¡Descarga Cinematica y más Ejercicios en PDF de Física solo en Docsity!
Cinem´atica
Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por :
¯v = x^2 y¯ex + x^2 t¯ey (3.1)
Se pide:
a. ¿A qu´e tipo de formalismo corresponde este an´alisis del escurrimiento, lagrangeano o eulereano?
b. Graficar las l´ıneas de corriente que pasan por el origen para t = 0., t = 1. y t = 2.
Ejercicio 3.2. Un campo de velocidades (an´alisis euleriano) esta dado por u = y − 1 (componente de la velocidad seg´un el eje x) y v = y − 2 (componente de la velocidad seg´un el eje y). Grafique la l´ınea de corriente que pasa por el punto (x, y) = (4, 3) y comp´arela con la l´ınea de emisi´on que pasa por dicho punto.
Ejercicio 3.3. Dado el siguiente campo de velocidades:
u =
x t + t 0 v = v 0
a. Encontrar la ecuaci´on de la l´ınea de corriente que pasa por el punto (x 0 , y 0 ) para el tiempo t 1.
b. Hallar la ecuaci´on de la trayectoria para una part´ıcula fluida gen´erica.
c. Determinar la velocidad de la part´ıcula en su trayectoria.
d. Determinar la ecuaci´on de la l´ınea de emisi´on definida por las part´ıculas que pasaron por el punto: (f 1 (t′), f 2 (t′)) = (1, 1), siendo 0 < t′^ < t 1.
a. La ecuaci´on general de la l´ınea de corriente:
dx u
dy v
dz w
Se aplica para un instante dado t 1 y se resuelve reemplazando:
dx x t 1 + t 0
dy v 0
Sea (t 1 + t 0 )v 0 = A. Luego:
67.18 – Mec´anica de Fluidos
A ln(x) = y + C representa las lineas de corriente. En particular para el punto (x 0 , y 0 ),:
A ln(x 0 ) = y 0 + C se despeja el valor de C que define a la linea de corriente. Y la linea buscada resulta la curva definida por:
(t 1 + t 0 )v 0 ln(x) = y + A ln(x 0 ) − y 0
b. La ecuaci´on general de la trayectoria es: df 1 u
df 2 v
= dt
Reemplazamos a coordenadas de la part´ıcula a la velocidad:
u =
f 1 t + t 0 v = v 0
Luego, df 1 f 1 t+t 0
= dt =⇒ f 1 = C 1 (t + t 0 )
df 2 v 0
= dt =⇒ f 2 = v 0 t + C 2
La ecuaci´on de trayectoria de una part´ıcula (f 1 , f 2 ) se describe seg´un una coordenada inicial (ξ 1 , ξ 2 ) y el tiempo t. Se˜nalamos entonces en forma expl´ıcita esta dependencia:
ξ 1 = f 1 (t = 0) → ξ 1 = C 1 t 0 ξ 2 = f 2 (t = 0) → ξ 2 = C 2
Reescribimos (3.3) seg´un: f 1 =
ξ 1 t 0
(t + t 0 ) f 2 = v 0 t + ξ 2
c. df 1 dt
ξ 1 t 0
= C 1 =
f 1 t + t 0 df 2 dt
= v 0
d. Las l´ıneas de emisi´on se forman a partir del conjunto de part´ıculas que pasan por una posici´on definida, p. ej. (x∗ 1 , x∗ 2 ) en un intervalo de tiempo dado t∗^ ∈ [0, t 1 ]. Podemos pensar que las part´ıculas son marcadas cuando para cierto tiempo t∗^ se encuentran en (x∗ 1 , x∗ 2 ). Sobre nuestro ejemplo: f 1 = x∗ 1 = ξ t^10 (t∗^ + t 0 ) f 2 = x∗ 2 = v 0 t∗^ + ξ 2 Notemos que desconocemos las coordenadas iniciales (ξ 1 , ξ 2 ) pero que a partir de la ecuaci´on anterior, las podemos identificar. ξ 1 =
x∗ 1 t 0 t∗^ + t 0 ξ 2 = x∗ 2 − v 0 t∗
67.18 – Mec´anica de Fluidos
c. Las l´ıneas de emisi´on las obtenemos determinando a las part´ıculas que pasaron por la boquilla (0, h) en el instante t′^ ∈ [t 1 , t 2 ]. Para ello, identifiquemos la posici´on inicial ~(ξ) de las part´ıculas:
f 1 = U cos[α(t′)]t′^ + ξ 1 ′ = 0
f 2 = (U sin[α(t′)] + gt′)t′^ −
gt′^2 2
Despejamos los valores de ξ 1 y ξ 2 :
ξ 1 ′ = −U cos[α(t′)]t′
ξ 2 ′ = h − (U sin[α(t′)] + gt′)t′^ +
gt′^2 2 Reemplazando estas posiciones iniciales particulares, que dependen de t′^ ∈ [t 1 , t 2 ] obtenemos una particular ecuaci´on de trayectoria:
f 1 = U cos[α(t′)](t − t′) (3.11)
f 2 = h + (U sin[α(t′)] + gt′)(t − t′) −
gt^2 2
gt′^2 2 seg´un (3.12) podemos tomar una foto para el tiempo t = t∗ y las l´ıneas de emisi´on quedan determinadas por el par´ametro t′, el instante en el cual pasan por la boquilla.
f 1 = U cos[α(t′)](t∗ − t′) (3.12)
f 2 = h + (U sin[α(t′)] + gt′)(t∗ − t′) −
gt^2 ∗ 2
gt′^2 2
V´ease ejemplo desarrolado en sage / numpy en http://www.sagenb.org/home/pub/2729/
Ejercicio 3.5. Para la siguiente funci´on de corriente ψ = 2xy , ¿Cu´al ser´a la velocidad en el punto (x, y) = (2, 4)?. ¿Cu´al ser´a el potencial de velocidad si el escurrimiento es irrotacional?.
Ejercicio 3.6. La ca˜ner´ıa mostrada en la figura termina en forma c´onica. En dicha zona se pueden considerar a las l´ıneas de corriente como l´ıneas radiales que convergen en el punto A. Al mismo tiempo el m´odulo de la velocidad en la zona c´onica de la ca˜ner´ıa se puede aproximar como: V = C/r 2 , siendo C una constante. Al comienzo de la convergencia de la ca˜ner´ıa (x = 0) y para la l´ınea de corriente sobre el eje de la ca˜ner´ıa la velocidad vale 2m/s. Se pide: determinar la aceleraci´on del fluido a lo largo del eje de la ca˜ner´ıa en la zona c´onica. ¿Cuanto vale la aceleraci´on para x = 0 y x = 0, 3?
Ejercicio 3.7. El movimiento de un fluido es descrito por la trayectoria de sus part´ıculas seg´un el formalismo Lagrangeano por:
f 1 = ξ 1
f 2 =
ξ 2 + ξ 3 2
eat^ +
ξ 2 − ξ 3 2
e−at
f 3 =
ξ 2 + ξ 3 2
eat^ −
ξ 2 − ξ 3 2
e−at
Cinem´atica
a. Mostrar que el determinante del Jacobiano es distinto de cero.
b. Determinar las componentes de la velocidad y la aceleraci´on:
i) En coordenadas materiales (Lagrange) ii) En coordenadas espaciales (Euler)
Ejercicio 3.8. Para el siguiente campo de velocidades:
u¯ = 8xe¯x + 8ye¯y − 7 te¯z
a. Clasificar el escurrimiento.
b. Determinar la ecuaci´on de las l´ıneas de corriente y dibujar en forma aproximada para t=0.
c. Determinar y clasificar la aceleraci´on del escurrimiento.
Ejercicio 3.9. Conociendo las componentes escalares de la velocidad del escurrimiento bidimensional de la figura:
u = A.x v = −A.y w = 0
a. Clasificar el escurrimiento (solenoidal, irrotacional, dependencia con el tiempo).
b. Determinar la ecuaci´on de las l´ıneas de corriente.
c. Determinar y clasificar la aceleraci´on del escurrimiento (en funci´on de los t´erminos convectivos, t´erminos no estacionarios)
a. Campo solenoidal: comprobamos que la divergencia del campo es nula, ∇ · ~u = 0. Campo irrotacional: el rotor es nulo, ∇ × ~u = 0.
∇ × ~u =
~i ~j ~k u v w ∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
~i ~j ~k Ax −Ay 0 ∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z
El campo no depende expl´ıcitamente de tiempo, (^) ∂t∂ u = 0.
b. La ecuaci´on para las l´ıneas de corriente puede resolverse en forma an´aloga al ejercicio 3.3 o bien usar el m´etodo de la funci´on corriente, dado que el campo cumple ∇ × ~u = 0. Para ello, recordamos que
u =
∂ψ ∂y
v = −
∂ψ ∂x
Cinem´atica
Ejercicio 3.12. Las componentes de velocidad de un flujo Couette est´an dadas por
u 1 =
U
h
x 2 u 2 = u 3 = 0
a. Determinar el tensor de velocidad de deformaci´on eij y el tensor de spin Ωij.
b. Usando los tensores calcular la velocidad de deformaci´on de los elementos dx y dx′^.
c. Hallar el cambio material del ´angulo entre dx y dx′.
Ejercicio 3.13. Para un flujo estacionario, el campo de velocidades est´a dado por
u¯ = 3x^21 x 2 ¯e 1 + 2x^22 x 3 e¯ 2 + x 1 x^22 ¯e 3
Se pide: calcular en P = (1, 1 , 1):
a. Las componentes del tensor de velocidad de deformaci´on eij y el de spin Ωij.
b. Las componentes de la velocidad angular de una part´ıcula fluida en P.
c. La velocidad de deformaci´on en las direcciones x 1 , x 2 , x 3.
d. Los ejes principales de deformaci´on y sus direcciones.
Ejercicio 3.14. Dado el campo de velocidades
u 1 = −
ω h
x 2 x 3
u 2 =
ω h
x 2 x 3 u 3 = 0
a. Determinar el tensor gradiente de velocidades, el de deformaciones eij y el tensor de spin Ωij.
b. La velocidad angular.
c. Hallar los ejes principales de deformaci´on en P = (2, 2 , 2)
d. Hallar la trayectoria de una part´ıcula que a t = 0 estaba en P (ξ = (2, 2 , 2)).
