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14.88. Una fuerza de 40.0 N estira un resorte vertical 0.250 m. a) ¿Qué masa debe colgarse del resorte para que el sistema oscile con un periodo de 1.00 s? b) Si la amplitud del movimiento es de 0.050 m y el periodo es el especificado en a), ¿dónde está el objeto y en qué dirección se mueve 0.35 s después de haber pasado la posición de equilibrio cuando se dirige hacia abajo? c) ¿Qué fuerza (magnitud y dirección) ejerce el resorte sobre el objeto cuando este se encuentra 0.030 m bajo la posición de equilibrio al subir?
Resolución:
A continuación se presentan todas las fórmulas necesarias para resolver todos los literales:
𝐹 = 𝐾𝑥 (1)
𝑇 = 2𝜋√𝑚 ⁄𝑘 (2)
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡) (3) 𝐹𝑇 = 𝐹𝑒𝑞𝑢𝑖 + 𝐹 (4)
a) Para obtener la masa, de la (1) despejamos K. 𝐾 =
De la (2) despejamos la m.
𝑚 = (
2 𝐾 (6)
Ahora (5) en la (6) y remplazamos datos para obtener el valor de la masa.
𝑚 = (
1 𝑠^2
4𝜋^2 ) (160𝑁) = 4.052 𝑘𝑔
b) A=0.050m, t=0.35s
Lo primero que hacemos es transformar el tiempo T= (0.35) t y remplazamos en la ecuación (3). 𝑥 = [𝐴𝑠𝑒𝑛2𝜋(0.35)] = −0.0405𝑚
Como sabemos la masa ya ha pasado el punto más bajo de su movimiento y está de camino hacia arriba.
c) Usando la (1) tenemos que cuando está 0.03m debajo de la posición de equilibrio la fuerza es: 𝐹 = 160𝑁(0.03𝑚) = 4.8𝑁
Esto remplazamos en la ecuación (4):
𝐹𝑇 = 𝑚𝑔 + 4.8𝑁 = 4.45𝑁
14.92 Para cierto oscilador, la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo de masa m está dada por Fx = -cx3. a) ¿Qué función de energía potencial describe este oscilador, si tomamos U = 0 en x = 0? b) El cuerpo se mueve de x = 0 a x = A en un cuarto de periodo. Calcule este tiempo y, por consiguiente, el periodo. [Sugerencia: Inicie con la ecuación (14.20), modificada para incluir la función de energía potencial que obtuvo en el inciso a), y despeje la velocidad vx en función de x. Luego, sustituya vx por dx/dt y separe la variable escribiendo todos los factores que contienen x de un lado y los que contienen t del otro, de manera que pueda integrarse cada lado. En la integral de x, haga el cambio de variable u = x/A. La integral resultante se puede evaluar usando métodos numéricos en una computadora y tiene el valor ]. c) De acuerdo con el resultado obtenido en el inciso b), ¿el periodo depende de la amplitud A del movimiento? ¿Las oscilaciones son armónicas simples?
Resolución:
Para resolver este problema algo fundamental que debemos hacer es seguir las indicaciones que el propio enunciado nos presenta.
a) Cuando U=0 y X=0 usamos lo siguiente:
𝑥
𝑋 0
En la parte (a), sea Xo = 0 y U (Xo) =U(o)=0. El tiempo que tarda el objeto en pasar de X = 0, X= A el tiempo es / 4. T. Entonces se obtiene.
𝑥
0
= ∫ 𝑐𝑥^3 𝑑𝑥
𝑥
0
𝑥^4
b) Para este literal vamos a utilizar la conservación de la energía.
1 2
𝑚𝑉𝑥^2 = 𝑐(𝐴^4 − 𝑥^4 ), 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑉𝑥 =
Entonces obtenemos lo siguiente. 𝑑𝑥 √𝐴^4 − 𝑥^4
Para cada esfera tenemos lo siguiente:
𝑓𝑠𝑅 = (
Y si despejamos R de la ecuación (3), no queda lo siguiente.
𝑓𝑠 = (
El sistema consta de dos esferas y usando la ecuación (2), obtenemos que:
2𝑓𝑠 − 𝑘𝑥 = 2𝑀𝑎 (6)
Donde:
𝐾𝑥 =
5 𝑀𝑎^ 𝒚^ 𝑎 =
Ahora lo que tenemos que hacer es remplazar todos los datos obtenidos en la ecuación (4).
Despejamos 𝜔.
14𝑀 𝑦 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑠𝑎𝑏𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑇 =
14.98 El problema de la campana que suena en silencio. Una campana grande de 34.0 kg cuelga de una viga de madera, de modo que puede oscilar con fricción despreciable. Su centro de masa está 0.60 m bajo el pivote, y su momento de inercia con respecto a un eje que pasa por el pivote es de 18.0 kg? m2. El badajo es pequeño, con una masa de 1.8 kg, y cuelga del extremo de una varilla delgada de longitud L y masa despreciable. El otro extremo de la varilla está sujeto al interior de la campana, de modo que puede oscilar libremente sobre el mismo eje de la campana. ¿Qué longitud L debe tener la varilla para que la campana suene en silencio, es decir, para que el periodo de oscilación de la campana en la parte de abajo?
Resolución:
A la campana la podemos considerar como un péndulo físico suspendido de un eje de rotación.
Entonces podemos utilizar las siguientes ecuaciones:
Usando la ecuación y remplazando datos obtenemos lo siguiente:
Ahora para obtener la longitud usamos la siguiente ecuación.
Despejamos L.
2 𝑔 = (9.8𝑚/𝑠^2 ) (
2 = 0.88𝑚
b) El máximo ω cuando x varía ocurre cuando
𝑑𝜔 𝑑𝑥
= 0 , por lo tanto:
Seguimos resolviendo.
𝑥^2 +
𝐿^2
c) Ahora vamos a obtener 𝜔𝑚𝑎𝑥 , por lo tanto sustituimos la (6) en la (5).
