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Capítulo 4
Operaciones escalares
Msc. Ing. Jairo E. Márquez D.
4.1 Variables y operaciones escalares
MATLAB por su estructura de diseño trabaja con memoria dinámica; lo cual implica, que no precisa que se declaren las variables que se van a usar. Aunque este proceso es flexible, lo más recomendable es trabajar siempre declarando las variables, teniendo cuidado que no se realice con nombres propios de funciones y/o instrucciones de Matlab, de tal manera que no se genere conflicto a la hora de ejecutar una operación.
En términos generales, se sugiere reservar memoria para las variables (por ejemplo, en matrices muy grandes); para ello, solo se debe asignar un valor cualquiera. De igual manera, si se está usando mucha memoria, es conveniente liberarla borrando variables que no se vayan a usar más. Por consiguiente, a la hora de desarrollar un script como primera línea coloque siempre la instrucción clear o clc.
Una variable representa un símbolo que permite identificar un valor numérico que pertenece a un conjunto determinado. Para el caso de Matlab, los datos se pueden almacenar mediante variables, teniendo en cuenta algunos aspectos como:
1. Se debe declarar las variables en su inicio con una letra, que puede combinarse a posteriori con otras letras, números o raya al piso ().
- MATLAB diferencia las letras mayúsculas de las minúsculas.
- Se sugiere que, para el desarrollo de programas extensos, se empleen nombres_ _completos para las variables, esto con el fin de poder identificarlos mejor.
- No se puede tomar palabras reservadas de Matlab como nombres de variables.
- No se permite espacios entre caracteres.
- Las variables pueden contener hasta 19 caracteres._
Un escalar es todo aquel número real o complejo, constante, que describe una magnitud. Por ejemplo, constantes.
pi ans
3.
Velocidad de la luz: c=300000 Km/s aproximadamente.
c = 3e8 %velocidad de la luz, medida en metros/segundo
Constante de los gases ideales
R= 8.314472 % Unidades Joule/mol*kelvin
Carga eléctrica del electrón - 1,602x10-19^ Coulombios
q = - 1,602e-
Masa del electrón 9, 10938188x10-31^ Kilogramos
me = 9, 10938188e -
Masa del Protón 1,67262158 x10-27^ Kilogramos
mp = 1,67262158e -
Masa del Neutrón 1,67492716 x10-27^ Kilogramos
mn = 1,67492716e -
Longitud de Planck 𝐿𝐿 (^) 𝑝𝑝 =1.616 252(81) × 10-35^ metros.
escalar =
-
whos escalar Name Size Bytes Class Attributes escalar 1x1 8 double
4.2 Variables
Una variable es un símbolo que constituye un predicado, fórmula, algoritmo o una proposición de carácter matemático. En Matlab existen cinco tipos de variables, que se resumen en el siguiente cuadro:
Instrucción Descripción Ejemplo
Array Datos ordenados por índices cuyos componentes son del mismo tipo, es decir números.
[1,2;3,4];
7-5i
Char Array de caracteres (cada carácter tiene 16 bits).
‘Hola Mundo’
Celda Dato ordenado por índices cuyos componentes son arrays de distinto tipo.
{17,’hola’,eye(2)}
Struct Dato para ser almacenados en campos (estructura). Cada campo es un array o celda.
a.dia=1; a.mes=’julio’
Objeto Datos definidos por el usuario con base a una estructura y con funciones asociadas.
tf(1,[1,1])
Para verificar si una variable declarada es una función propia de Matlab, por ende, es reservado, se puede usar los siguientes comandos isvarname , iskeyword y which. Para su uso se procede de la siguiente manera:
Con which permite saber la ruta donde se encuentra un script en Matlab, solo debe adicionarse el nombre del archivo, así:
>> which arco C:\Users\USER\Documents\MATLAB\arco.m
Se va a declarar la variable cos , asumiendo el riesgo que esta variable sea realmente una función propia de Matlab.
cos =
cos = 5
>> Which cos Undefined function 'Which' for input arguments of type 'char'.
Did you mean:
>> which cos built-in (C:\Program Files\MATLAB\R2014a\toolbox\matlab\elfun@double\cos) % double method
El comando which , indica que la función no está definida como un argumento de entrada de tipo char, por lo que valida de nuevo la petición en la que establece que cos es una función propia de Matlab e indica su ubicación interna. Por consiguiente, no se debe tomar este nombre como variable para no tener problemas.
>> invarname cos Undefined function 'invarname' for input arguments of type 'char'.
Did you mean: >> isvarname cos ans = 1
El comando invarname , indica que la función no está definida como un argumento de entrada de tipo char, por lo que valida de nuevo la petición asignado un valor lógico verdadero a esta definición. Por consiguiente, no se debe tomar este nombre como variable para no tener problemas.
Con el comando iskeyword , Matlab despliega una lista de nombres reservados:
>> iskeyword ans = 'break' 'case' 'catch' 'classdef' 'continue' 'else' 'elseif' 'end' 'for' 'function' 'global' 'if' 'otherwise'
- 45y_e
- b_d
- %$&
- arctan
- exp
- y2z
- Pi
- whos
- end
- Try
- Mi_archivo
- 1archivo
- As#k
- bs5sd
- X
- Aceleración
- X_2b
- _xty
Pruebe los ejercicios anteriores con los comandos isvarname, iskeyword y which.
En términos operativos el uso de las variables en Matlab es muy útil, en particular a la hora de trabajar con fórmulas matemáticas, físicas o químicas.
Empecemos con ejemplos básicos:
Sea un valor numérico n cualesquiera que se desea guardar en un lugar de memoria de Matlab, para ello se le asigna una variable denominada x así:
_>> x=
5_
Si va a trabajar con más de una variable, se puede organizar de manera vertical u horizontal en una misma línea, separadas por comas o por punto y coma, así:
_>>x=5, y=
5 6_
Si se coloca punto y coma al final de cada instrucción, Matlab omite el desplegado de información en el Command Window. Por ejemplo:
>>x=5; y=6;
Como se aprecia al emplear el punto y coma, no aparece en el Command Window los valores de x e y. Esto se debe a que se le está indicando a Matlab que ejecute el comando pero que suprima la salida.
Recuerde que las variables de Matlab deben comenzar por una letra, teniendo especial cuidado, que distingue entre minúsculas y mayúsculas.
>> variable=
variable = 10
>> x=
x = 10
>> var_1=
var_1 = 10
>> VAR=
VAR = 10
>> z=5-9i z = 1.00 - 9.0000i
En ciertos casos resulta útil reasignar el valor de una variable a partir del valor anterior, es decir:
>> x=1; >> x=x+1 % esta instrucción indica que se le debe asignar a la variable x el valor declarado inicialmente y a éste adicionar 1
x = 2
Si se ejecuta varias veces la instrucción anterior se va a ir sumando 1 a cada iteración
>> x=x+ x = 3
>> x=x+ x = 4
>> x=x+ x = 5
Ejercicios resueltos
Es importante que analicen cada ejercicio y lo prueben en Matlab. De igual manera, el cambiar los datos les va a permitir adquirir la habilidad de interacción con las diversas herramientas y sintaxis propia de este programa.
- El peso de un cuerpo se representa matemáticamente como el producto de la masa por la gravedad, donde está última se considera una constante.
𝑇𝑇𝑝𝑝 = �^
Donde h es la constante de Planck = 6.62606896(33)x10 -34^ J.s; G , la constante de gravitación universal 6.67384(80)x10-11^ Nm 2 /Kg^2 ; c , la velocidad de la luz; k , la constante de Boltzmann = 1.3806504x10 -23^ J/K
h=6.62606896e-34; G=6.67384e-11; c=3e8; k=1.3806504e-23; Tp = sqrt(hc^5/(2piGk^3))
Tp = 3.8197e+
Nota 8. Las variables también permiten guardar cadenas de caracteres o strings, con la salvedad que deben colocarse entre comillas.
a='Me gusta Matlab'
a = Me gusta Matlab
Retomando el ejercicio 3, podemos adicionar una variable tipo string,
'La Temperatura de Planck en grados kelvin es:' h=6.62606896e-34; G=6.67384e-11; c=3e8; k=1.3806504e-23; Tp = sqrt(hc^5/(2piGk^3))
La Temperatura de Planck en grados kelvin es:
Tp =
3.8197e+
Cabe anotar que a medida que se van declarando las variables, éstas aparecen registradas en el workspace. La ventaja, es que puede editarse, borrarse, o incluso crear nuevas variables. Todo ello solo con dar clic derecho sobre las mismas.
Figura 4.1. Almacenamiento de variables en el Worspace. Si se va a emplear las variables en otros ejercicios, es recomendable guardarlas, para ello vaya a la pestaña HOME y ubique el botón Save Workspace , el archivo se guarda con la extensión. mat, solicitando previamente un nombre.
De igual manera, al dar doble clic sobre las variables en el workspace, estas van a aparecer ordenadas de manera matricial. Por ejemplo, para el caso del volumen del ejercicio anterior, se muestra solo un valor que es de tipo escalar, que en el workspace se interpreta como una matriz de 1x1 double , es decir, que devuelve el valor de doble precisión para X. Si X es una matriz de doble precisión, doble no tiene ningún efecto en este caso.
Figura 4.2. Escalar guardado como vector en el workspace.
- El radio del horizonte de un agujero negro de masa M está representado por la fórmula: 𝑅𝑅 =
Donde G es la constante de la gravitación de Newton. Determine el radio cuando la masa es 2.5 veces la masa del sol.
G=6.67384e-11; c=3e8; % velocidad de la luz M = 2.51.9891e30; %masa del sol 1.9891e30 kg R=2GM/c^ R = 206499/
Para expresar el resultado en formato decimal
Ejercicios resueltos
En los siguientes ejercicios debe prestar atención en la forma de análisis de los problemas y posterior declaración de las variables.
- Sea x =13, y =8 y z =-6, calcule las operaciones inicialmente a mano y luego compare con los resultados obtenidos en Matlab:
a. 3x-2y+4z
b. -2x+(5y)^2-10z
c. (5x-4y)^2/z
d. 9y-2x/(3y+(y+4x)/(zx))
e. 4x^2-5y^3+15z+
f. (3x/2y)^3-(z/x)^2+
Recuerde el uso del teclado de flechas para recuperar los datos digitados previamente.
a. clear x =13; y =8; z =-6;
3x-2y+4*z ans =
-
b. -2x+(5y)^2-10*z ans = 1634
c. (5x-4y)^2/z ans = -181.
d. 9y-2x/(3y+(y+4x)/(z*x)) ans = 70.
e. 4x^2-5y^3+15*z+ ans =
-
f. (3x/2y)^3-(z/x)^2+ ans = 3.7964e+
- En la teoría de la relatividad, la masa de una partícula con velocidad v se representa mediante la ecuación: 𝑚𝑚 =
2
Donde m es la masa final, m 0 la masa inicial, v la velocidad del cuerpo y c la velocidad de la luz.
Determinar la masa relativista de un cuerpo de 100 Kg, que se desplaza a 0. veces la velocidad de luz (3x10^8 m/s).
>> mi = 100; % masa inicial >> v = 255000000; % velocidad relativista que se obtiene de multiplicar 0.85 *3x10^8 m/s, este número puede también expresarse como 2.55e >>c = 3e8; >> m= mi/sqrt(1-v^2/c^2) % Masa relativista en Kg m = 189.
- La densidad (𝜌𝜌𝑠𝑠𝑠𝑠) de la mezcla aire seco más vapor de agua medida (mol/m 3 ) se calcula mediante la fórmula:
Donde Pv es la presión de vapor medida en Hectopascales (Hpa = 100, 1 Pa = 9.86923.10 -4^ atm (atmósferas)); P es la presión atmosférica en Hpa; R es la constante de los gases (8.314472 J/mol.ºK = 8.314472 Pa.m3/ mol.ºK) y T es la temperatura en ºK.
Tenga en cuenta, que el aire húmedo es menos denso que el aire seco.
Determine la presión de vapor de agua para una temperatura de 360 ºK, con una densidad del aire seco más vapor de agua del orden de 9.6221.10 -5^ mol/m 3 cuando la presión atmosférica es de 1.8 Hpa.
Cabe anotar que para este caso en particular se debe despejar la ecuación antes de efectuar las operaciones de cálculo en Matlab. Por consiguiente, la fórmula de Pv es: 𝑃𝑃𝑠𝑠 =
>> Presion= 1.8; >>densidad=9.622e-5; >> Temperatura=360; >>R=8.314472;
d) Fuerza máxima de fricción estática posible, si el pavimento está cubierto de hielo, el coeficiente de fricción es de 0.25.
Con base en la figura 4.4, se deduce las siguientes fórmulas:
a. F N =mg =5000 kg*9.81m/s 2 = 49050N
b. F (^) R = maR = 𝑚𝑚 𝑠𝑠^2 𝑟𝑟 = 5000𝐾𝐾𝑔𝑔^
( 18. 1 𝑚𝑚/𝑠𝑠)^2 50 𝑚𝑚 = 32761𝑁𝑁
c. F fs = μ sF N = 0.54*49050N=26487N
d. F (^) fs = μ (^) shFN = 0.25*49050N=12262.5N Figura 4.4.
En Matlab la operación es:
>> m = 5000; % masa del camión expresado en Kilogramos >> g= 9.81; % aceleración de la gravedad >> Fn=m*g Fn = 49050.
>> v=18.1; % velocidad del vehículo expresado en metros/segundo >> r = 60; % Radio de la curva medido en metros >> Fr=m*v/r Fr = 1508.
>>cfsps=0.54; % Coeficiente de fricción estática en pavimento seco >> Ffs= cfsps*Fn Ffs = 26487.
>>cfsph=0.25; % Coeficiente de fricción estática en pavimento con hielo >> Ffs = cfsph*Fn Ffs = 12262.
- El término peralte, describe la pendiente transversal presente en el diseño de las curvas de una carretera (Ver figura 4.5) o plataforma de una vía férrea. Este diseño busca que la resultante total de las fuerzas que actúan sobre el vehículo se mantenga aproximadamente perpendiculares al plano de la vía o calzada. Con ello, el peralte contrarresta la fuerza centrífuga que hace que el vehículo se desplace al exterior de la curva.
Determine el ángulo para una curva de 60 m de radio de una carretera, para una rapidez vehicular de 60 km/h.
La fórmula para el ángulo de peralte Ɵ, con una rapidez v en la que no se precisa de la fricción, es:
𝑔𝑔𝑎𝑎𝑡𝑡𝑡𝑡 =
Sea el radio r = 60 m
Figura 4.5. Rapidez 𝑣𝑣 = 60 𝐾𝐾𝑚𝑚 ℎ ∗^
1000 𝑚𝑚 1 𝐾𝐾𝑚𝑚 ∗^
1 ℎ 3600 𝑠𝑠 = 16.^
𝑚𝑚 𝑠𝑠
(16.667 𝑚𝑚/𝑒𝑒)^2
60 𝑚𝑚 ∗ 9.81 𝑚𝑚/𝑒𝑒^2
𝑡𝑡 = arctan(0.471948503)
𝑡𝑡 =25.3o^ =0.441 radianes
En este ejercicio se omiten los comentarios, por lo cual su desarrollo es más rápido, aunque es recomendable definir los datos de las variables de entrada para establecer desde el inicio la claridad tanto de las unidades, la ecuación y los resultados a obtener.
>> r=60; v = 16.667; g=9.81; >> x=atan(v^2/(r*g)) x = 0.
El resultado está dado en radianes.
- Considérese un tubo de longitud l y de radio r , cerrado por uno de sus extremos. Se introduce el tubo de forma vertical por su extremo abierto en un recipiente con agua. A medida que el tubo se introduce en el agua a una longitud h , el aire en su interior se comprime, haciendo que el agua ascienda una longitud x en su interior, tal como se muestra en la figura 4.6. Figura 4.
b. 𝑥𝑥 𝑦𝑦 +^
𝑧𝑧 𝑠𝑠 − 𝑥𝑥𝑦𝑦^ +^ 𝑧𝑧𝑣𝑣
c. (𝑥𝑥 𝑧𝑧^ + 𝑣𝑣 3𝑦𝑦)5𝑦𝑦𝑠𝑠
d. � 3 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 2 − 𝑣𝑣
e. (2𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦𝑧𝑧 2 − 5 𝑣𝑣)^3 + 3 𝑥𝑥 2 + 8𝑥𝑥𝑦𝑦 − 9 𝑦𝑦 3
f. 𝑥𝑥+𝑠𝑠 𝑦𝑦−𝑧𝑧 − �
2𝑦𝑦+5𝑧𝑧 3 𝑠𝑠 +^
3𝑥𝑥−4𝑠𝑠 2𝑦𝑦
g. 11(𝑥𝑥 − 2)^2 + (2𝑦𝑦 + 3)^3 − 5 𝑧𝑧 + 4𝑣𝑣 2
h. 2𝑦𝑦−3𝑠𝑠 𝑦𝑦 −^
5𝑥𝑥𝑦𝑦+3𝑧𝑧 𝑠𝑠 +^
6𝑥𝑥−𝑦𝑦 𝑧𝑧
i. 𝑥𝑥+7𝑦𝑦 𝑦𝑦+𝑥𝑥 +^
3𝑥𝑥𝑦𝑦−2𝑥𝑥𝑧𝑧 𝑠𝑠−2 +^
5𝑥𝑥− 3𝑧𝑧
- La relación entre las escalas de temperatura Fahrenheit (F) y grados Celsius (C) está dada por la función lineal.
𝐹𝐹 =
a. Determine la temperatura en grados Fahrenheit, para temperaturas de 12 oC, 18 oC, 25 oC y 60 oC. b. Determine la temperatura en grados Celsius para temperaturas de 70 oF, 50 oF, 85 oF y 300 oF.
- La resistencia R a la circulación sanguínea (medida en N.s/m 5 ) que pasa por una arteria se puede evaluar con la fórmula:
Donde r es el radio de la arteria, 𝜂𝜂, la viscosidad de la sangre que es aproximadamente de 3.921.10 -3^ Pa.s (Pascal.segundo), l, es la longitud de la arteria.
a. Determine la resistencia R en un segmento de arteria de 5 cm, cuyo diámetro es de 0.9 cm. b. Cuál es el radio de un vaso sanguíneo cuya resistencia es del orden de 1.632 dinas.s/cm 5. Tome una longitud de 1 cm.
- La aceleración centrípeta se calcula por cualquiera de las siguientes dos maneras:
Donde v es la velocidad tangencial (m/s), r, el radio de la trayectoria (m), y ω la velocidad angular (rad/s).
Si la aceleración centrípeta de un cuerpo es de 5.3 m/s 2 , cual es la velocidad tangencial y angular para un radio de trayectoria de 1.31 metros.
- Cálculo del peso del acero. Por lo general las piezas de acero son de pequeña dimensión transversal respecto a su longitud L, por lo que las medidas se dan en función de la sección transversal (A), en cm^2 , mm 2 o fracción de pulgada (2,54cm) 2. El peso específico del acero es 7850 kgf/m 3 , por lo cual la expresión para calcular el peso del acero es:
𝑃𝑃 = 0.785𝐴𝐴𝐿𝐿
Donde el peso de la pieza se mide en kgf.
Determinar el peso del acero cuya longitud es de 2 m y sección transversal de 0.34 cm 2.
- Calcular el radio r de un círculo circunscrito en un triángulo usando la fórmula:
𝑟𝑟 =
Donde 𝑒𝑒 = 𝑎𝑎+𝑏𝑏+𝑐𝑐 2
Tome los valores de a=3, b=5 y c=7.
- Obtenga el valor del radio de Bohr del hidrógeno que se obtiene por medio de la relación entre constantes físicas, y que además representa la unidad atómica de longitud:
𝑎𝑎𝑜𝑜 =
4 𝜋𝜋𝜀𝜀𝑜𝑜 ℏ^2
Donde:
𝜺𝜺 (^) 𝒐𝒐 es la permitividad del vacío = 8.8541878176×10-12^ F/m ℏ es la constante de Planck reducida= 1.054571 68×10-34^ J s m (^) e es la masa del electrón en reposo = 9.1093826×10-31^ kg e es la carga elemental = 1.602176 53x10-19^ C
- La energía del gas ideal se calcula mediante la ecuación:
