¡Descarga Cinemática apuntes batx y más Apuntes en PDF de Física solo en Docsity!
ZINEMATIKA
72/2022 FORU DEKRETUA, ekainaren 29koa, Nafarroako Foru Komunitateko
Batxilergoaren etapako irakaskuntzen curriculuma ezartzen duena.
D.–Zinematika.
D.1. Objektu batek izan ditzakeen mugimenduen denboraren araberako aldagai
zinematikoak, kanpoko indarrekin edo gabe: fisikarekin eta eguneroko
ingurunearekin lotutako benetako egoerak ebaztea.
D.2. Mugimendu zuzen eta zirkular batean eragina duten aldagaiak: magnitudeak
eta erabilitako unitateak. Ibilbide mota horiek dituzten eguneroko mugimenduak.
D.3. Mugimendu konposatu baten ibilbidearen eta hura deskribatzen duten
magnitudeen arteko erlazioa.
ZINEMATIKA
Zinematika gorputzen higidura aztertzen dituen fisikako atala da.
Gorputzen higidura aztertzeko higikari puntual tzat hartuko ditugu, hau da bere
masa guztia puntu batean kontzentraturik dutenak.
HIGIDURA ERLATIBOA DA
Higidura erlatiboa da, hau da, behatzailearen arabera gorputz bat higiduran edo
pausagunean dagoela esan dezakegu.
Hori dela eta, erreferentzia-sistema finkatu behar da. Erreferentzia-sistema puntu
bat, erreferentzia puntua, eta koordenatu ardatzen bidez osatuta dago.
Higidura dago baldin eta gorputz bat, higikaria, erreferentzia sistema batekiko
posizioa aldatzen badu.
1. AHT tren batetan noa, eta trenak badu, ibilbidearen mapa bat
nigandik 3 m-tara paretan pegatua.
Non jarri behar dut erreferentzia puntua 250Km/h-ko abiaduran
doan treneko mapa pausagunean dagoela aztertzeko? eta non
higitzen ari dela aztertzeko?
2. Mahai gainean dauden liburuak aztertuz, non jarriko dut
erreferentzia puntua, pausagunean egoteko eta non higitzeko?
IBILBIDEA, POSIZIOA ETA DESPLAZAMENDUA
Posizio bektorea, ⃗
r
, erreferentzia puntua O eta higikaria dagoen P puntua lotzen dituen
bektorea da.
r =
OP = x
i + y
j + z
k
tartea 0 hurbiltzen denean. Kalkuluak egiteko limiteak edo deribatuak egin behar
dira.
v =
lim
Δ t → 0
r
Δ t
d
r
dt
AZELERAZIOA
Batazbesteko azelerazioa
Batazbesteko azelerazioa k denbora unitatean gertatzen den abiadura aldaketa
adierazten du.
a
m
v
Δ t
v −
v
0
t − t
0
Bere unitatea Nazioarteko Sisteman m.s
da.
Aldiuneko azelerazioa
Denbora tartea 0ra hurbiltzen denean, aldiuneko azelerazioa lortzen da.
a =
lim
Δ t → 0
Δ ⃗v
Δ t
d
v
dt
Azelerazioaren noranzkoa adierazteko abiadurarendako jarraitzen diren arau
berberak jarraituko ditugu.
Azelerazioaren osagaiak
Aldiuneko azelerazioak bi osagai dauzka:
● Osagai tangentziala, a t
, abiaduraren moduluaren aldaketak eragiten duena.
Ibilbideearekiko tangentziala da.
a
t
Δ v
Δ t
● Osagai normala, a n
, abiaduraren norabidearen aldaketak eragiten duena.
Ibilbidearekiko normala da. Haren balioa:
a
n
v
2
R
v : abiaduraren modulua
R : ibilbidearen kurbadura erradioa
a =√❑
OHARRA: Posizioa, desplazamendua, abiadura eta azelerazioa bektoreak dira
eta honako ikurrak erabiliko ditugu bere noranzkoa adierazteko:
1. ADIBIDEA : Lortu x
0
= 5m; t
0
= 0 eta v=20 m/s dituen
higiduraren x(t) ekuazioa.
EBAZPENA: x 0
, t 0
eta v ordezkatu behar ditugu ekuazio orokorrean.
x = x
0
+ v ( t − t
0
x = 5 + 20 ( t − 0 )
Beraz: x = 5 + 20 t (NS)
3. Aztertu hurrengo grafiko, higidura desberdinak daude. Adierazi tarte
bakoitzari dagokion higidura mota eta lortu higiduraren x(t) ekuazioa.
2. ADIBIDEA : A autoak 80 Km/h abiadura darama eta 30 Km-
tara atzetik B autoa dator 110 Km/h abiadurarekin. Noiz eta non
harrapatuko du B autoak A autoa? (1h, B autoa abiatzen den
lekutik 110 km-ra)
EBAZPENA
Bi higikarien x(t) ekuazioa idatziko dugu. Oharra: x (km) eta t (h) unitatetan egingo
dugu ariketa.
x = x
0
+ v ( t − t
0
x
A
= 30 + 80 t
x
B
= 110 t
Autoak x
A
= x
B
denean elkartuko dira. Hortaz:
x
A
= x
B
⇒ 30 + 80 t = 110 t ⇒ 30 = 110 t − 80 t ⇒ 30 = 30 t ⇒ t =
= 1 h
x
B
= 110 t = 110 ⋅ 1 = 110 Km
4. Auto bat gasolindegitik atera da 80 km/h-ko abiadura konstantean.
Ordu erdi geroago, beste auto bat gasolindegi beretik atera da, 100
km/h-ko abiaduran eta lehenaren norabide eta noranzko
berberetan. Kalkulatu zenbat denbora beharko duen bigarren
autoak lehena harrapatzeko, eta gasolindegitik zer distantziatara
gertatuko den hori. Sol: 2,5 h; 200 km
5. Tren bat geltokitik 20 km-ra dago, eta haren aurkako noranzkoan
urruntzen da, trenbide zuzen batean zehar ibiliz eta 80 km/h-ko
abiadura konstantean. Kalkulatu geltokitik zer distantziatara egongo
den handik 2h-ra, eta zenbat denbora pasatuta egongo den
geltokitik 260 km-ra. Sol: 180 km; 3 h
6. Bata bestetik 10 km-ra dauden bi herritatik (A eta B) auto bana
atera dira atera dira elkarrengana, bata 72 km.h
-eko abiaduran eta
bestea 108 km.h
-eko abiaduran. Kalkulatu zenbat denboraren
buruan elkartuko diren, eta A herritik zer distantziara. Sol: 200s;
4000 m
7. Auto bat 50 km/h-ko abiaduran pasatu da semaforo baten paretik,
eta hortik 5 s-ra, moto bat leku beretik igaro da, 60 km/h-an.
Kontuan harturik kalea zuzena dela, kalkulatu: a) zenbat metrora
eta zer puntutan harrapatuko duen motoak autoa; b) zenbat
denbora pasatuko den ordura arte. Sol: 416,7 m; b) 30 s
2. HZUA: HIGIDURA ZUZEN UNIFORMEKI AZELERATUA
HIGIDURA hitzak higikariaren desplazamendua adierazten du erreferentzia sistema
batekiko, ZUZENA ibilbideari dagokio eta UNIFORMEKI AZELERATUA, azelerazioa
konstantez adierazten du.
Ekuazioak:
a =
v − v
0
t − t
0
⇒ v = v
0
+ a
t − t
0
3. ADIBIDEA : Higikari baten hasierako posizioa, hasierako
abiadura eta azelerazioa, hurrenez hurren, hauek dira: +60 m;
+25 m/s; -4 m/s
2
. Kalkulatu eta eman: a) higiduraren ekuazioak
(posizioa, abiadura); b) noiz eta non geldituko den
EBAZPENA
Datuak:
x
0
= 60 m , v
0
= 25 m / s , a =− 4 m / s
2
a. Ekuazioak
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
Hasierako datuak ordezkatuz,
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
⇒ x = 60 + 25 ( t − 0 ) +
(− 4 )( t − 0 )
2
x = 60 + 25 t − 2 t
2
v = v
0
+ a
t − t
0
⇒ v = 25 +(− 4 ) ( t − 0 ) ⇒ v = 25 − 4 t
b. Noiz eta non geldituko den: v=0 m/s
Ekuazioak erabiliko dira
x = 60 + 25 t − 2 t
2
v = 25 − 4 t
v = 0 m / s ordekatu abiaduraren ekuazioan
v = 25 − 4 t
0 = 25 − 4 t ⇒ − 25 =− 4 t
t =
= 6 , 25 s geratzeko behar duen denbora
x = 60 + 25 t − 2 t
2
⇒ x = 60 + 25 ⋅ 6 , 25 − 2 ⋅ 6 , 25
2
x = 138 , 1 m
4. ADIBIDEA : Eskiatzaile bat geldiunetik abiatu da eta 3
segundotan 9 metro egin ditu azelerazio konstantez. Eskema
grafikoa egin ondoren, kalkulatu: a) azelerazioa; b) lehenengo 5
segundotan eginiko distantzia; c) zenbat denbora beharko du
90 km/h-ko abiadura lortzeko
EBAZPENA
Datuak:
v
0
= 0 m / s , t = 3 s denean Δ x = 9 m egin ditu a = kte
Diagrama
HZUA motako higidura du, eta beraz erabiliko ditugun formulak;
v = v
0
+ a
t − t
0
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
a) azelerazioa;
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
a ( 3 − 0 )
2
⇒ a = 2 m / s
2
b) lehenengo 5 segundotan eginiko distantzia
Ekuazioak lortuko ditugu, lehenik;
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
⇒ x = 0 + 0 +
⋅ 2 ⋅ ( t − 0 )
2
→ x = t
2
v = v
0
+ a
t − t
0
⇒ v = 0 + 2 ( t − 0 ) → v = 2 t
t=5 s ordezkatuz,
x = t
2
2
= 25 m
eta
v = 2 t = 2 ⋅ 25 = 50 m / s
c) zenbat denbora beharko du 90 km/h-ko abiadura lortzeko
NS sistemara pasatu: 90
Km
h
1000 m
1 Km
1 h
3600 s
= 25 m / s
eta, abiadura ekuazioan ordezkatu: v = 2 t ⇒ 25 = 2 t ⇒ t = 12 , 5 s
8. Auto bat abiadura konstantean pasa da A puntutik. Puntu beretik,
baina 5 s beranduago motorista bat abiatu da autoaren atzetik 6
m/s
2
-ko azelerazio konstantez. Kalkulatu:
a. A-tik zer distantziatara harrapatu du motoak autoa.
(351,7m)
b. Zenbat denbora pasa da autoa A puntutik pasa eta
motorrak harrapatu duenera arte. (10,8 m)
9. Geldirik zegoen auto bat, abiatu egin da 2 m/s
2
-ko azelerazioarekin
malda = m =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
v
2
− v
1
t
2
− t
1
= a = azelerazioa
Hori egiteko bi puntu behar dira, adibidez, t
1
= 0 s eta t
2
= 1 s.
a =
v
2
− v
1
t
2
− t
1
= 2 m / s
2
da.
Beraz, x
0
= 0 m , v
0
= 0 m / s eta a = 2 m / s
2
Ekuazioak lortzeko formulak behar dira;
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
v = v
0
+ a
t − t
0
Datuak ordezkatuz:
x = x
0
+ v
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
⇒ x = 0 + 0 +
2 ( t − 0 )
2
⇒ x = t
2
v = v
0
+ a
t − t
0
⇒ v = 0 + 2 ( t − 0 ) → v = 2 t
Bukaerako posizioa kalkulatu:
Posizioaren ekuazioa t=1 s ordeztu,
x = t
2
⇒ x = 1
2
= 1 m
Δ t =( 1 − 2 ) s tartea.
Kasu honetan abiadura konstante mantentzen da eta beraz badakigu HZU -z mugitzen ari
dela eta ondorioz
a = 0 m / s
2
dela. Abiadura, v = 2 m / s da; eta, hasierako posizioa,
aurreko higiduraren bukaerako posizioa izango da, hau da, x
0
2
= 1 m
Datuak: t
0
= 1 s ; x
0
= 1 m ; v = 2 m / s
HZU formulak erabiliz ekuazioak lortuko ditugu
x = x
0
+ v ( t − t
0
) ⇒ x = 1 + 2 ( t − 1 )
❑
⇒ x = 1 + 2 t − 2 =− 1 + 2 t →
x =− 1 + 2 t
v = 2 m / s
Bukaerako posizioa kalkulatu:
Posizioaren ekuazioa t=2 s ordeztu,
x =− 1 + 2 t ⇒ x =− 1 + 2 ⋅ 2 = 3 m
Δ t =( 2 − 3 ) s
Kasu honetan abiadura aldaketa bat dago, abiadura motelduz doa beraz, HZUA da eta
azelerazio NEGATIBOA du.
Hasierako datuak lortzeko grafikotik zuzenean, v
0
= 2 m / s soilik lor dezakegu.
Azelerazioa malda kalkulatuz lortuko dugu.
malda = m =
y
2
− y
1
x
2
− x
1
v
2
− v
1
t
2
− t
1
= a = azelerazioa
Hori egiteko bi puntu behar dira, adibidez,
t
1
= 2 s eta t
2
= 3 s
a =
v
2
− v
1
t
2
− t
1
=− 2 m / s
2
da.
eta,
x
0
= 3 m
Beraz, datuak:
t
0
= 2 s ; x
0
= 3 m ; v
0
= 2 m / s ; a =− 2 m / s
2
Ekuazioak lortzeko formulak erabili eta hasierako datuak ordezkatu.
x = x
0
0
( t − t
0
a ( t − t
0
2
⇒ x = 3 + 2 ( t − 2 )+
(− 2 )( t − 2 )
2
x = 3 + 2 t − 4 − 1 ( t
2
− 4 t + 4 ) ⇒ x =− t
2
+ 6 t − 5
v = v
0
+ a
t − t
0
⇒ v = 2 +(− 2 )( t − 2 )= 2 − 2 t + 4 ⇒ v =− 2 t + 6
11. Abiadura-denbora grafiko honetan ibilgailu baten higidura zuzena
deskribatzen da.
Esan zein diren tarte bakoitzean: a) higidura-mota; b) azelerazioa;
c) ibilitako distantzia.
Sol: a) HZUA, HZU, HZUA, HZUA; b) 1,5 m/s
2
; 0; 2 m/s
2
, -2 m/s
2
; c)
75m, 225m, 100m, 125m
12. Ondoko abiadura-denbora grafikoan ibilgailu baten higidura adierazi
da. Ibilbidea zuzena dela jakinik, azter ezazu, eta esan zein izan
diren ibilbidearen tarte bakoitzean: a) higidura mota; b) azelerazioa;
c) ibilitako distantzia.
abiadura.
f. Lurrera iristean izango duen abiadura. ( talka egin
baina mikrosegundu bat lehenago)
EBAZPENA
y = y
0
+ v
0
( t − t
0
)− 4 , 9 ( t − t
0
2
v = v
0
− 9 , 8 ⋅ ( t − t
0
Datuak
y
0
= 50 m , v
0
= 20 m / s ; g =− 9 , 8 m / s
2
a) Hasierako datu hauek ordezkatuz;
y = y
0
+ v
0
( t − t
0
)− 4 , 9 ( t − t
0
2
y = 50 + 20 ( t − 0 )− 4 , 9 ( t − 0 )
2
y = 50 + 20 t − 4 , 9 t
2
v = v
0
− 9 , 8 ⋅ ( t − t
0
v = 20 − 9 , 8 ⋅ ( t − 0 )
v = 20 − 9 , 8 t
b) y
max
=? horrela denean altura maximoan harria geratuko da beraz,
v = 0 m / s
v = 20 − 9 , 8 t ; 0 = 20 − 9 , 8 t ; − 20 = 9 , 8 t ; t =
= 2 , 04 s
Beraz 2,04s behar ditu harriak altura maximo hori lortzeko, eta y posizioaren
ekuazioan ordezkatuz:
y = 50 + 20 t − 4 , 9 t
2
; y
max
2
= 62 , 58 m
c) bi eratara topa dezakegu balio hau,
- logika erabiliz, terrazatik altura maximoa behar izan duen denbora berdina
beharko du berriz terrazara iristeko beraz,
t = 2 ⋅ t
max
= 2 ⋅ 2 , 04 = 4 , 08 s
2. Ekuazioak erabiliz: Datuak y
0
= 50 m eta y = 50 m , leku berean baitago,
y = 50 + 20 t − 4 , 9 t
2
⇒ 50 = 50 + 20 t − 4 , 9 t
2
⇒ 0 = 20 t − 4 , 9 t
2
= t ( 20 − 4 , 9 t )
beraz t = 0 s eta 20 − 4 , 9 t = 0 ⇒ t =
= 4 , 08 s
d) abiadura
v =? t = 4 , 08 s denean ; v = 20 − 9 , 8 t = 20 − 9 , 8 ⋅ 4 , 08 =− 19 , 98 m / s
Logikoa da? abiadura berdinez iritsiko da altura berdinera? bai. Baina hasieran
gora zijoan eta ondorioz, abiadurak ikur positiboa du eta gero behera doanez,
balio berdina baina kontrako noranzkoa du eta ikur NEGATIBOZ adierazten da.
e) t=5s tara duen v? eta y?
v = 20 − 9 , 8 t = 20 − 9 , 8 ⋅ 5 =− 29 m / s
; ikur negatiboak beheraka doala
adierazten digu.
f)
v
lurrean
lurrean badago y=0 m
y = 50 + 20 t − 4 , 9 t
2
0 = 50 + 20 t − 4 , 9 t
2
t =
− b ±
❑
√
b
2
− 4 ⋅ a ⋅ c
2 a
t = 5 , 83 s eta t =− 1 , 75 s
Denbora negatiboa baztertuta, t=5,83 s izango dira, hau da lurra ukitzeko behar
duen denbora, eta, abiadura:
v = 20 − 9 , 8 t = 20 − 9 , 8 ⋅ 5 , 83 =− 37 , 13 m / s
; ikurrak adierazten du beherantz
doala.
13. 80 m-ko altueratik erortzen utzi da pilota bat, momentu berean,
lurretik gorantz beste pilota bat jaurtiki da 50 m/s-ko abiduran.
a. Zenbat denbora pasa da bi pilotak elkartu direnerako.
(1,6s)
b. Lurretik zein altueratara elkartuko dira.(67,46m)
c. Zein da pilota bakoitzak duen abiadura momentu
horretan.(-15,68 m/s eta 34,32m/s)
d. Zein altueratan dago lurretik askaturiko pilota, besteak
lurra ukitu duenean. (122m)
e. 80 m-tatik bota dugun pilotak lurra ukitzen duenean, 2.
pilotak gorantz ala beherantz doa?
c. Zein da txaluparen bukaerako posizioa? Adierazi
bektorea eta modulua
d. Adierazi abiadura bektore eta modulua.
EBAZPENA
a. Denbora kalkulatzeko:
Y ARDATZEAN:
Datuak:
y
0
= 0 ; v
y
= 14 m / s ; t
0
Ekuazio orokorrean ordeztuz:
y = y
0
+ v
y
t − t
0
⇒ y = 14 t ⇒ ibaiaren zabalera ordeztuz : t =
= 2 , 86 s
b. Irismena kalkulatzeko:
X ARDATZEAN:
Datuak:
x
0
= 0 ; v
x
= 3 m / s ; t
0
= 0 ; t = 2 , 86 s
Ekuazio orokorrean ordezkatuz:
x = x
0
+ v
x
t − t
0
= 0 + 3 ( t − 0 ) ⇒ x = 3 t
x = 3 ⋅ 2 , 86 = 8 , 57 m
c. Posizioa:
Datuak: x = 8 , 57 m eta y = 40 m
Posizio bektorea:
r = x
i + y
j ⇒
r = 8 , 57
i + 40
j m
Posizioaren modulua:
|r |=√❑
d. Abiadura
Datuak:
v
x
= 3 m / s eta v
y
= 14 m / s
Abiadura bektorea:
v = v
x
i + v
y
j ⇒
r = 3
i + 14
j m / s
Abiaduraren modulua:
| v |=√❑
16. Lantxa batek ibaia zeharkatu nahi du 25 km/h abiaduraz. Ibaiaren
korrontearen eraginez lantxak 15 m egiten ditu ibaian behera.
Ibaiak 200 m-ko zabalera badu, zein da ibaiak duen korrontearen
abiadura. Idatzi lantxaren abiadura osoa eta bukaerako posizioa
bektore eta modulu gisa (0,52 m/s)
17. Pertsona bat ibaia zeharkatzen ari da txalupaz, 12 m/s-ko
abiaduran eta korrontearekiko perpendikularki. Jakinda
korrontearen abiadura 10 m/s-koa dela, kalkulatu: a) zenbat
denbora beharko duen bestaldeko iristeko, kontuan hartuta ibaiaren
zabalera 150 m-koa dela; b) zer distantzia egingo duen txalupak.
(12,5 m eta 195,3 m)
18. Ibai bat zeharkatzen duen txaluparen motoreak 3 m/s-ko abiadura
har dezake, korrontearekiko perpendikularra. Ibaiak 100 m-ko
zabalera badu, eta korronteak 1 m/s-ko abiadura: a) zenbat
denboran zeharkatzen da ibaia? b) Zer abiaduratan? c) zer
distantzia egiten du txalupak? (33,3s; 3,2 m/s; 105,4m)
3.2. TIRO PARABOLIKOA
Higidura mota honek, bi higidura desberdin konbinatzen ditu, 2 ardatzentan
desplazatzen delarik, X ardatzean HZU mugimendua darama eta Y ardatzean
HZUA( erorketa askea)
7. ADIBIDEA : Kainoi batetik bala bat jaurtitzen da 500 m/s-ko
abiaduraz, 30º-ko desplazamenduarekin horizontalarekiko.
a. Zein da abiadura (bektore eta modulua) denbora
3-s direnean.
b. Proiektilaren posizioa une honetan.
c. Lortuko duen altuera maximoa.
d. Jaurtiketaren irismena. ( X ardatzean lortuko duen
distantzia maximoa)
e. Ibilbidearen ekuazioa.
EBAZPENA
Hasierako abiadura deskonposatuko dugu
v
x
eta
v
y
kalkulatzeko:
