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Este conjunto se denota por {x, y} y se llama doubleton. Tenga en cuenta que {y, x} = {x, y}. es el conjunto El conjunto sin elementos se llama conjunto vacío y se denota por . Para cualquier objeto x, existe un conjunto A cuyo único miembro es x. Este conjunto se denota por {x} y se llama singleton. Para dos objetos cualesquiera x, y, existe un conjunto B cuyos únicos miembros son x e y. Se dice que los conjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = . La diferencia establecida de B de A A ∩ B := {x A : x B}. x A x B. Sean A y B conjuntos. La intersección de A y B es el conjunto. Sean A y B conjuntos. Decimos que A y B son iguales si constan de los mismos elementos; eso es, Llamamos a C la unión de A y B, y escribimos C = A B. Si x no pertenece a A, escribimos x / A. Por tanto, un conjunto está determinado por sus elementos. B = {x A : P(x)}. Sea A un conjunto. Una condición (unaria) P sobre los elementos de A es definida si para cada elemento x de A, se determina inequívocamente si P(x) es verdadera o falsa. Para cada conjunto A y cada condición definida P sobre los elementos de A, existe un conjunto B cuyos elementos son aquellos elementos x de A para los cuales P(x) es verdadera. Nosotros escribimos Se considera que un conjunto es una colección de objetos (elementos). Si A es un conjunto y x es un elemento del conjunto A, decimos que x es miembro de A o x pertenece a A, y escribimos x A. x C x A o x B. Sean A y B conjuntos. Existe un conjunto C tal que §1. Conjuntos Si A B y A = B, entonces A es un subconjunto propio de B y se escribe como A B. De la definición se deduce inmediatamente que A y B son iguales si y sólo si A B y B A. Por tanto, todo conjunto es un subconjunto de sí mismo. Además, el conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto. Capítulo 1. Conjuntos y asignaciones El conjunto A \ B también se llama complemento de B con respecto a A. Sean A y B conjuntos. El conjunto A se llama subconjunto de B si cada elemento de A es también un elemento de B. Si A es un subconjunto de B, escribimos A B. Además, si A es un subconjunto de B, también decimos que B incluye A, y escribimos B A. A \ B := {x A : x / B}.
en ambos casos, x A y x B C. Por tanto, x A ∩ (B C). Para cada conjunto A, existe un conjunto B cuyos miembros son subconjuntos de A. Llamamos a B el Por el contrario, supongamos x (A ∩ B) (A ∩ C). Entonces x A ∩ B o x A ∩ C. En llamado producto cartesiano de A y B, y se denota por A × B. Sean A y B conjuntos. El conjunto de todos los pares ordenados (a, b), donde a A y b B, es Entonces x A y x B C. Como x B C, ya sea x B o x C. En consecuencia, ya sea x A ∩ B o x A ∩ C, es decir, x (A ∩ B) (A∩C). Prueba. Probaremos únicamente A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C). Supongamos que x A ∩ (B C). (3) Su prueba es similar a la prueba de (2).
(4) A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C); A (B ∩ C) = (A B) ∩ (A C).
(2) Supongamos que x X \ (A B). Entonces x X y x / A B. Se deduce que x / A y x / B. Por lo tanto, x X \ A y x X \ B, es decir, x (X \ A) ∩ (X\B). Por el contrario, supongamos x (X
A) ∩ (X \ B). Entonces x X \ A y x X \ B. Se deduce que x X, x / A y x / B. Por lo tanto, x / A B, y por lo tanto x X \ (A B). Prueba. (1) Si x X \ (X \ A), entonces x X y x / X \ A. Se deduce que x A. Por lo tanto, x X ∩ A. Por el contrario, si x X ∩ A, entonces x X y x / X \ A. Por lo tanto, x X \ (X \ A).
(3) (A B) C = A (B C); (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).
Se dice que dos aplicaciones f : X → Y y g : A → B son iguales, escritas f = g, si X = A, Y = B y f(x) = g(x) para todo x X. Por mapeo f de un conjunto X a un conjunto Y nos referimos a una regla específica que asigna a cada elemento x de X un elemento único y de Y. El elemento y se llama imagen de x bajo f y se denota por f(x). El conjunto X se llama dominio de f. El rango de f es el conjunto {y Y : y = f(x) para algún x X}.
(2) A B = B A; A ∩ B = B ∩ A.
(3) X \ (A ∩ B) = (X \ A) (X \ B).
(2) X \ (A B) = (X \ A) ∩ (X \ B).
Teorema 1.1. Sean A, B y C conjuntos. Entonces (1) A A = A; A ∩ A = A. §2. Mapeos Teorema 1.2. (Reglas de DeMorgan) Sean conjuntos A, B y X. Entonces (1) X \ (X \ A) = X ∩ A. conjunto potencia de A y escriba B = P(A). Tenga en cuenta que P( ) es el singleton { }.
− − − − − − (∩i IBi). − −1 − − − − (Bi). (Bi). Por el contrario, si x ∩i I f (2) Si (Bi)i I es una familia de subconjuntos de Y (bi) para i IBi = i I f (2) B ∩ ( i IAi) = i I (B ∩ Ai). (∩i IBi), entonces Teorema 2.3. Sean (Ai)i I y (Bi)i I dos familias de conjuntos indexados por el mismo conjunto I. Se dice que los conjuntos Ai (i I) son mutuamente disjuntos si Ai ∩ Aj = siempre que i, j I e i = j. f i IAi = i I f(Ai) y f ∩i IAi ∩i I f(Ai). (∩i IBi) = ∩i I f Por el contrario, si x i I (B ∩ Ai), entonces x B ∩ Ai para algún i I. Se deduce que x B y x i IAi. En consecuencia, x B ∩ ( i IAi). f(x) ∩i IBi. Se deduce que f(x) Bi para todo i I. Por tanto, x f En la relación f(A1 ∩ A2) f(A1) ∩ f(A2), no es necesario que se cumpla la igualdad. Por ejemplo, sea f la aplicación de un doubleton {a, b} a un singleton {y} dada por f(a) = y y f(b) = y. Entonces f({a} ∩ {b}) = pero f({a}) ∩ f({b}) = {y}. (4) B\ (∩i IAi) = i I (B\ Ai). , Prueba. (1) Probaremos f( i IAi) = i I f(Ai) únicamente. Si y f( i IAi), entonces y = f(x) para algún x i IAi. Por lo tanto, x Ai para algún i I. En consecuencia, y = f(x) f(Ai) para este i. Se deduce que y i I f(Ai). Por el contrario, si y i I f(Ai), entonces y f(Ai) para algún i I. Por lo tanto, y = f(x) para algún x Ai. Entonces x i IAi y y = f(x) f( i IAi). Teorema 2.1. Sea (Ai)i I una familia de conjuntos y sea B un conjunto. Entonces (1) B (∩i IAi) = ∩i I (B Ai). entonces F (Bi) sólo. Si x f (Bi), entonces x f (1) Si (Ai)i I es una familia de subconjuntos de X, entonces Supongamos que (fi)i I es una familia de aplicaciones tales que fi asigna Ai a Bi para cada i I. Si Prueba. Probaremos únicamente (2). Si x B ∩ ( i IAi), entonces x B y x i IAi. Esto último implica x Ai para algún i I. Por lo tanto, x B ∩ Ai para este i. Por tanto, x i I (B ∩ Ai). (2) Probaremos f (Bi) para todo i I. Teorema 2.2. Sea f una aplicación de un conjunto X a un conjunto Y. ∩i IBi = ∩i I f En consecuencia, x ∩i I f todo i I. Por lo tanto, f(x) Bi para todo i I. En consecuencia, f(x) ∩i IBi y por lo tanto x f (3) B\ ( i IAi) = ∩i I (B\ Ai). (Bi) yf
m 0 := m y m n := m n + m. El último axioma se llama axioma de inducción o primer principio de inducción. satisfaciendo los siguientes axiomas (de Peano):
- Hay un elemento 0 IN0; 2. Para cada n IN0, σ(n) = 0; 3. El mapeo σ : IN0 → IN0 es inyectivo; 4. Para cada subconjunto X de IN0, si 0 X, y si n X implica σ(n) X, entonces X = IN0. m + 0 := m y m + n := (m + n). Existe un conjunto IN0, llamado conjunto de los números naturales y una aplicación σ : IN0 → IN0, Sean m, n IN0. La suma m + n está definida por la recursividad: Teorema 3.2. Supongamos que (IN0, 0, σ) satisface los axiomas de Peano. Sea E un conjunto, a E, y h : E → E una aplicación. Entonces hay exactamente una aplicación de IN0 a E tal que f(0) = a y f(σ(n)) = h(f(n)) para cada n IN0. §3. Los números naturales Sea f la aplicación de A a B dada por f(x) = y para x A, donde y es el elemento único en B tal que (x, y) G. Entonces f|Ai = fi para cada i I. La singularidad de tal mapeo es obvia. 1 = 2, 2 = 3, 3 = 4, etc. El siguiente teorema de recursividad es un resultado fundamental de la teoría axiomática de números. Sea G := i IGi A × B. Supongamos x A. Entonces x Ai para alguna i. Se deduce que (x, fi(x)) Gi G. Además, si (x, y) y (x, y ) están en G, entonces (x, y) Gi para algunos i I y (x , y ) Gj para algún j I. En consecuencia, x Ai ∩ Aj y y = fi(x) = fj (x) = y. Prueba. Para cada i I, sea Gi := {(x, y) Ai × Bi : y = fi(x)} la gráfica de fi. A menudo denotamos σ(n) por n y pensamos en n como el sucesor de n. Escribimos 0 = 1, fi(x) = fj (x) siempre que i, j I y x Ai ∩ Aj , entonces existe un mapeo único de A := i IAi a B := i IBi tal que f|Ai = fi para cada i I. Teorema 3.1. Sea P una condición definida sobre los elementos de IN0 tal que P(0) sea verdadera y que P(n) sea verdadera implica que P(n ) también es verdadera. Entonces P(n) es verdadera para todo n IN0. Se puede reformular de la siguiente manera: Llamamos m + n a la suma de my n. La multiplicación m n también está definida por la recursividad:
Una operación binaria en un conjunto S se dice asociativa si (x y) z = x (y z) para todo x, y, z S. Se dice que una operación binaria en un conjunto S ser conmutativo si x y = y x para todo x, y S. Si A y B son subconjuntos de un conjunto X, entonces A B y A ∩ B también son subconjuntos de X. Por tanto, la unión y la intersección son operaciones binarias en el conjunto P(X). La suma y la multiplicación en el conjunto IN0 son ejemplos familiares de operaciones binarias. Usamos IN para indicar el conjunto IN0 \ {0}. Para cada n IN, introducimos un nuevo símbolo denotado por −n. Identificamos −0 con 0. Sea ZZ el conjunto formado por todos los elementos de Por tanto, es deseable extender (IN0, +) a un grupo abeliano. Una aplicación : S × S → S se llama operación binaria en el conjunto S. Las operaciones binarias generalmente se representan mediante símbolos como , , +, ◦. Además, la imagen de (x, y) bajo una operación binaria se escribe x y. §4. Enteros Un conjunto G con una operación asociativa binaria se llama grupo si la operación tiene un elemento identidad e y cada elemento x en G tiene una inversa (hay un elemento y G tal que x y = y x = e). Si, además, la operación es conmutativa, entonces (G, ) se llama grupo abeliano. Para un grupo abeliano, el símbolo + se utiliza a menudo para indicar la operación, y el elemento identidad se indica con 0. Para el monoide conmutativo (IN0, +), si n IN0 \ {0}, entonces n no tiene inverso en IN0. Si m IN0 y m < n, entonces m / X y, por tanto, P(m) es verdadera. Según el supuesto, P(n) también es cierto. Esta contradicción muestra que X está vacío. En otras palabras, P(n) es verdadera para todo n IN0. Prueba. Sea X el conjunto de los elementos x en IN0 tales que P(x) es falso. Basta demostrar que X está vacío. Si X no está vacío, entonces X es el elemento mínimo n, según el teorema 3.3. Por ejemplo, (IN0, +) es un monoide conmutativo con 0 como elemento de identidad, y (IN0, ) es un monoide conmutativo con 1 como elemento de identidad. Teorema 3.4. Sea P una condición definida sobre los elementos de IN0. Si P(n) es verdadera para cada n IN0 siempre que P(m) sea verdadera para todo m < n, entonces P(n) es verdadera para todo n IN0. Un semigrupo es un conjunto S no vacío con una operación asociativa en S. Un semigrupo con un elemento identidad se llama monoide. Un semigrupo o un monoide es conmutativo cuando su operación es conmutativa. Sea una operación binaria en un conjunto S. Si e es un elemento de S tal que e x = x e = x para todo x S, entonces e se llama elemento identidad para la operación binaria . Un elemento de identidad, si existe, es único.
- Para x, y ZZ, ya sea x ≤ y o y ≤ x. (−m)n := n(−m) := −(mn) y (−m)(−n) := mn. antes. Para todo x ZZ, definimos x0 = 0x = 0. Sean m, n IN. Definimos Claramente, (ZZ, +, ) es un dominio integral. A continuación definimos la multiplicación en ZZ. Si x, y IN0, usamos la misma multiplicación que Un anillo R se llama dominio integral si xy = 0 para x, y R implica x = 0 o y = 0. Un anillo con identidad es un anillo cuyo semigrupo multiplicativo (R, ) tiene un elemento identidad. Se dice que un anillo es conmutativo si su multiplicación es conmutativa. Se verifica fácilmente que (ZZ, +, ) es un anillo conmutativo con 1 como elemento identidad. Entonces es rutinario verificar que (ZZ, +) es un grupo abeliano. (−m) + (−n) := −(m + n). (2) (R, ) es un semigrupo; (3) la multiplicación es distributiva: x(y + z) = xy + xz y (y + z)x = yx + zx para todos x, y, z R. Una relación en un conjunto A es un subconjunto R del producto cartesiano A × A. Si (x, y) R, entonces se dice que x está en relación R con y, escrito xRy. definir m + (−n) := (−n) + m := k, (−m) + n := n + (−m) := −k (1) (R, +) es un grupo abeliano; §5. Relaciones IN0 y todos los símbolos −n para n IN. La suma + en ZZ se define de la siguiente manera. Supongamos x, y ZZ. Si tanto x como y son elementos de IN0, usamos la misma suma que antes. Para todo x ZZ, definimos x + 0 = 0 + x = x. Sea m, n EN. Si m = n + k para algún k IN0, tenemos en R, una suma + y una multiplicación , tales que Si x, y ZZ y x ≤ y, entonces x + z ≤ y + z para todo z ZZ. Además, xz ≤ yz para todo z ≥ 0. Un anillo es un triple ordenado (R, +, ) de un conjunto no vacío R y dos operaciones binarias Sean x, y ZZ. Si existe algún k IN0 tal que y = x + k, entonces escribimos x ≤ y o y ≥ x. Si x ≤ y y x = y, escribimos x < y o y > x. Se pueden establecer fácilmente las siguientes propiedades: 1. x ≤ x para todo x ZZ; 2. Para x, y, z ZZ, si x ≤ y y y ≤ z, entonces x ≤ z; 3. Para x, y ZZ, si x ≤ y y y ≤ x, entonces x = y.
Sea ≤ un orden lineal en un conjunto no vacío X. Si cada subconjunto no vacío de X tiene un elemento mínimo, entonces se dice que X está bien ordenado por ≤, o (X, ≤) tiene la propiedad de buen ordenamiento. §6. Conjuntos contables límite inferior. Dos conjuntos A y B se llaman equinumerosos, y escribimos A B, si existe una aplicación biyectiva de A a B. Supongamos que ≤ es un ordenamiento parcial en un conjunto X no vacío. Sea A un subconjunto de X. Sea A un subconjunto no vacío de ZZ. Si A está acotado arriba, entonces A tiene el elemento mayor. Si A está acotado por debajo, entonces A tiene el menor elemento. En consecuencia, el conjunto ZZ con su orden natural tiene la propiedad de límite superior mínimo y la propiedad de límite inferior máximo. Decimos que A está acotado arriba si existe un elemento b de X tal que x ≤ b para todo x A; el elemento b se llama límite superior de A. De manera similar, decimos que A está acotado por debajo si hay un elemento a de X tal que a ≤ x para todo x A; el elemento a se llama límite inferior de A. Si A está acotado por arriba y por abajo, entonces se dice que A está acotado. Si b A y no hay x A tal que x > b, entonces b se llama elemento máximo o maximal de A. Si a A y no hay x A tal que x < a, entonces a es llamado mínimo o elemento mínimo de A. Los elementos máximos (mínimos) pueden existir o no, y no necesitan ser únicos. Si b A y b ≥ x para todo x A, entonces b se llama el elemento mayor de A. Si b es el elemento mayor de A, entonces b es el máximo único de A y escribimos b = max A. Si a A y a ≤ x para todo x A, entonces a se llama el elemento mínimo de A. Si a es el elemento mínimo de A, entonces a es el mínimo único de A y escribimos a = min A. Para n IN, sea Jn el conjunto {1,... , n} := {m EN : 1 ≤ m ≤ n}. Se dice que un conjunto S es finito si S = o si existe algún n IN y una biyección f : S → Jn. Si un conjunto no es propiedad. Por ejemplo, IN0 está bien ordenado por su orden natural. Pero ZZ no está bien ordenado por su orden natural. Si el conjunto de todos los límites superiores de A tiene el menor elemento, ese elemento se llama límite superior mínimo o supremo de A. Se denota por sup A. De manera similar, si el conjunto de todos los límites inferiores de A tiene el elemento mayor , ese elemento se llama límite inferior mayor o límite inferior de A. Se denota por inf A. Se dice que el conjunto X tiene la propiedad de límite superior mínimo si cada subconjunto no vacío de X que está acotado arriba tiene un límite superior mínimo. De manera análoga, se dice que el conjunto X tiene la propiedad de límite inferior mayor si cada subconjunto no vacío de X que está acotado por debajo tiene un límite inferior mayor
(b) Para n = 1, si f es una aplicación de J1 a J1, entonces tenemos f(J1) = J1. Por tanto, el enunciado (b) es verdadero para S = J1. Supongamos que es cierto para S = Jn. Deseamos demostrar que la afirmación es verdadera para S = Jn+1. Sea f una aplicación inyectiva de Jn+1 a Jn+1. Si f(n + 1) = n + 1, entonces f|Jn es una aplicación inyectiva de Jn a Jn. En consecuencia, f(Jn) = Jn y f(Jn+1) = Jn+1. De lo contrario, f(n + 1) = k = n + 1. Sea h := g ◦ f, donde g es la aplicación de Jn+1 a Jn+1 dada por g(m) = m para m Jn+1 \ {k, n + 1}, g(k) = n + 1, y g(n + 1) = k. Claramente, g es biyectivo, h es inyectivo y h(n + 1) = n + 1. Si S es un conjunto finito no vacío, entonces S Jn para algún n IN. Según el teorema anterior, el número n está determinado únicamente por S. Llamamos a n el número cardinal de S y decimos que S tiene n elementos. El número cardinal del conjunto vacío es 0. Usamos #S para denotar el número cardinal de S. Prueba. Las afirmaciones (a) y (b) son verdaderas si S es el conjunto vacío. Si S es un conjunto finito no vacío, entonces S Jn para algún n IN. Por tanto, basta probar (a) y (b) para S = Jn. Esto se hará por inducción en n. Según el teorema 6.1, no existe una aplicación inyectiva de un subconjunto finito a su subconjunto propio. finito, se dice que es infinito. (a) Para n = 1, J1 tiene sólo dos subconjuntos: el conjunto vacío y J1 mismo. Por tanto, el enunciado (a) es verdadero para S = J1. Supongamos que es cierto para S = Jn. Sea A un subconjunto no vacío de Jn+1 y sea B := A \ {n + 1}. Si B = , entonces A = {n + 1} y la aplicación g : n + 1 → 1 es una biyección de A a J1. Si B no está vacío, entonces existe una biyección f de B a Jk para algún k Jn. Si n + 1 / A, entonces A = B y listo. De lo contrario, sea g la aplicación de A a Jk+1 dada por g(m) = f(m) para m B y g(n + 1) = k + 1. Se dice que un conjunto S es numerable si existe una biyección f : S → IN. Si un conjunto es finito o numerable se llama contable. Si un conjunto no es contable, es incontable. El mapeo f de IN a IN dado por f(n) = n + 1 para n IN es inyectivo. Pero f(IN) es un subconjunto propio de IN. Por tanto, IN es un conjunto infinito. Por tanto, g es una aplicación biyectiva de A a Jk+1. Esto completa el procedimiento de inducción. Por lo demostrado, h es sobreyectivo. Por tanto, f también es sobreyectiva. Esto completa el procedimiento de inducción. Teorema 6.2. Un subconjunto de IN es acotado si y sólo si es finito. Un subconjunto de IN es ilimitado si y sólo si es numerable. En consecuencia, cada subconjunto de IN es contable. Teorema 6.1. Sea S un conjunto finito. Entonces las siguientes afirmaciones son verdaderas: (a) Todo subconjunto de S es finito. (b) Si f es una aplicación inyectiva de S a S, entonces f(S) = S.
Como no existe un mapeo sobreyectivo de IN a P(IN), P(IN) es incontable, por h(m, n) = fg(m) (n), (m, n) EN × EN. Dado que I es contable, existe una aplicación sobreyectiva g de IN a I. Además, para cada i I, dado que Ai es contable, existe una aplicación sobreyectiva fi de IN a Ai. Sea h el mapeo de IN × IN a A := i IAi dado por Si a A, entonces a / f(a); por lo tanto f(a) = A. Si a X \ A, entonces a f(a); por tanto f(a) = A. Prueba. Sea (Ai)i I una familia de conjuntos contables indexados por un conjunto contable I. El caso I = es trivial; entonces supongamos que I = . Sin pérdida de generalidad, también suponemos que Ai = para todo i I. A := {x X : x / f(x)}. Teorema 6.4. Una unión contable de conjuntos contables es contable. Prueba. Supongamos que f es una aplicación de X a P(X). Dejar Entonces g es una biyección. En consecuencia, IN × IN es numerable. Teorema 6.5. Sea X un conjunto. Entonces cualquier aplicación f de X a P(X) no es sobreyectiva. resultado general. (m + n − 2)(m + n − 1) g(m, n) = m + , (m, n) EN × EN. 2 Sea g la aplicación de IN × IN a IN dada por El conjunto de potencia P(IN) es incontable. Este hecho es consecuencia de lo siguiente más Entonces f es una biyección. El principio contable de elección se ha utilizado en la demostración del teorema anterior. Teorema 6.3. Entonces h es un mapeo sobreyectivo. Pero existe una biyección de IN a IN × IN. Por tanto, existe una aplicación sobreyectiva de IN a A. Según el teorema 6.3, A es contable. Por lo tanto, A = f(a) para todo a X. Esto demuestra que f no es sobreyectiva.
