mento lateral m y, por ende, la altura y r de la imagen. El signo de m indica si la imagen es derecha o invertida.
E J ECUTAR: El radio del espejo convexo (la mitad del diámetro) es R 5 2(7.20 cm)> 2 5 23.60 cm, y la distancia focal es f 5 R > 2 2 1.80 cm. De acuerdo con la ecuación (34.6),
Puesto que s r es negativa, la imagen está detrás del espejo, es decir, del lado opuesto a la luz saliente (figura 34.18b), y es virtual. La imagen
s r 5 21.76 cm
1 s r 5
1 f
2
1 s^5
1 2 1.80 cm 2
1 75.0 cm
está aproximadamente a medio camino entre la superficie anterior del adorno y su centro. La ecuación (34.7) proporciona el aumento lateral m :
Dado que m es positiva, la imagen es derecha. Es tan sólo alrededor de 0.0234 veces tan alta como Santa Claus mismo:
EVALUAR: Cuando la distancia de objeto s es positiva, un espejo con- vexo siempre forma una imagen derecha, virtual, disminuida e inversa. Por esta razón, se utilizan espejos convexos para vigilar a los ladrones en las tiendas, en las intersecciones con poca visibilidad, y como espe- jos retrovisores de “gran ángulo” para automóviles y camiones (inclu- so los que llevan la leyenda “los objetos que se ven en este espejo están más cerca de lo que parecen”).
y r 5 my 5 1 0.0234 2 1^ 1.6 m 2 5 3.8 3 10 22 m 5 3.8 cm
m 5
y r y
5 2 s r s
5 2 2 1.76 cm 75.0 cm
5 0.
34.3 Refracción en una superficie esférica 1169
c )
d )
En a ) y b ) la imagen es real; en d ), es virtual. En c ) la imagen se forma en el infinito. Los aumentos laterales medidos en las figuras son aproximadamen- te a ) b ) 2 1; c ) o 2 (porque la distancia de imagen es infinita); d ) 1 2. Calculando los aumentos con base en la ecuación (34.7) se obtiene lo siguiente:
a )
b ) m 5 2
20 cm 20 cm 5 2^1
m 5 2
15 cm 30 cm 5 2^
1 2
212 ;
1 5 cm
1 1 s r
5 1 10 cm
s r 5 210 cm
1 10 cm 1
1 s r 5
1 10 cm s r^ 5 ^1 o^ 2^2
c )
d ) En a ) y b ) la imagen es invertida; en d ), es derecha. EVALUAR: Advierta la tendencia conforme el objeto se acerca al espe- jo. Cuando el objeto está lejos del espejo, como en la figura 34.20a, la imagen es más pequeña que el objeto, invertida y real. A medida que la distancia del objeto disminuye, la imagen se aleja del espejo y au- menta de tamaño (figura 34.20b). Cuando el objeto está en el punto focal, la imagen se halla en el infinito (figura 34.20c). Si el objeto se desplaza por dentro del punto focal, la imagen se torna más grande que el objeto, derecha y virtual (figura 34.20d). Puede poner a prueba estas conclu- siones mirando objetos reflejados en la parte cóncava de una cuchara metálica.
m 5 2 2 10 cm 5 cm
5 1 2
m 5 2 `^ cm 10 cm
5 21 o 1 2
Pueden dibujarse todos los rayos principales. La imagen es invertida.
El rayo 2 (de Q a F ) no puede dibujarse porque no incide en el espejo.
El rayo 3 (de Q a C ) no puede dibujarse porque no incide en el espejo.
La imagen es invertida.
2
Q 2
4 1
P
s!
C (^) P' F
3 V
1 4
a) Construcción para s 5 30 cm
3 Q!
s 5 30 cm
Q!
C
1
2
4
F
2
4 1
P P! (^) V
b) Construcción para s 5 20 cm
s y s! son iguales. s 5 s! 5 20 cm
Q
s 5 5 cm
Q C (^) F 3 P
4
1
s'
2
1
2 (^3 )
V P!
d) Construcción para s 5 5 cm
Q!
La imagen es virtual y derecha.
Q
s 5 10 cm
C (^) F P 3
4
1
V
s! 5 "
3 41
c) Construcción para s 5 10 cm
Los rayos salientes paralelos corresponden a una distancia de imagen infinita.
34.20 Uso de diagramas de rayos principales para localizar la imagen P r Q r formada por un espejo cóncavo.
34.3 Refracción en una superficie esférica
Como vimos en la sección 34.1, se forman imágenes por refracción lo mismo que por reflexión. Para comenzar, consideremos la refracción en una superficie esférica, es decir, en una interfaz esférica entre dos materiales ópticos de diferente índice de re- fracción. Este análisis es aplicable directamente a ciertos sistemas ópticos reales, como el ojo humano. Asimismo, constituye un peldaño hacia el análisis de las lentes, que normalmente tienen dos superficies esféricas (o casi esféricas).
Evalúe su comprensión de la sección 34.2 Los espejos de tocador se diseñan de modo que nuestra imagen aparezca al derecho y aumentada. ¿El espejo es cóncavo o convexo? Para ver una imagen aumentada, ¿dónde deberíamos colocar el espejo en relación con nuestro rostro (la distancia focal f )? i) ii) menor que iii) mayor que ❚
0 f 0 ; 0 f 0 ; 0 f 0.
1170 C APÍT U LO 34 Óptica geométrica
s , s! y R son positivos.
P! C
R
B
h P V
s s!
na , nb n (^) b
u b
u a
f b d
a
34.21 Construcción para hallar la posición del punto de imagen P r de un objeto puntual P , formado por refracción en una superficie esférica. Los materiales a la izquierda y a la derecha de la interfaz tienen índices de refracción na y n (^) b , respectivamente. En el caso que aquí se muestra, na , nb.
Imagen de un objeto puntual: Superficie refractiva esférica
En la figura 34.21 una superficie esférica de radio R forma una interfaz entre dos ma- teriales con índices de refracción diferentes na y nb. La superficie forma una imagen P r de un punto de objeto P ; nos proponemos averiguar cuál es la relación entre las dis- tancias de objeto y de imagen ( s y s r). Aplicaremos las reglas de signos que utilizamos en el caso de los espejos esféricos. El centro de curvatura C está del lado saliente de la superficie; por lo tanto, R es positivo. El rayo PV incide en el vértice V y es perpen- dicular a la superficie (esto es, al plano tangente a la superficie en el punto de incidencia V ), y penetra en el segundo material sin desviarse. El rayo PB , que forma un ángulo a con el eje, incide a un ángulo u a con respecto a la normal, y se refracta a un ángulo u b. Estos rayos se intersecan en P r, a una distancia s r a la derecha del vértice. El dibujo de la figura corresponde al caso na , n (^) b. Las distancias de objeto y de imagen son ambas positivas. Probaremos que si el ángulo a es pequeño, todos los rayos provenientes de P se intersecan en el mismo punto P r, por lo que P r es la imagen real de P. Emplearemos en gran medida el mismo método que aplicamos a los espejos esféricos en la sección 34.2. Una vez más, aplicaremos el teorema según el cual el ángulo externo de un triángulo es igual a la suma de los dos ángulos internos opuestos; la aplicación de esto a los triángulos PBC y P r BC da lo siguiente: (34.8) Según la ley de refracción,
Asimismo, las tangentes de a, b y f son
(34.9)
En el caso de rayos paraxiales, u a y u b son ambos pequeños en comparación con un radián, y podemos tomar el ángulo mismo (medido en radianes), como aproximación del seno y de la tangente de cualquiera de estos ángulos. La ley de refracción da entonces
Combinando esto con la primera de las ecuaciones (34.8) se obtiene
La sustitución de esto en la segunda de las ecuaciones (34.8) da
(34.10) Ahora aplicamos las aproximaciones tan a 5 a, etcétera, en las ecuaciones (34.9) y también despreciamos la pequeña distancia d; esas ecuaciones se transforman enton- ces en
a 5
h s
b 5
h s r
f 5
h R
na a 1 nb b 5 1 n (^) b 2 na^2 f
u b 5
na nb
1 a 1 f 2
na u a 5 nb u b
tan a 5
h s 1 d
tan b 5
h s r 2 d
tan f 5
h R 2 d
na sen u a 5 nb sen u b
u a 5 a 1 f f 5 b 1 u (^) b
1172 C APÍT U LO 34 Óptica geométrica
La refracción en superficies curvas es una de las razones por las que los jardineros evitan regar las plantas a mediodía. Cuando la luz solar entra en una gota de agua que reposa sobre una hoja (figura 34.23), los rayos luminosos se refractan unos hacia otros, como en las figuras 34.21 y 34.22. En consecuencia, la luz solar que incide en la hoja está más concentrada y puede causar daño. Un caso especial importante de superficie refractiva esférica es una superficie plana entre dos materiales ópticos. Esto corresponde a fijar R 5 ` en la ecuación (34.11). En este caso,
(superficie refractiva plana) (34.13)
Para calcular el aumento lateral m correspondiente a este caso, combinamos esta ecuación con la relación general [ecuación (34.12)] para obtener este resultado simple:
Es decir, la imagen que forma una superficie refractiva plana siempre tiene el mismo tamaño lateral que el objeto, y siempre es derecha. Un ejemplo de formación de imagen por una superficie refractiva plana es la apa- riencia de una pajilla o un remo de canoa parcialmente sumergidos. Visto desde ciertos ángulos, el objeto parece tener un doblez muy evidente en la superficie del agua por- que la parte sumergida aparenta hallarse a sólo alrededor de tres cuartas partes de su distancia real debajo de la superficie. (Comentamos acerca de la apariencia de un ob- jeto sumergido en la sección 33.2; véase la figura 33.9.)
m 5 1
n (^) a s
nb s r
34.23 Los rayos luminosos se refractan al atravesar las superficies curvas de estas gotitas de agua.
P (^) C nb^^5 1.52 P!
na 5 1.00 (aire)
R 5 2.00 cm s 5 8.00 cm s!
34.24 La varilla de vidrio en aire forma una imagen real.
Ejemplo 34.5 Formación de imágenes por refracción I
Una varilla de vidrio cilíndrica en aire (figura 34.24) tiene un índice de refracción de 1.52. Se pulió un extremo para formar una superficie se- miesférica con radio R 5 2.00 cm. a ) Calcule la distancia de imagen de un objeto pequeño situado sobre el eje de la varilla, a 8.00 cm a la izquierda del vértice. b ) Obtenga el aumento lateral.
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: Este problema utiliza las ideas de refracción en una superficie curva. Nuestras incógnitas son la distancia de imagen s r y el aumento lateral m.
PLANTEAR: En este caso el material a es aire ( na 5 1.00) y el material b es el vidrio del que se compone la varilla ( n (^) b 5 1.52). Sabemos que
s 5 8.00 cm; el radio de la superficie esférica es positivo ( R 5 12.00 cm) porque el centro de curvatura está del lado saliente de la superficie. Usaremos la ecuación (34.11) para determinar la distancia de imagen y la ecuación (34.12) para el aumento lateral.
EJECUTAR: a ) De acuerdo con la ecuación (34.11),
b ) De la ecuación (34.12),
EVALUAR: Como la distancia de imagen s r es positiva, la imagen se forma 11.3 cm a la derecha del vértice (en el lado saliente), como se muestra en la figura 34.24. El valor de m indica que la imagen es un poco más pequeña que el objeto e invertida. Si el objeto fuera una fle- cha de 1.000 mm de altura que apunta hacia arriba, la imagen sería una flecha de 0.929 mm de altura que apunta hacia abajo.
m 5 2
na s r nb s 5 2^
(^1) 1.00 2 1 (^) 11.3 cm 2 (^1) 1.52 2 1 (^) 8.00 cm 2 5 20.
s r 5 111.3 cm
8.00 cm 1
s r 5
1.52 2 1. 1 2.00 cm
Ejemplo 34.6 Formación de imágenes por refracción II
Se sumerge en agua (índice de refracción n 5 1.33) la varilla de vidrio del ejemplo 34.5, como se muestra en la figura 34.25. Las demás mag- nitudes tienen los mismos valores que en el caso anterior. Obtenga la distancia de imagen y el aumento lateral.
SOLUCIÓN IDENTIFICAR: La situación es la misma que en el ejemplo 34.5, salvo que ahora n (^) a 5 1.33.
PLANTEAR: Al igual que en el ejemplo 34.5, utilizamos las ecuacio- nes (34.11) y (34.12) para determinar s r y m , respectivamente.
EJECUTAR: De acuerdo con la ecuación (34.11),
s r 5 221.3 cm
8.00 cm 1
s r 5
1.52 2 1. 1 2.00 cm
34.3 Refracción en una superficie esférica 1173
na 5 1.33 (agua) P!
s!
P C nb 5 1.
s 5 8.00 cm
34.25 Cuando está inmersa en agua, la varilla de vidrio forma una imagen virtual.
En este caso, el aumento lateral es
EVALUAR: El valor negativo de s r significa que, una vez que la super- ficie refracta los rayos, éstos no convergen sino que parecen divergir a
m 5 2
(^1) 1.33 2 1 (^2) 21.3 cm 2 1 1.52 2 1 8.00 cm 2
5 12.
partir de un punto situado 21.3 cm a la izquierda del vértice. Vimos un caso similar en la reflexión de luz en un espejo convexo; describimos el punto como una imagen virtual. En este ejemplo la superficie forma una imagen virtual a 21.3 cm a la izquierda del vértice. La imagen ver- tical es derecha (porque m es positivo) y 2.33 veces más grande que el objeto.
Ejemplo 34.7 Profundidad aparente de una alberca
Los propietarios de albercas saben que éstas siempre parecen menos profundas de lo que realmente son, y que es importante identificar cla- ramente las partes profundas, para que quienes no saben nadar no se introduzcan donde el agua les cubriría la cabeza. Si alguien que no sabe nadar mira directamente hacia abajo el agua de una alberca que tiene 2.00 m de profundidad (aproximadamente, 6 ft, 7 in), ¿cuál es la pro- fundidad aparente?
SOLUCIÓN
IDENTIFICAR: La superficie del agua actúa como una superficie re- fractiva plana.
PLANTEAR: En la figura 34.26 se muestra la situación. Para obtener la profundidad aparente de la alberca, imaginamos que hay una flecha PQ pintada en el fondo de la alberca. La superficie refractiva del agua forma una imagen virtual P r Q r de esta flecha. Para calcular la profun- didad de esta flecha, la cual nos indica la profundidad aparente de la al- berca, aplicamos la ecuación (34.13).
EJECUTAR: La distancia de objeto es la profundidad real de la alberca: s 5 2.00 m. El material a es el agua ( na 5 1.33) y el material b es el aire ( n (^) b 5 1.00). La ecuación (34.13) da la posición de la imagen:
La distancia de imagen es negativa. De acuerdo con las reglas de signos de la sección 34.1, esto significa que la imagen es virtual y está del lado entrante de la superficie refractiva, es decir, del mismo lado que el objeto. La profundidad aparente es de 1.50 m (aprox. 4 ft, 11 in), esto es, de sólo tres cuartas partes de la profundidad real. Un nadador de 1.80 m (6 ft) de estatura que no tomara en cuenta este efecto tendría problemas. EVALUAR: Recuerde que el aumento lateral correspondiente a una super- ficie refractiva plana es m 5 1. Por lo tanto, la imagen P r Q r de la flecha tie- ne la misma longitud horizontal que la flecha real PQ. Sólo la profundidad es diferente. Usted puede observar este efecto en la figura 34.27.
s r 5 21.50 m
n (^) a s
1
n (^) b s r
5
2.00 m
1
s r
5 0
s! s
V
Q P
Q! P!
nb 5 1. (aire)
na 5 1. (agua)
34.26 La flecha P r Q r es la imagen virtual de la flecha PQ que está bajo el agua. Para mayor claridad, se exageraron los ángulos que el rayo forma con la vertical.
La misma dimensión horizontal
34.27 La parte sumergida de esta pajilla parece estar a una profundidad menor (más cerca de la superficie) de lo que realmente está.
