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CEROS DE FUNCIONES
Métodos de Bisección,
Newton y Secante
Antes de comenzar la resolución de problemas, recordemos brevemente algunos con- ceptos relativos a sucesiones de números reales.
Diremos que una sucesión de números reales {xk}∞ k=0 converge a α ∈ IR y lo deno- taremos como l´ım k→∞ xk = α o tambien como xk → α, si
para cada ε > 0 , existe k 0 ∈ N tal que es |xk − α| < ε para cada k ≥ k 0
Si definimos el Error absoluto cometido al aproximar α por xk como Ek^ = |xk − α|
y cuando α 6 = 0, el Error relativo cometido al aproximar α por xk como rk^ =
|xk − α| |α|
resulta que
xk → α si y sólo si Ek^ → 0 y si α 6 = 0 esto ocurre si y sólo si rk^ → 0
Observar también que Ek^ = rk^ cuando |α| = 1, que rk^ < Ek^ cuando |α| > 1 , mientras que Ek^ < rk^ cuando |α| < 1.
Para determinar la velocidad de convergencia de una sucesión a su límite, se introduce el siguiente concepto.
Diremos que una sucesión de números reales {xk}∞ k=0 converge a α ∈ IR con orden de convergencia p ≥ 1 , si existen una constante C > 0 y k 0 ∈ N tales que
|xk+1 − α| < C|xk − α|p^ para cada k ≥ k 0.
Cuando p = 1 se exige además que 0 < C < 1.
- Si p = 1 la convergencia se denomina lineal.
- Si 1 < p < 2 la convergencia se denomina superlineal.
- Si p = 2 la convergencia se denomina cuadrática
- Si 2 < p < 3 la convergencia se denomina supercuadrática
- Si p = 3 la convergencia se denomina cúbica.
Recordar que si 0 < x < 1 , entonces xp^ ≤ xq^ si y sólo si 1 ≤ q ≤ p. Por tanto, si suponemos que |xk 0 − α| < 1 , entonces toda sucesión con orden de convergencia p, tiene orden de convergencia q, para cada 1 ≤ q ≤ p.
2 Métodos de Bisección, Newton y Secante
Observar que el orden de convergencia de una sucesión convergente, está expresado en términos de los errores absolutos. De hecho, podemos reformular la definición como
Una sucesión de números reales {xk}∞ k=0 converge a α ∈ IR con orden de conver- gencia p ≥ 1 si y sólo si existen una constante C > 0 y k 0 ∈ N tales que
Ek+1 < CEkp para cada k ≥ k 0.
Cuando p = 1 se exige además que 0 < C < 1.
Si α 6 = 0, es sencillo expresar también el orden de convergencia de una sucesión con- vergente a α en términos de los errores relativos. Concretamente, si p ≥ 1 , tenemos que
|xk+1 − α| < C˜|xk − α|p^ ⇐⇒
|xk+1 − α| |α|
< C˜|α|p−^1 ︸ ︷︷ ︸ C
|xk − α|p |α|p^
= C
|xk − α|p |α|p
y por tanto,
una sucesión de números reales {xk}∞ k=0 converge a α ∈ IR, α 6 = 0, con orden de convergencia p ≥ 1 si y sólo si existen una constante C > 0 y k 0 ∈ N tales que
rk+1 < Crkp para cada k ≥ k 0.
Cuando p = 1 se exige además que 0 < C < 1.
A partir de la caracterización anterior, tomando logaritmos (por ejemplo logaritmos neperianos) y teniendo en cuenta que el logaritmo es una función estrictamente creciente, obtenemos que
si {xk}∞ k=0 converge a α ∈ IR, α 6 = 0, con orden de convergencia p ≥ 1 , entonces:
- Si p = 1, ln rk+1+k 0 < ln (Crk+k 0 ) = ln C + ln rk+k 0 , para cada k ≥ 0. Aplicando sucesivamente esta desigualdad, resulta que
ln rk+k 0 < (^) ︸ln C + · · ·︷︷ + ln C︸ k
- ln rk 0 = ( ln C)k + ln rk 0
- Si p > 1 , ln rk+1+k 0 < ln (Crpk+k 0 ) = ln C + p ln rk+k 0 , para cada k ≥ 0. Aplicando sucesivamente esta desigualdad, resulta que
ln rk+k 0 < ln C + p( ln C) + · · · + pk−^1 ( ln C) + pk^ ln rk 0
= ( ln C)(1 + · · · + pk−^1 ) + pk^ ln rk 0 = ( ln C)
(pk (^) − 1
p − 1
= pk
( (^) ln C p − 1
ln C p − 1
4 Métodos de Bisección, Newton y Secante
Observar que en este caso f (0) = 0, de manera que α = 0 es la solución buscada. Así pues, este problema tiene como objetivo no tanto hallar el cero de f , sino mostrar cómo el método de Newton converge hacia él. Asimismo, como α = 0, el criterio de convergencia será
|xk^ − xk+1| ≤ T olx|xk+1| + E = 0 , 5 × 10 −^4 |xk+1| + 0, 5 × 10 −^8
(a) El algoritmo de Newton se describe como
xk+1^ = xk^ −
f (xk) f ′(xk)
= xk^ −
xk^ + e−x k − cos(xk) 1 − e−xk^ + sen(xk)
(b) La aplicación del algoritmo de Newton se resume en la siguiente tabla:
Iter. Aproximación xk^ f (xk) T olx|xk+1| + E |xk^ − xk+1| 0 1 , 00000000 0 , 8275771351 0 , 2192472450 × 10 −^4 0 , 56160551 1 0 , 43839449 0 , 1780314011 0 , 1050389050 × 10 −^4 0 , 22841668 2 0 , 20997781 0 , 425445028 × 10 −^1 0 , 5156855000 × 10 −^5 0 , 10694071 3 0 , 10303710 0 , 104342323 × 10 −^1 0 , 2558189700 × 10 −^5 0 , 51973306 × 10 −^1 4 0 , 51063794 × 10 −^1 0 , 25853163 × 10 −^2 0 , 1276090350 × 10 −^4 0 , 25641987 × 10 −^1 5 0 , 25421807 × 10 −^1 0 , 6435297 × 10 −^3 0 , 6391903000 × 10 −^6 0 , 12738001 × 10 −^1 6 0 , 12683806 × 10 −^1 0 , 1605384 × 10 −^3 0 , 3217597800 × 10 −^6 0 , 63486104 × 10 −^2 7 0 , 63351956 × 10 −^2 0 , 400923 × 10 −^4 0 , 1632962450 × 10 −^6 0 , 31692707 × 10 −^2 8 0 , 31659249 × 10 −^2 0 , 100175 × 10 −^4 0 , 8412953000 × 10 −^7 0 , 15833343 × 10 −^2 9 0 , 15825906 × 10 −^2 0 , 25043 × 10 −^5 0 , 4455373550 × 10 −^7 0 , 79151589 × 10 −^3 10 0 , 79107471 × 10 −^3 0 , 6259 × 10 −^6 0 , 2476976950 × 10 −^7 0 , 39567932 × 10 −^3 11 0 , 39539539 × 10 −^3 0 , 1562 × 10 −^6 0 , 1489260250 × 10 −^7 0 , 19754334 × 10 −^3 12 0 , 19785205 × 10 −^3 0 , 396 × 10 −^7 0 , 9888616000 × 10 −^8 0 , 10007973 × 10 −^3 13 0 , 97772320 × 10 −^4 0 , 980 × 10 −^8 0 , 7382732500 × 10 −^8 0 , 50117670 × 10 −^4 14 0 , 47654650 × 10 −^4 0 , 210 × 10 −^8 0 , 6281042850 × 10 −^8 0 , 22033793 × 10 −^4 15 0 , 25620857 × 10 −^4 0 , 3 × 10 −^9 0 , 5988310550 × 10 −^8 0 , 58546460 × 10 −^5 16 0 , 19766211 × 10 −^4 0 , 2 × 10 −^9 0 , 5735352250 × 10 −^8 0 , 50591660 × 10 −^5 17 0 , 14707045 × 10 −^4 0 , 1 × 10 −^9 0 , 5565364850 × 10 −^8 0 , 33997480 × 10 −^5 18 0 , 11307297 × 10 −^4 0 , 1 × 10 −^9 0 , 5344267735 × 10 −^8 0 , 44219423 × 10 −^5 19 0 , 68853547 × 10 −^5 0 0 , 5344267735 × 10 −^8 0 , 68853547 × 10 −^5
Observar que la sucesión de errores relativos tiene un comportamiento lineal y no cua- drático. Esto es debido a que α = 0 es un cero doble de f , es decir f ′(0) = 0.
TEMA I: Ceros de funciones 5
Problema 2. Se considera la función f (x) =
x^2 − 2 x + 1 1 + x^2
(a) ¿Se puede calcular su cero con el Método de la Bisección?
(b) Calcular su mínimo aplicando el Método de Newton utilizando 4 iteraciones y tomando como primer iterante x^0 = 0, 0. ¿Es la convergencia cuadrática? ¿Por qué?
Solución: (a) Aunque f es continua, como f (x) =
(x − 1)^2 1 + x^2
≥ 0 , la función nunca cambia
de signo. Por tanto, no puede calcularse su raíz por el Método de la Bisección.
(b) Como f (x) ≥ 0 para cada x ∈ IR y f (1) = 0, es claro que α = 1 es el mínimo de f. No obstante aproximaremos este valor determinando el cero de f ′^ y para ello aplicaremos el algoritmo de Newton. Como pretendemos calcular un cero de f ′, tenemos también que calcular la expresión de la derivada segunda de f. Tenemos que
f ′(x) =
2(x^2 − 1) (1 + x^2 )^2
=⇒ f ′′(x) =
4 x(3 − x^2 ) (1 + x^2 )^3
Por tanto, el algoritmo de Newton se describe como
xk+1^ = xk^ −
f ′(xk) f ′′(xk)
= xk^ −
2
(xk^ )^2 − 1
1+(xk^ )^2
4 xk
3 −(xk^ )^2
1+(xk^ )^2
= xk^ −
(xk)^4 − 1
2 xk
3 − (xk)^2
Sin embargo no puede aplicarse el método de Newton partiendo de x^0 = 0, 0 pues f ′′(x^0 ) = 0.
Tomaremos otra aproximación inicial, cercana a la propuesta, concretamente x^0 = 0, 1. Su aplicación después de 4 iteraciones se resume en la siguiente tabla:
Iteración Aproximación tk^ rk 0 0 , 1 0 , 94356894 1 1 , 7720736 0 , 90958619 2 19 , 599589 0 , 33507636 3 29 , 476451 0 , 33410209 4 44 , 265721 0 , 33367385 66 , 432514
El método diverge claramente, debido a una mala elección de la aproximación inicial. Sin embargo, si consideramos una aproximación inicial más cercana al valor de la solución, por ejemplo x^0 = 0, 5 , obtenemos el siguiente resultado tras 4 iteraciones:
TEMA I: Ceros de funciones 7
lo que significa que α es un cero simple de f ′. Es, por tanto, razonable utilizar el Método de Newton para aproximar el valor de α ya que en estas circunstancias tendrá convergencia
cuadrática. Utilizaremos como aproximación inicial el valor x^0 =
= 0, 785. El error
relativo será el determinado por la expresión rk^ =
|xk^ − xk+1| |xk+1|
Nota: Como en el problema sólo se establece como criterio de convergencia el valor del error relativo, no estimaremos el valor |f (xk)|.
El algoritmo de Newton se describe como
xk+1^ = xk^ −
f ′(xk^ ) f ′′(xk)
= xk^ −
e−x
k ( cos(xk) − sin(xk)
− 2 e−xk^ cos(xk)
= xk^ +
cos(xk) − sin(xk) 2cos(xk)
Su aplicación se resume en la siguiente tabla:
Iteración Aproximación xk^ rk 0 0 , 78500000 0 , 50674944 × 10 −^3 1 0 , 78539800 0 , 20371833 × 10 −^6 0 , 78539816
Por tanto x^1 = 0, 785398 es una aproximación de
π 4
con, al menos, 6 dígitos significativos
correctos.
Problema 3(bis). El desplazamiento horizontal de una estructura, debido al viento, está determinada en función del tiempo t por la función f (t) = e−t^ sen(3t).
(a) Obtener la expresión de f ′^ y dibujar su gráfica en el intervalo [0, 3]
(b) Determinar numéricamente el instante α ∈ [0, 1] en el que el desplazamiento es máximo; es decir, el valor α ∈ [0, 1] tal que f ′(α) = 0, con un error relativo en t menor que 0 , 5 × 10 −^5.
Solución: (a) Claramente f ′(t) = e−t
3cos(3t) − sen(3t)
. La gráfica de esta función en el intervalo [0, 3] está descrita en la Figura 3
(b) Observar que f ′(t) = 0 ⇐⇒ sen(3t) = 3cos(3t) ⇐⇒ tg(3t) = 3 y por tanto si y sólo si t = arctg(^13 ) = 0,41634859 + nπ, n ∈ Z. De estos valores el único que se encuentra en el intervalo [0, 1] es α = 0, 41634859
8 Métodos de Bisección, Newton y Secante
Figura 3: Gráfica de e−t
3cos(3t) − sen(3t)
Como f ′′(t) = − 2 e−t
3cos(t) + 4 sen(3t)
, resulta que
f ′′(α) = − 2 e−α
3cos(α) + 4 sen(3α)
= − 10 e−α^ sen(3α) 6 = 0,
lo que significa que α es un cero simple de f ′. Es, por tanto, razonable utilizar el Método de Newton para aproximar el valor de α ya que en estas circunstancias tendrá convergencia cuadrática. Utilizaremos como aproximación inicial el valor x^0 = 0, 5. El error relativo será
el determinado por la expresión rk^ =
|xk^ − xk+1| |xk+1|
Nota: Como en el problema sólo se establece como criterio de convergencia el valor del error relativo, no estimaremos el valor |f (xk)|.
El algoritmo de Newton se describe como
xk+1^ = xk^ −
f ′(xk^ ) f ′′(xk)
= xk^ +
3cos(3xk) − sin(3xk)
3cos(3xk) + 4 sen(3xk)
Su aplicación se resume en la siguiente tabla:
Iteración Aproximación xk^ rk 0 0 , 50000000 0 , 22982279 × 100 1 0 , 40656264 0 , 23288212 × 10 −^1 2 0 , 41625651 0 , 22113682 × 10 −^3 3 0 , 41634858 0 , 24018335 × 10 −^7 0 , 41634859
Por tanto x^1 = 0, 41634858 es una aproximación de α con, al menos, 7 dígitos significativos correctos.
10 Métodos de Bisección, Newton y Secante
|P − c(α)| =
2 − cos(α)
3 − sen(α)
(c) La aplicación del algoritmo de Newton después de 4 iteraciones, pero partiendo de la aproximación inicial x^0 = 4 se resume en la siguiente tabla:
Iteración Aproximación tk^ rk 0 4 , 0000000 0 , 30310529 × 10 −^1 1 4 , 1250319 0 , 15650813 × 10 −^3 2 4 , 1243864 0 3 4 , 1243864 0 4 4 , 1243864 0 4 , 1243864
Por tanto, si α = 4, 1243864 , la distancia obtenida es
|P − c(α)| =
2 − cos(α)
3 − sen(α)
El valor obtenido corresponde a la distancia máxima de P a la circunferencia. Obser- var que es exactamente el valor de la mínima distancia más 2 que es el diámetro de la circunferencia, ver la siguiente figura:
Figura 4: Puntos de la circunferencia a mínima distancia (A) y máxima distancia (B) de P
Problema 5. Aplicar el algoritmo de Bisección para calcular la raíz de la función f (x) = x^3 − x + 1, partiendo de los puntos x^0 = − 2 , a = 0 y con una tolerancia T olx = T olf = 0, 5 × 10 −^4.
TEMA I: Ceros de funciones 11
Solución: Como f (0) = 1 6 = 0, si α es la raíz, necesariamente α 6 = 0 y el criterio de convergencia será
rk =
|xk^ − xk+1| |xk+1|
≤ T olx = 0, 5 × 10 −^4 y |f (xk)| ≤ T olf = 0, 5 × 10 −^4
Recordemos que el algoritmo de Bisección consiste en
- Inicialización: f (x^0 )f (a) < 0
- Obtención de la aproximación: xk+1^ =
xk^ + a 2
- Test de Convergencia: |f (xk)| ≤ T olf y rk^ ≤ T olx =⇒ Fin
- Actualización: f (xk+1)f (xk)| < 0 =⇒ a = xk^ =⇒ Continuar
Como f (x^0 ) = − 5 y f (a) = 1, f (x^0 )f (a) < 0 y el algoritmo puede comenzar. Clara- mente |f (x^0 )| > T olf , de manera que hemos de seguir iterando.
Iteración Extremo a Aproximación xk^ f (xk) rk 0 0 , 0000000 − 2 , 0000000 − 5 , 000 × 100 1 , 000 × 100 1 − 2 , 0000000 − 1 , 0000000 1 , 000 × 100 0 , 333 × 100 2 − 1 , 0000000 − 1 , 5000000 − 0 , 875 × 100 0 , 222 × 100 3 − 1 , 5000000 − 1 , 2500000 0 , 297 × 100 0 , 909 × 10 −^1 4 − 1 , 2500000 − 1 , 3750000 − 0 , 225 × 100 0 , 476 × 10 −^1 5 − 1 , 3750000 − 1 , 3125000 0 , 515 × 10 −^1 0 , 233 × 10 −^1 6 − 1 , 3125000 − 1 , 3437500 − 0 , 826 × 10 −^1 0 , 118 × 10 −^1 7 − 1 , 3125000 − 1 , 3281250 − 0 , 146 × 10 −^1 0 , 592 × 10 −^2 8 − 1 , 3281250 − 1 , 3203125 0 , 187 × 10 −^1 0 , 295 × 10 −^2 9 − 1 , 3281250 − 1 , 3242187 0 , 213 × 10 −^2 0 , 147 × 10 −^2 10 − 1 , 3242187 − 1 , 3261718 − 0 , 621 × 10 −^2 0 , 737 × 10 −^3 11 − 1 , 3242187 − 1 , 3251952 − 0 , 204 × 10 −^2 0 , 369 × 10 −^3 12 − 1 , 3251952 − 1 , 3247069 0 , 471 × 10 −^4 0 , 184 × 10 −^3 13 − 1 , 3247069 − 1 , 3249510 − 0 , 994 × 10 −^3 0 , 922 × 10 −^4 14 − 1 , 3247069 − 1 , 3248289 − 0 , 473 × 10 −^3 0 , 460 × 10 −^4 15 − 1 , 3247069 − 1 , 3247679 − 0 , 213 × 10 −^3 0 , 230 × 10 −^4 16 − 1 , 3247069 − 1 , 3247374 − 0 , 829 × 10 −^4 0 , 115 × 10 −^4 17 − 1 , 3247069 − 1 , 3247221 − 0 , 177 × 10 −^4 0 , 574 × 10 −^5 − 1 , 3247145
En resumen, x^16 = − 1 , 3247221 es una aproximación del cero de f (x) = x^3 − x + 1 con al menos 4 dígitos significativos correctos. De hecho como α ∈ (− 1 , 3247221 , − 1 ,3247069), resulta que x^16 tiene 5 dígitos significativos correctos.
TEMA I: Ceros de funciones 13
la raíz, lo que está motivado por una mala elección del valor inicial. Este problema muestra como podemos utilizar un método lento como el de la bisección para conseguir una buena aproximación inicial al método de Newton.
Problema 7. En aritmética exacta, al calcular el número e utilizando la serie de Taylor (e =
k=
1 k! ), el error relativo^ rt^ cometido disminuye al aumentar el número^ n
de términos utilizados (e ≃
∑n k=
1 k! ). De manera aproximada, se puede describir este hecho como |rt| = 2−^ 10 n
. Al realizar los cálculos con un ordenador, se observa que el error debido a la propagación de errores aumenta con el número de términos empleados según la función |rp| = 100 n. Calcular el número óptimo de términos; es decir, aquél que minimiza la suma |rt| + |rp|. Utilizar el algoritmo de Newton con 5 iteraciones y n^0 = 0.
Solución: Utilizando una variable continua, la función a minimizar es
f (x) = 2−^
x (^10) + x 100
, x ≥ IR.
Para minimizar f , hemos de calcular sus puntos críticos, es decir los puntos en los que su derivada se anula. Por tanto, el problema consiste en determinar los ceros de f ′. Por otra parte, para utilizar el algoritmo de Newton para determinar tal cero, hemos de conocer la derivada de la función de la que se desea calcular el cero, en este caso f ′. Por tanto, hemos de determinar también f ′′. Como
f ′(x) =
ln 2 10
2 −^
10 x =⇒ f ′′(x) =
( ln 2)^2 100
2 −^
10 x
Nota: Como f ′′(x) > 0 para cada x ∈ IR, resulta que f ′^ es estrictamente creciente y por tanto, tiene a lo sumo un cero α ∈ IR, que necesariamente es simple, ya que f ′′^ es estrictamente positiva. Además, si f ′(α) = 0, necesariamente f ′(x) < 0 si x < α, mientras que f ′(x) > 0 si x > α, lo que determina que α es un mínimo de f. Finalmente como
ln 2 = 0, 69314718 , resulta que f ′(0) =
ln 2 10
< 0 y como l´ım x→∞ f ′(x) =
, resulta
que f ′^ se anula al menos una vez en [0, +∞) (de hecho como f ′(30) = 0, 13356602 × 10 −^2 > 0 , aplicando el Teorema de Bolzano, f ′^ se anula en [0, 30]).
El algoritmo de Newton para f ′(x) =
ln 2 10
2 −^
x (^10) se describe como
xk+1^ = xk^ −
f ′(xk) f ′′(xk)
= xk^ −
1 100 −^
ln 2 10 2
− x 10 k ( ln 2)^2 100 2
− x 10 k
= xk^ −
x 10 k − 10( ln 2) ( ln 2)^2
14 Métodos de Bisección, Newton y Secante
Su aplicación después de 5 iteraciones es:
Iteración Aproximación xk^ rk 0 0 , 0000000 0 , 10000000 × 101 1 12 , 345581 0 , 43562741 × 100 2 21 , 874877 0 , 18441084 × 101 3 26 , 820951 0 , 38328873 × 10 −^1 4 27 , 889941 0 , 14899277 × 10 −^2 5 27 , 931557 0 , 21481033 × 10 −^5 27 , 931617
Por tanto, el mínimo de f es α = 27, 931557 con 5 dígitos significativos correctos. Así pues, el número óptimo de sumandos será o bien n = 27 o bien n = 28. Como f (27) = 0, 42389305 y f (28) = 0, 42358729 , resulta que f (27) > f (28) con lo que concluímos que
n = 28 es el número óptimo de sumandos
Problema 8. Determinar cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas: El Método de Newton,
(a) Destaca por su velocidad para cualquier valor inicial.
(b) No necesita aproximación inicial.
(c) Mejora la robusted del método de la bisección.
(d) Es sensible a la aproximación inicial.
Solución: La única afirmación cierta es la (d)
Problema 9. Para comparar la evolución de los errores relativos de las 5 primeras iteraciones al calcular la raíz de la función f (x) = 2 − x^3 , utilizar:
(a) El Método de Newton con x^0 = 1.
(b) El Método de la Bisección con x^0 = 1 y a^0 = 2.
(c) El Método de la Secante con x^0 = 1 y x^1 = 2.
Representar en un gráfico los logaritmos de los valores absolutos de los errores relativos rk^ =
|xk^ − xk+1| |xk+1|
para cada iteración.
16 Métodos de Bisección, Newton y Secante
Iteración Aproximación xk^ rk 0 2 , 0000000 0 , 75000006 × 100 1 1 , 1428571 0 , 55238115 × 10 −^1 2 1 , 2096774 0 , 43762383 × 10 −^1 3 1 , 2650385 0 , 42283474 × 10 −^2 4 1 , 2597120 0 , 16524856 × 10 −^3 5 1 , 2599202 0 , 63496045 × 10 −^6 1 , 2599210
El siguiente gráfico muestra la comparación del logaritmo (neperiano) del error relativo en cada uno de los métodos empleados.
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Ϭ( ϭ( Ϯ( ϯ( ϰ( ϱ(
./0122/34( 5126471( 8197:4(
Figura 5: Gráfica de ln rk
