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Capítulo 5
Funciones matemáticas en Matlab
Msc. Ing. Jairo E. Márquez D.
5.1 Límites computacionales de Matlab
Las funciones que se muestran en este capítulo aplican de igual forma a términos
escalares, vectoriales y matriciales. Así, antes de entrar en materia, es importante
tener en cuenta los límites computacionales de Matlab. Las variables con que
trabaja Matlab se procesan y almacenan en las CPU asumiendo un rango de valores
que oscilan entre 10
308
y 10
Para establecer los límites computacionales de Matlab se recurre a los siguientes
comandos.
>> realmax
ans =
1.797693134862316e+
>> realmin
ans =
2.225073858507201e- 308
Estos valores indican el número límite más grande y pequeño que puede trabajar
Matlab en coma flotante. Superadas estas cifras Matlab se desbordara, haciendo
imposible su computo.
Nota 10. El estándar de la IEEE 754
1
establece los parámetros para la
representación numérica computacional de coma flotante, de valores tipo
NaN , valores desnormalizados e infinito.
El estándar también especifica cinco excepciones y cuatro modos de
redondeo numéricas, que son: precisión simple (32 bits) requeridos por el
estándar, precisión doble (64 bits), precisión simple extendida (≥ 43 bits, no
usada normalmente) y precisión doble extendida (≥ 79 bits, usualmente
implementada con 80 bits), estos tres últimos son opcionales.
2
>> intmax
ans =
>> intmin
ans =
Estas dos cifras indican los números enteros más grande y pequeño con los cuales
Matlab puede trabajar. Superadas estas cifras, Matlab se desbordará, haciendo
imposible su computo.
5.2 Funciones en Matlab
Funciones trigonométricas
Matlab dispone de una amplia librería de funciones matemáticas, que son
importantes tener en cuenta, al menos aquellas que más se emplean en los
formulismos matemáticos.
Instrucción Nombre
sin(x) Seno
cos(x) Coseno
1
Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985), también conocido por IEC
60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems.
2
Para profundizar sobre esta temática, consultar Numerical Computation Guide. Appendix D. What Every
Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic. Consultado el 2014 de
http://docs.oracle.com/cd/E19957-01/806-3568/ncg_goldberg.html
coth(x) Secante hiperbólica
asinh(x) Arco seno hiperbólico
acosh(x) Arco coseno hiperbólico
atanh(x) Arco tangente hiperbólica
acoth(x) Arco cotangente hiperbólica
asech(x) Arco secante hiperbólica
acsch(x) Arco cosecante hiperbólica
hypot(x) Raíz cuadrada de la suma de cuadrados
Funciones algebraicas
sort(x) Ordena los elementos de un arreglo en forma
ascendente.
reallog Logaritmo natural de números reales.
realsqrt Raíz cuadrada de un número mayor o igual a cero.
sqrt(x) Raíz cuadrada
nthroot (x) Raíz cúbica
nthroot Raíz enésima real de los números reales.
nextpow2 Siguiente potencia mayor de 2.
pow2 Potencia base 2 con escala numérica en coma
flotante.
realpow Potencia cuyo resultado es real.
fplot(f,[x,y]) Grafica la función f en el intervalo [x,y]
fzero(f,x) Calcula la raíz de la función f, partiendo del valor x.
trapz(x,f) Calcula el área de la región plana limitada por f.
gcd(x,y) Máximo común divisor (mcd)
lcm(x,y) Mínimo común múltiplo (mcm)
factor(n) Descompone n en factores primos.
dec2base(x,n) Convierte un número decimal x (base 10) a una base
n dada.
base2dec(‘x’,B) Convierte el número x, dada la base B a decimal.
abs(x) Valor absoluto
Para obtener el listado de las funciones matemáticas elementales con la que
dispone Matlab puede digitar la instrucción:
>> help elfun
Elementary math functions.
Es importante mencionar que cuando se digita cualquier función, Matlab despliega
un cuadro de ayuda para que el usuario establezca en qué contexto desea evaluar
la función. Esto se debe en parte, porque algunas funciones relacionan más de una
variable. Por ejemplo, se digita la función rem que al digitar el primer paréntesis,
denota que requiere de dos números X e Y tal como se ilustra en la figura 5.1.
Figura 5.
>> rem(28,7)
ans =
0
>> rem(56,11)
ans =
1
Cuando se requiere saber más sobre algún comando o función en particular, si
observan detenidamente en el recuadro aparece More Help , resaltado en azul, si
oprimen en él, se despliega un cuadro de ayuda, tal como se muestra en la figura
>> x=60;
>> sind(x)
ans =
0.
>> cotd(x)
ans =
0.
>> cosd(x)
ans =
0.
>> secd(x)
ans =
2.
>> tand(x)
ans =
1.
>> cscd(x)
ans =
1.
Inverso de la función trigonométrica cuyo resultado se da en grados.
>> x=-1;
>> asind(x)
ans =
- 90
>> atand(x)
ans =
- 45
>> asecd(x)
ans =
180
>> acosd(x)
ans =
180
>> acotd(x)
ans =
- 45
>> acscd(x)
ans =
- 90
Funciones inversas trigonométricas
>> x=-1;
>> asin(x)
ans =
- 1.
>> acos(x)
ans =
3.
>> atan(x)
ans =
- 0.
>>atan(2*(x))
ans =
- 1.
>> acot(x)
ans =
- 0.
>> asec(x)
ans =
3.
>> acsc(x)
ans =
- 1.
Ejercicios resueltos
“ Si comete un error no olvide las teclas de flecha arriba abajo para recuperar los
datos digitados.”
- Dada la función 𝑓(𝑥) =
5
3
2
3
), calcular f(2) y f(-5):
x=2; %se procede a definir la variable
y=5/3x(40-32*x^2+9^3)
y =
2.1367e+
Recuerde usar las teclas de flechas arriba abajo para recuperar información
digitada:
x=-5;
y=5/3x(40-32*x^2+9^3)
y =
- 258.
- Dada la función 𝑓(𝑥) =
2 𝑥
2
( 3 𝑥+ 1 )
2
, calcular f(-3) y f(8):
x=-3;
y=(2x^2+5x)/(3*x+1)^
y =
0.
x=8;
y=(2x^2+5x)/(3*x+1)^
y =
0.
- Dada la función 𝑓(𝑥) = −| 5 𝑥 − 3 | + 7 , calcular f(-2) y f(-10):
x= - 2;
y=-abs(5*x-3)+
- 7.9698e- 04
7. Sea la función 𝑓(𝑥) =
log(𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐)−cos (𝑎𝑥
2
+𝑏𝑥+𝑐)
5 𝜋(𝑥
3
3
2
+𝑏𝑥+𝑐)
, Calcular f para x = 7,
a = 9, b = 6 y c = - 4:
Digitar esta ecuación es bastante engorroso, por lo cual se puede recurrir al
cambio de variables. Analice detenidamente el proceso, plantee otra opción:
x=5; a=9; b=6; c = - 4;
A=ax^2+bx+c;
B=x^3+8;
f=(log(A)-cos(A))/( 5piB+sin(B)*A)
f =
0.
- Sea la función 𝑓(𝑥) = 2 𝑥
3
5 𝑥
2
4 𝑥
2
), calcular f(-3) y f(2):
x=-3;
y=2x^3(4exp(5x))+5x^2exp(4*x)+log(x^2)
y =
2.
x=2;
y=2x^3(4exp(5x))+5x^2exp(4*x)+log(x^2)
y =
1.4693e+
- Dada la función logística 𝑓(𝑥) =
110
1 + 4 𝑒
− 1. 125687 𝑥
evalue la función para los valores
de x = 5, 5.37 y 5.
x1=5;
y1=110/(1+4exp(-1.125687x1))
y1=
108.
x2=5.37;
y2=110/(1+4exp(-1.125687x2))
y2=
108.
x3=5.598;
y3=110/(1+4exp(-1.125687x3))
y3=
109.
- Calcular la raíz empleando la instrucción nthroot :
a. Raíz cúbica de - 27.
b. N = [7 – 5 9] calcular varias raíces reales de - 7.
c. Dadas las matrices X = [- 3 - 3 - 3 ; 4 - 3 - 5] y N = [1 - 1 3; 1/3 5 3], donde cada
elemento en X corresponde a un elemento en N. Calcular las raíces n-ésimas
real de los elementos en X.
Solución
a. nthroot(-27, 3)
ans =
- 3.
b. N=[7 - 5 9];
Y = nthroot(-7,N)
Y =
- 1.32 - 0.68 - 1.
c. X = [- 3 - 3 - 3; 4 - 3 - 5];
N = [1 - 1 3; 1/3 5 3];
Y = nthroot(X,N)
Y =
- 3.00 - 0.33 - 1.
64.00 - 1.25 - 1.
- El Índice de Masa Corporal (IMC) es una medida que relaciona el peso y la
estatura de una persona, con el fin de calcular si tiene sobrepeso u obesidad.
2
Una persona mide 1.70 m y tiene una masa de 75 Kg. Entonces al remplazar los
datos se tiene:
2
2
Según el resultado, se infiere que tiene un leve sobrepeso.
Con base en lo anterior, calcule el IMC para una persona de 90 Kg de masa y
mide 1.79 metros.
masa = 90 Kg;
estatura = 1.79;
IMC = masa/estatura^
IMC =
28.
Se concluye que la persona tiene sobrepeso según un estándar predefinido.
- Movimiento parabólico. Se lanza desde una superficie horizontal un proyectil con
una velocidad inicial de 50 m/s, formando un ángulo de 30º con la horizontal.
Determinar:
a) Tiempo que tarda en llegar al piso.
b) Máxima altura que alcanza.
c) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento choca con el piso?
Datos de entrada 𝑣
𝑜
= 50 𝑚/𝑠; θ = 30º, g=9.81 m/s
2
a. El tiempo total se calcula con la ecuación:
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
0
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
2
𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙
b. La altura máxima se calcula con la ecuación:
𝑀𝑎𝑥
0
2
2
𝑀𝑎𝑥
2
2
2
𝑀𝑎𝑥
c. El alcance horizontal se calcula con la ecuación:
𝑀𝑎𝑥
0
2
𝑀𝑎𝑥
2
2
𝑀𝑎𝑥
Para desarrollar el ejercicio en Matlab tenga en cuenta que el ángulo está dado
en grados, por lo que se debe usar la función trigonométrica sind.
a. vi=50;g=9.81;
theta=
t=(2visind(theta))/g
t =
b. ymax=(vi^2(sind(theta))^2)/(2g)
ymax =
c. xmax=(vi^2*(sind(theta)))/g
xmax =
- Un aspersor giratorio para césped funciona de tal manera, que la variación del
ángulo con respecto al tiempo (dƟ/dt) es constante. La distancia que el agua
recorre en la dirección horizontal está dada por la siguiente ecuación:
2
La velocidad de rotación es de 2 m/s. Determine la distancia para el intervalo
45° ≤ 𝜃 ≤ 135° con particiones de 0.001 mediante un gráfico.
En este punto se incursiona en la definición de un intervalo y de la gráfica de una
función que lo asocia.
Lo primero que se debe hacer es transformar los ángulos dados en grados a
radianes:
theta=45:0.001:135;
v=2;
x=v^2sind(2theta)/32;
plot(theta,x)
Figura 5.4. Ilustración de la función x=v
2
*sind(2theta)/32.
- Ley de Snell. Esta ley permite calcular el ángulo de refracción Ɵ de la luz cuando
atraviesa una superficie de separación con diferentes densidades. Esta
diferencia hace que la velocidad de propagación de la onda varíe de un medio a
otro, debido a que los índices de refracción son diferentes ( n 1 y n 2 ), tal como
ilustra en la figura 5.5.
d. sen √𝑥
4
3
3
Calcule para x=− 4
e. 𝑓(𝑥) = √𝑙𝑜𝑔𝑥 + √cot ( 5 𝑥
2
− 1 ) Calcule f(2)
f. 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑜𝑔
10
5
2
g. 𝑓(𝑥) = 3 𝑒
− 2. 51 𝑥
2
4
) Calcule f(3)
h. cos( 2 𝑥) − 5 sec( 8 𝑥) − 𝑒
√
𝑥+ 1
Calcule para x= 9
i. 3 𝑒
- 51
3
−sen ( 2. 51 𝑥)
Calcule para x =
- Dada la identidad trigonométrica
2
Verifique que la identidad es correcta evaluando cada lado de la ecuación para
el valor de 𝑥 =
𝜋
5
- Calcular el momento M en el plano, cuando se aplica una fuerza F de 60.5 N a
una distancia de 40 cm de un punto O con los siguientes ángulos, 0, 10, 30, 45,
60, 90. La ecuación es:
a. En que ángulos el momento es máximo y mínimo.
b. Si M=14.78 Nm, F= 55.7 N y l=30 cm, 35 cm, 40 cm. Determine los ángulos
sobre los cuales la fuerza fue aplicada.
- El ángulo de elevación de una torre es de 50°, a una distancia de 70 metros de
ésta, tal como se observa en la figura 5.6. Si el observador se encuentra a 1.
metros sobre el suelo (altura de sus ojos). Determine la altura de la torre y la
hipotenusa.
Figura 5.
- La distancia d para un punto (𝑥 𝑜
𝑜
𝑜
) con respecto al plano 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 +
𝐷 = 0 está representado por la ecuación:
𝑜
𝑜
𝑜
2
2
2
Determine las distancias de los puntos (9, 5,-10) y (8, 12, 25) con respecto al
plano 3 𝑥 + 25 𝑦 + 14 𝑧 − 26 = 0
- El área de un triángulo cualesquiera se puede calcular mediante la siguiente
fórmula:
2
Si A=25.18 cm
2
, 𝜃 = 25. 7 y 𝛽 = 48. 7 cuál es el valor de a.
- Determine la altura del edificio y distancia diagonal o hipotenusa según los datos
mostrados en la figura 5.7.
Figura 5.
- El costo C de manufacturar x productos está dado por la fórmula:
2
Determine el número de productos que se manufacturó a un costo de 70 USD.
- Sea una varilla de masa M y longitud L , que tiene dos esferas de masa m y
radio r simétricamente dispuestas a una distancia d del eje de rotación que es
perpendicular a la varilla y pasa por el punto medio de la misma, tal como se
ilustra en la figura 5.8.
𝑀
2
Donde t = 0 corresponde al amanecer e IM es la máxima intensidad.
Si I M
= 15 kcal/cm
2
y D = 12, cuál es el valor de I para t = 5, 7 y 10 en ambos
casos. Cuál es la diferencia porcentual entre las dos ecuaciones.
- Ley del paralelogramo: enuncia que la suma de los cuadrados de los cuatro
lados (dos lados a y dos b, tal como se muestra en la figura 5.10 ) de un
paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de las dos diagonales ( D 1
y D 2
) de éste. Se puede expresar así:
2
2
1
2
2
2
Si las diagonales de un paralelogramo son 6.
cm y 9.22 cm, cuál es el valor del lado b , si el lado
a mide 5 cm.
Figura 5.
- Las tensiones de contacto en las direcciones x, y, z que aparecen entre dos
esferas que se presionan entre sí con una fuerza F, están representadas por las
siguientes expresiones:
𝑥
𝑦
𝑚á𝑥
[( 1 −
1
2
2
− 1
]
𝑧
𝑚á𝑥
2
2
Donde
3 𝐹
8
1 −𝑣
1
2
𝐸
1
1 −𝑣
2
2
𝐸
2
1
𝑑 1
1
𝑑 2
1 / 3
𝑚á𝑥
3 𝐹
2 𝜋𝑎
2
Vi representa los coeficientes de Poisson, Ei, los módulos de Young de cada
esfera y d i
sus diámetros.
Calcular las tensiones principales cuando v 1
= 0.25, v 2
= 0.31, E
1
7
, E
2
7
, d 1 = 1.5, d 2 = 2.75, F = 120 lib y z =0.012 in.
- La apertura numérica de la trayectoria de un haz de luz láser al interior de una
fibra óptica, está representado por la siguiente ecuación:
1
2
2
2
Con 𝑛
2
1
Donde 𝑛
1
y 𝑛
2
representan los índices de refracción de la fibra, y 𝜃 indica el
ángulo límite de ser reflejado totalmente por la fibra óptica.
a. Si los índices de refracción son 1.42 y 1.4441, cual es el valor de 𝜃.
b. Si el ángulo 𝜃 = 42. 251 , cual es el valor de 𝑛
2
, si 𝑛
1
2
- Bajo las suposiciones estándar en astrodinámica la velocidad orbital v de un
cuerpo que describe una trayectoria sobre una órbita elíptica se puede calcular
mediante la ecuación:
Donde μ, es un parámetro gravitacional estándar (Km
3
/s
2
); r, es la distancia
radial desde el cuerpo orbitante al cuerpo central (Km); a, es la longitud del semi-
eje mayor de la elipse (Km).
Si r = 2.5x
13
Km y μ = 37.931.187 Km
3
/s
2
, determine los valores que toma la
velocidad orbital si a toma valores de 0.5r, 0.75r, 1.25r y 1.5r.
- Cuando el hielo ataca con ángulo horizontal sobre un pilar de un puente, se
desarrollan fuerzas horizontales. Estas fuerzas dependen del ángulo y de la cara
del pilar que rompe el hielo. Su ecuación es:
𝑡
𝑡
𝑡
Donde F t
, es la fuerza que experimenta el pilar; F, es la fuerza horizontal; β
representa el ángulo horizontal entre las dos caras del pilar. Para un pilar plano
β = 0 y un pilar curvo β puede ser 100º.
a. Determine 𝐹
𝑡
𝑡
( 25 ) y 𝐹
𝑡
( 30 ), si la fuerza horizontal es de 0.3 MN. La
respuesta expresarla en grados.
b. Determine el ángulo 𝜃
𝑡
si la fuerza horizontal es de 0. 6 MN y la fuerza del
pilar es de 5.4596.
4
N. Tome un pilar curvo β.
- Hallar la deformación total (𝛿
𝑇
) de la barra de la figura 5.11, considerando el
material acero con un diámetro D = 10 cm, longitud l = 50 cm, peso P = 2000
Kg y módulo de deformación ϒ = 2.1x
6
Kg/cm
2
