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Resumen 1
Conjuntos num´ericos y sus propiedades
1. Propiedades de los Reales
Recordemos las propiedades b´asicas de los reales.
- Clausura: significa que si operamos dos elementos del conjunto, el resultado sigue estando en el conjunto. Esto lo cumplen los reales tanto con la suma como el producto.
a, b ∈ R ⇒ a + b ∈ R a, b ∈ R ⇒ a · b ∈ R
- Asociatividad: significa que dados tres elementos podemos operar los dos primeros y luego operamos el que sigue, u operar los dos ´ultimos y luego el primero. Lo anterior lo cumplen los reales tanto con la suma como el producto.
a, b, c ∈ R ⇒ (a + b) + c = a + (b + c) a, b, c ∈ R ⇒ (a · b) · c = a · (b · c)
- Conmutatividad: significa que podemos invertir el orden de los operandos y el resultado ser´a el mismo. Esto lo cumplen los reales tanto con la suma como el producto.
a, b ∈ R ⇒ a + b = b + a a, b ∈ R ⇒ a · b = b · a
- Distributividad:
a, b, c ∈ R ⇒ a · (b + c) = a · b + a · c
- Elemento neutro: son aquellos elementos en el conjunto que al operarlos no generan cambio al otro operando. En el caso de los reales, el elemento neutro de la suma es el 0 y el del producto es el 1:
∃ 0 ∈ R tal que a + 0 = a ∃ 1 ∈ R tal que a · 1 = a
- Elemento inverso: son los elementos del conjunto que al ser operados con el operando da como resultado el elemento neutro de la operaci´on en cuesti´on. En el caso de los reales, el elemento inverso de la suma de un operando es el operando, pero con distinto signo. Mientras que para el producto, el elemento inverso de un operando es el reciproco.
∀a ∈ R ∃(−a) ∈ R tal que a + (−a) = 0
∀a ∈ R ∃
a
∈ R tal que a ·
a
2. Conjuntos num´ericos
Veremos los 4 primeros conjuntos num´ericos que, desde los m´as b´asicos son:
- Naturales (N): Es el conjunto m´as b´asico, obedece b´asicamente las siguientes reglas, el 1 es el primer natural, si n es un natural entonces n + 1 tambi´en lo es, esto nos lleva al siguiente conjunto infinito:
N = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...}
- Cardinales (N 0 ): Es el conjunto formado por los naturales y adicionando al 0:
N 0 = { 0 } ∪ N = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...}
- Enteros (Z): Es el conjunto formado por los inversos aditivos de los naturales y los cardinales:
Z = {− 1 , − 2 , − 3 , − 4 , − 5 , − 6 , ...} ∪ N 0 = {... − 6 , − 5 , − 4 , − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , ...}
- Racionales (Q): Es el conjunto formado por todos los cuocientes o divisiones de enteros, excluyendo la divisi´on por cero:
Q =
p q
: p ∈ Z, q ∈ Z − { 0 }
Todos los conjuntos anteriores cumplen las 4 primeras propiedades de los reales, pero con la 5 y la 6 hay problemas. De hecho los naturales est´a neutro multiplicativo, pero no el neutro aditivo, pues el 0 no est´a en los naturales; por otro lado, en los naturales no est´an sus inversos aditivos, ya que no tiene negativos, y asi mismo, no tiene los inversos multiplicativos, pues no tiene fracciones. Si hacemos este an´alisis a todos los conjuntos num´ericos nos daremos cuenta que cada uno va siendo m´as completo:
Neutro Neutro Inverso Inverso Aditivo Multiplicativo Aditivo Multiplicativo N %! % % N 0!! % % Z!!! % Q!!!!
Con esto nos damos cuenta que los racionales cumpliran las mismas propiedades que los reales, esta estructura se llama Cuerpo, y son las estructuras b´asicas que permiten que podamos resolver ecuaciones de primer grado.
3. Prioridad de operaciones
Las prioridades de operaciones en los conjuntos est´an dados por el siguiente orden:
- parentes´ıs
- funciones
- potencias y raices
- multiplicaci´on y divisi´on, de izquierda a derecha.
4.1. Reglas de divisibilidad
- Divisibles por 2: Es divisible por 2 todo n´umero cuyo ´ultimo d´ıgito sea 0,2,4,6 u 8. Ejemplo: 36 es divisible por 2, ya que termina en 6.
- Divisibles por 3: Es divisible por 3 todo n´umero cuya suma final de d´ıgitos sea 3, 6 o 9. Ejemplo: 888 es divisible por 3, ya 8 + 8 + 8 = 24 y luego 2 + 4 = 6, por lo que la suma final de sus d´ıgitos es
- Divisibles por 5: Es divisible por 5 todo n´umero cuyo ´ultimo d´ıgito sea 0 o 5. Ejemplo: 410 es divisible por 5, ya que termina en 0.
- Divisibles por 9: Es divisible por 9 todo n´umero cuya suma final de d´ıgitos sea 9. Ejemplo: 828 es divisible por 9, ya 8 + 2 + 8 = 18 y luego 1 + 8 = 9, por lo que la suma final de sus d´ıgitos es
Si queremos saber si un n´umero es divisible por 6, este debe ser divisible por 2 y por 3, por lo que debe cumplir ambas reglas, esto se aplica para los divisibles por 10, 15, 18 y 45. Si queremos saber si un numero es divisible por 4, basta con verificar si es divisible por 2, luego dividirlo por 2 y luego verificar si su resultado es divisible por 2 nuevamente.
4.2. Encontrar los divisores de un n´umero
Para encontrar todos los divisores de un n´umero utilizaremos una proposici´on muy interesante de teor´ıa de n´umeros, esta dice que:
Proposici´on: Si un entero n se puede escribir como un producto de enteros p·q donde p ≤ q, entonces p ≤
n.
Lo anterior quiere decir que sin importar el entero n, si lo podemos escribir como producto de otros dos enteros, el menor de los enteros ser´a menor o igual que la raiz de n.
Ejemplo: 36 se puede escribir mediante los siguientes productos y todos cumplen la condici´on anterior:
36 = 1 · 36 , 1 ≤
Entonces nuestro m´etodo para encontrar los divisores de un n´umero ser´a buscar todos los divisores menores a raiz de n, y los dem´as los obtendremos mediante la divisi´on por estos divisores.
Ejemplo: Encontrar todos los divisores de 315:
Calculamos la raiz de 315: √ 315 ≈ 17 As´ı que verificamos si es divisible por n´umeros hasta el 17, obviamente es divisible por 1 y por 315. Dado que no es par no es divisible por 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 ni 16. Es divisible por 3 y por 5, y por lo tanto tambi´en por 15, adem´as es divisible por 9. Nos restar´ıa probar si es divisible por 7, 11, 13 y 17.
315 : 7 = 45 35 0
es divisible por 7
no es divisible por 11
no es divisible por 13
no es divisible por 17
Tenemos que los divisores menores son 3, 5, 7, 9 y 15, por lo que dividimos por estos:
315 : 3 = 105 315 : 5 = 63 315 : 7 = 45 315 : 9 = 35 315 : 15 = 21 El resto de los divisores obviamente ser´an los cuocientes que obtuvimos (resultados). Finalmente los divisores de 315 son 1, 3, 5, 7, 9, 15, 21, 35, 45, 63, 105, 315.
4.3. M´aximo com´un divisor
Es el m´aximo entero por el cu´al es divisible un conjunto de enteros.
Ejemplo: Obtener MCD(24,48,60)
los divisores de 24 son { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 24 } los de 48 son { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 12 , 16 , 24 , 48 } los de 60 son { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 10 , 12 , 15 , 20 , 30 , 60 }
Si vemos en todos los conjuntos los n´umeros que se repiten son { 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 12 } y el mayor de ellos es 12, luego M CD(24, 48 , 60) = 12
Una vez todos los n´umeros fueron reducidos a 1, el minimo com´un m´ultiplo ser´a el producto de los divisores:
mcm(24, 48 , 60) = 2 · 2 · 3 · 2 · 2 · 5 · 2 = 240
5. Propiedades interesantes entre el MCD y mcm
Las propiedades de contenciones de los n´umeros y ser primos relativos dan origen a varias propiedades que pueden ser bastante obvias si se piensan un poco:
M CD(a, b) = 1 ⇔ mcm(a, b) = ab
M CD(a, b) = a ⇔ mcm(a, b) = b
M CD(a, b) = mcm(a, b) ⇔ a = b
a es primo y a 6 = b ⇒ M CD(a, b) = a o M CD(a, b) = 1
a es primo y a 6 = b ⇒ mcm(a, b) = b o M CD(a, b) = 1
Podemos obtenerm´as de estas propiedades dependiendo de nuestra imaginaci´on.
