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TEMA 6: DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA
6.1 Concepto de movimiento. Sistema de referencia. Vector de posición de una partícula. Vector desplazamiento. 6.2 Velocidad media e instantánea. 6.3 Aceleración. Componentes intrínsecas de la aceleración. 6.4 Clasificación de movimientos según los valores de aceleración y sus componentes. 6.5 Estudio de algunos movimientos: uniforme, uniformemente acelerado, circular.
6.1. CONCEPTO DE MOVIMIENTO. SISTEMA DE REFERENCIA. VECTOR DE POSICIÓN DE
UNA PARTÍCULA. VECTOR DESPLAZAMIENTO.
6.1.1. Concepto de movimiento.
Cuando viajamos en un avión, sentados en nuestra plaza, creemos que estamos en reposo y no dudaríamos en afirmar que la azafata que se pasea por el pasillo está en movimiento. Pero, ¿Estamos realmente en reposo, o nos movemos junto con el avión? ¿Está realmente en reposo la mesa sobre la que apoyas estos apuntes? En definitiva, la
pregunta que nos planteamos es: ¿cuándo podemos afirmar que un objeto se mueve?
Un cuerpo se mueve cuando cambia de posición respecto a un sistema de referencia que consideramos fijo.
Así, según donde esté situado el sistema de referencia (donde esté el observador que estudia el movimiento) mediremos un movimiento u otro, o no mediremos movimiento alguno.
Los movimientos, entonces, son siempre relativos, pues para un observador en la Tierra un edificio sería un objeto carente de movimiento, mientras que para un observador en el espacio, dicho edificio tendrá un movimiento de rotación y otro de traslación. Por eso hablamos de movimiento relativo, dependiendo de la ubicación del sistema de referencia.
El sistema de referencia (punto O, ejes coordenados, criterio de signos) es elegido por el observador, la persona que estudia el movimiento. Una vez elegido, debe mantenerse. No puede cambiarse durante la resolución del problema.
Punto material: En nuestro estudio del movimiento consideraremos que el objeto móvil es una partícula, un punto material que representa al objeto (bola, coche, avión, electrón…) y que concentra toda su masa.
6.1.2. Posición. Trayectoria. Ecuación de movimiento. Vector desplazamiento.
Posición ( r
r ): Lugar que ocupa el móvil en un instante determinado.
- La posición se indica con las coordenadas del punto en el que está situado el móvil, medidas respecto al sistema de referencia escogido. O lo que es lo mismo, con las componentes del vector r
r , que va desde el punto O hasta el punto en que está la partícula.
- Lógicamente, la posición de un móvil dependerá del sistema de referencia escogido.
En este curso estudiaremos movimientos en dos dimensiones. Nuestro sistema de referencia está formado por los ejes coordenados x e y, a los que
corresponden los vectores unitarios i
r y j
r
. En todos los problemas es
obligatorio dibujar claramente el sistema de referencia con el criterio de signos. El desplazamiento será el segmento o vector que une los puntos inicial y final. También se calcula restando las posiciones (final menos inicial). Para ello restamos las coordenadas x e y por separado.
Así, el vector de posición r
r se expresará r xi yj
r r r = +
Nota: (En el espacio (3 dimensiones), existiría una componente más, de modo que r xi y j zk
r r r r = + +. Todas las
magnitudes vectoriales tendrían tres componentes)
En el Sistema Internacional de unidades (S.I.), las coordenadas están dadas en metros (m).
r
r
i
r
j
r
r
r
Trayectoria: Es la línea formada por la unión de los puntos que sigue el móvil en su recorrido. Según la forma de la trayectoria, tendremos movimientos:
- Rectilíneos.
- Curvilíneos.
Ecuación de movimiento: Al transcurrir el tiempo, el móvil va pasando por los distintos puntos de la trayectoria. A cada valor de t, corresponde una posición. Es decir, la posición r
r del móvil depende del tiempo. A la expresión de la posición en función del tiempo r ( t )
r se le denomina ecuación de movimiento de la partícula.
Al sustituir en ella un valor de tiempo, obtenemos las coordenadas del punto en el que se encuentra el móvil en ese instante. Cada movimiento tiene su propia ecuación de movimiento.
Posición inicial: r ( t 0 ) r 0
r r = Posición en el instante en que empezamos a contar el movimiento. Normalmente
consideraremos t 0 = 0 s. , pero puede ser cualquier otro valor de tiempo.
Vector desplazamiento ( r
r ∆ ): Vector que une dos puntos de la trayectoria. Va desde la posición considerada inicial hasta la posición final. Se calcula como la diferencia entre las dos posiciones (siempre la final menos la inicial). r r r 0
r r r ∆ = −
Diferencia entre desplazamiento y distancia recorrida: Vemos que r
r ∆ mide el desplazamiento en línea recta. El módulo del desplazamiento ( r
r ∆ ) sólo nos indica la distancia en línea recta desde el punto inicial hasta el punto final. La distancia recorrida ( s ) se mide sobre la trayectoria. Los valores de r
r ∆ y s sólo coinciden cuando la trayectoria es rectilínea.
6.2. VELOCIDAD MEDIA E INSTANTÁNEA.
Todo movimiento supone un cambio en la posición del móvil. Pero este cambio puede ser más rápido o
más lento. La velocidad mide la rapidez de ese cambio. Es decir,la velocidad mide cómo cambia la
posición de un móvil con el tiempo.
6.2.1. Velocidad media: Mide el cambio de posición en un intervalo de tiempo.
0
0 m t t
r r
t
r v −
− = =
r r r r
Unidades: En el S.I. [vm]= m/s = m·s-
Otras unidades: km/h, nudos (millas marinas/h)
Del mismo modo que el vector desplazamiento, la velocidad media sólo tiene en cuenta los instantes inicial y final, independientemente de cómo haya sido el movimiento entre ambos instantes. Sólo nos da información sobre el promedio de velocidad en el intervalo. NO nos dice cómo se mueve en un instante concreto.
6.2.2 Velocidad instantánea ( v
r ): Indica cómo varía la posición del móvil en cada instante.
Hemos visto que la velocidad media no nos da información sobre cómo se mueve la partícula en un instante concreto. Pero si calculamos la velocidad media en un intervalo corto de tiempo, la información del movimiento resulta más precisa. Cuanto más corto sea el tiempo que dejemos pasar, más se aproximará la velocidad media a la velocidad que lleva el móvil en el instante que estamos estudiando (velocidad instantánea).
r
r 0 r
r
r
r 0 r
r r
r ∆
r
r
r 0
r r
r ∆ v m
r
6.3.2 Aceleración instantánea ( a
r ): Indica cómo cambia la velocidad del móvil en un instante determinado.
Al igual que en el caso de la velocidad instantánea, se calcula mediante un paso al límite.
dt
dv
a
dt
dv
t
v
a a
lim m t 0
lim t 0
r
r
r r
r r
∆
∆ ∆ ∆
Es decir, la aceleración mide cómo cambia la velocidad de móvil en cada instante, ya sea porque cambia su módulo (rapidez) o su dirección.
Se mide en las mismas unidades que la aceleración media. [a (^) m]= m/s 2 = m·s - Por ejemplo, si el módulo de una aceleración es de 2 m/s 2 , significa que su rapidez cambia en 2 m/s por cada segundo de tiempo que pasa. La aceleración NO nos dice nada sobre distancia recorrida
Importante: Es preciso tener muy claro que la aceleración NO nos dice cómo se mueve la partícula ni hacia dónde se
mueve. Eso es la velocidad. La aceleración nos informa de si la velocidad cambia, de qué modo y hacia dónde está
cambiando.
El vector aceleración tiene componentes cartesianas x e y.
j a i a j
dt
dv
i
dt
dv
dt
dv
a x y
x r y r r r
r
r
6.3.3 Componentes intrínsecas de la aceleración: aceleraciones tangencial ( at
r ) y normal ( an
r )
Cuando en un movimiento cambia la velocidad, puede ser que cambie su rapidez, su dirección, o ambas cosas. Podemos estudiar estos cambios por separado, descomponiendo la aceleración como la suma de dos componentes distintas de las cartesianas, denominadas componentes intrínsecas :
- Aceleración tangencial ( at
r ):
- Lleva la misma dirección del vector velocidad (puede ir en el mismo sentido o en el opuesto). NO modifica la dirección del movimiento.
- Modifica la rapidez (el módulo de la velocidad). Hace que el movimiento sea más rápido o más lento. Si el sentido de at
r coincide con el de v
r Æ aumenta la rapidez Si el sentido de at
r es el opuesto al de v
r Æ disminuye la rapidez
En módulo, se calcula con dt
d v a (^) t
r
Por ejemplo, al pisar el acelerador o el freno de un coche originamos una aceleración tangencial. Varía la rapidez, pero no cambia la dirección.
- Aceleración normal (o centrípeta) ( an
r ):
- Lleva dirección perpendicular (=normal) a la velocidad. Modifica la dirección del movimiento, indicando hacia dónde se desvía. Apunta hacia el centro de la curva.
- NO modifica la rapidez (el módulo de la velocidad).
En módulo, se calcula con R
v a
2 n =^ donde R es el radio de la curva que describe en ese momento
Por ejemplo, al girar el volante del coche originamos una aceleración normal, que hace variar la dirección del movimiento.
La suma de ambas componentes es, lógicamente, el vector aceleración:
a at a n
r r r = + Æ en módulo 2 n
2 t a 2 = a + a
6.4 CLASIFICACIÓN DE MOVIMIENTOS:
Existen múltiples clasificaciones posibles para los movimientos. Veremos dos de ellas.
Según los valores de a
r y v
r :
r = 0 v
r = cte= 0. Æ Estado de reposo. v
r = cte ≠ 0. Æ Movimiento rectilíneo uniforme (MRU):
r =cte ≠ 0 Æ Movimiento uniformemente acelerado (MUA)
r y a
r van en la misma dirección Æ Trayectoria recta (MRUA)
r y a
r tienen direcciones distintas Æ Trayectoria curva Movimiento
parabólico
r ≠ cte Movimiento variado.
Según los valores de at
r y an
r :
r = 0 Rapidez constante. Movimiento uniforme (no tiene por qué ser rectilíneo)
r = 0 y an
r = cte Æ v = cte, R = cte Æ Movimiento circular uniforme (MCU)
r = 0 Trayectoria recta Æ Movimiento rectilíneo (no tiene por qué ser uniforme).
r y an
r variables Æ Movimiento variado.
6.5 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME (MRU):
Este tipo de movimiento se caracteriza por una velocidad constante en módulo, dirección y sentido. Por tanto:
Su aceleración es nula ( a
r = 0 ) Su rapidez es constante (recorre la misma distancia en cada segundo) Su trayectoria es rectilínea (al ser constante la dirección de la velocidad en todo momento).
Ecuación del MRU: Sabiendo que el vector velocidad se mantiene constante ( v
r =cte)
r r v (t t ) r r v (t t ) t t
r r v (^0000) 0
(^0) → − = ⋅ − → = + ⋅ − −
−
r r r r r r
r r r Si t 0 = 0 Æ r^ =^ r 0 + v ⋅ t
r r r
6.6 MOVIMIENTO UNIFORMEMENTE ACELERADO (MUA):
Este tipo de movimiento se caracteriza porque posee aceleración constante en módulo, dirección y sentido.( a
r
cte) La velocidad (vector) varía a ritmo constante. La rapidez del movimiento ( v ) varía, aumentando o disminuyendo. La trayectoria que sigue depende de las direcciones de v 0
r y a
r :
Si v 0
r =0 Æ Trayectoria rectilínea
Si v 0
r y a
r van en la misma dirección (son paralelos) Æ Trayectoria rectilínea Si v 0
r y a
r van en direcciones distintas Æ Trayectoria curvilínea (parabólica)
Ecuaciones del M.U.A:
Ecuación de la velocidad: Sabiendo que a
r =cte:
v v a (t t ) t t
v v a (^00) 0
(^0) → = + ⋅ − −
−
r r r
r r r Si t 0 = 0 Æ v = v 0 + a ⋅ t
r r r
Ecuacion de la posición: 2 2 0
1 r = r 0 + v 0 ⋅ (t − t 0 ) + a ⋅ (t − t )
r r r r
Si t 0 = 0 Æ
2 2
1 r = r 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t
r r r r
Puede comprobarse que, lógicamente, al derivar la ecuación del movimiento obtenemos la de la velocidad.
b) Para t = 1 min = 60 s Æ x (60) = - 3800 m ; r
r (60) = - 3800 i
r m. Se encuentra a 3800 m de la estación.
c) r r r 0
r r r
∆ = − = - 3800 i
r
r ) m = 1200 i
r
m ; ∆ r = 1200 m. Se ha desplazado 1200 m en sentido
positivo. d) Cuando llega a la estación: x = 0 Æ - 5000 + 20 t = 0 Æ t = 250 s tarda en llegar a la estación.
Ejemplo: Resolución de un movimiento de caída libre (parabólico): Desde un acantilado de 30 m de altura sobre el nivel del mar, se lanza una piedra hacia el mar, con una velocidad de 20 m/s y formando un ángulo de 30º con la horizontal. Calcular la altura máxima que alcanza y a qué distancia del acantilado caerá la piedra.
[ Colocamos el sistema de referencia en la base del acantilado
(de esta forma las coordenadas x e y de la piedra serán siempre
positivas) ]
Datos iniciales: r 0
r
= 30 j
r
m ; a
r = g
r
= -10 j
r
m s -2^ = cte , t 0 = 0
Descomponemos v 0
r
: v 0x = 20·cos30º = 17,32 m/s
v 0y = 20·sen30º = 10 m/s
[ambas componentes son positivas]
v 0
r
= 17,32 i
r
+ 10 j
r
m s -
Se trata de un movimiento uniformemente acelerado, ya que la aceleración es constante.
Sigue una trayectoria parabólica, pues v 0
r
y a
r no van en la misma dirección.
Ecuaciones: 2 2
1 r = r 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t
r r r r Æ r 30 j 17 , 32 ti 10 t j 5 t^2 j(m)
r r r r r = + ⋅ + ⋅ − ⋅ Æ x = 17,32· t (m) y = 30 + 10· t – 5 t^2 (m) v = v 0 + a ⋅ t
r r r Æ v 17 , 32 i 10 j 10 t j
r r r r = + − ⋅ Æ vx = 17,32 m/s = cte
vy = 10 – 10· t m/s
[ Es decir, la piedra lleva un movimiento uniforme en el eje x (siempre avanza al mismo ritmo en horizontal)
y un movimiento acelerado en el eje y, ya que la aceleración va sólo en vertical. ]
Cálculo de la altura máxima:
[ En el punto de altura máxima, se cumple que la componente vertical de la velocidad se anula ] vy = 0
vy = 10 – 10· t = 0 Æ t = 1 s. [ tarda 1 s en alcanzar su altura ( y ) máxima. Sustituimos en la ecuación de y ]
y = 30 + 10· t – 5 t^2 = 35 m. = ymáx [En ese momento está a 35 m de altura sobre el mar.]
Cálculo del punto de impacto con el mar (alcance horizontal): Cuando llega a la superficie del mar, se cumple que su altura es cero ( y = 0 ).
y = 30 + 10· t – 5 t^2 = 0 Æ t = 3,65 s [se desprecia la otra solución t = - 1,65 s, que carece de sentido]
Sustituimos en x x = 17,32· t = 63,22 m. Cae a esa distancia horizontal desde la base del acantilado.
6.8. MOVIMIENTOS CIRCULARES:
6.8.1 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME (M.C.U):
El movimiento circular uniforme (MCU) es un movimiento acelerado (la dirección de la velocidad cambia), dotado únicamente de aceleración centrípeta (aceleración normal). La trayectoria que describe es una curva de radio constante: una circunferencia.
Un movimiento circular es más sencillo de estudiar si usamos coordenadas polares (en lugar de coordenadas x e y, usamos el radio y el ángulo que forma con uno de los ejes, normalmente el semieje x +). Como el radio de la circunferencia que describe se mantiene constante ( R ), para indicar la posición del móvil
g
(^0) r
r
r
y 20 m/s
x
y máx
O_
_
30 m 30º
R +
_
O
v0y
v 0x
v 0
en la circunferencia sólo tendremos que dar el valor del ángulo θ , que se denomina posición angular y se mide en radianes (rad) ( 2π rad Æ 360º )
El desplazamiento angular entre dos posiciones se calcula como la diferencia entre las mismas ∆ θ = θ− θ 0
La rapidez con que varía el ángulo θ descrito proporciona una medida de la velocidad del movimiento circular. A esa velocidad relacionada con el ángulo se la denominará “velocidad angular”, que se simboliza como ω y que, en términos de velocidad angular media, se expresa como:
0
0 t t − t
− = =
θ θ ∆
∆θ ω (^) Unidades (S.I) = radián por segundo (rad·s-1^ )
Ecuación del movimiento circular uniforme : Sabemos que en un MCU, la velocidad angular es constante. Despejando:
θ −θ 0 =ω⋅ ( t − t 0 ) → θ=θ 0 +ω⋅ (t − t 0 ) En el caso de que t 0 = 0. Æ θ=θ 0 +ω⋅ t
Magnitudes asociadas al M.C.U: Al tratarse de un movimiento periódico, que se repite cada cierto tiempo, podemos definir:
- Período ( T ): Tiempo que tarda el cuerpo en dar una vuelta completa (o repetir su posición). En el S.I. se
mide en segundos. ω
2 π T =
- Frecuencia ( υ ) : Es la magnitud inversa del periodo. Indica el número de vueltas (o número de veces que se repite una posición) por unidad de tiempo.
π
ω υ υ 2
; T
1 = = Unidad en el S.I: 1/s = s-1^ (también se denomina hertzio (Hz)).
Relación entre magnitudes angulares y lineales: Posición y desplazamiento sobre la trayectoria: s = θ ⋅ R ; ∆ s =∆ θ⋅ R
Velocidad lineal (rapidez, v) v = ω⋅ R
6.8.2 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA).
Cuando la velocidad angular de un cuerpo que se mueve describiendo círculos varía, se dice que está dotado de aceleración angular, que se simboliza con la letra α. Indica cómo varía la velocidad angular con el tiempo.
0
0 t t − t
− = =
ω ω ∆
∆ω α
La unidad de la aceleración angular en el sistema internacional es el radián por segundo al cuadrado (rad/s^2 ). Si α es constante, se dice que el movimiento circular es uniformemente acelerado (MCUA)
Ecuaciones del MCUA:
Posición: 2 2 0
1 θ=θ 0 +ω 0 ⋅ ( t − t 0 ) + α⋅ (t − t ) Si t 0 = 0 2 2
1 θ=θ 0 +ω 0 ⋅ t + α⋅ t Velocidad: ω =ω 0 +α⋅ ( t − t 0 ) ω=ω 0 +α⋅ t
Relación entre magnitudes angulares y lineales:
Aceleración tangencial: at =α⋅ R
Aceleración normal: R R
v a 2
2 n = =ω ⋅
R
_
θ
O
s
ω < 0 ω > 0
12.-La posición de un punto que se mueve en línea recta a lo largo del eje de abscisas (eje horizontal varía con el tiempo, según la ecuación: x = 4t 2 – 3t + 11, donde x se expresa en metros y t en segundos. a) Calcula la velocidad y la aceleración con que se mueve el punto en cualquier instante. b) Valor de la velocidad y aceleración para t=2 s y t= 3 s.
13.-Calcular la velocidad y la aceleración de un móvil conociendo la ecuación del movimiento del mismo:
r
r = (t – 5) i
r
r (m).
14.-La posición de una partícula, viene dada por las siguientes ecuaciones paramétricas (S.I.): x = t^2 ; y = 3t; z= Hallar la posición, velocidad y aceleración de la partícula a los 2 s.
15.-El vector de posición de un punto es r
r = (t + 1) i
r
r
r (m). Calcular: a) Posición, velocidad y aceleración en t=2 s (vector y módulo). b) Velocidad media entre t=2 s y t=5 s y su modulo.
SOLUCIONES: Problemas 1 al 15:
1. a) r 0
r = 3 j
r m ; b) r
r (5) = 15 i
r + 53 j
r m ; c) r
r ∆ = 15 i
r + 50 j
r m , ∆ r = 52,2 m;
d) x = 3 t (m) , y = 2 t^2 + 3 (m) e). y = 2/9 x^2 + 3
2. r
r (t) = (t + 1) i
r + t^2 j
r
; y = x^2 – 2 x + 1
3. a) x = 3 ; b) r 0
r =3 i
r m , r
r (4)= 3 i
r + 8 j
r (m) ; c) r
r ∆ (^) = 8 j
r m , ∆ r = 8 m. Coinciden
4. v
r = 10 t i
r + 6 j
r m s-1^ ; v
r (2)= 20 i
r + 6 j
r
m s-1^ ; v = 20,88 m s-
5. a) x = 2t (m) , y = 5 - t^2 (m) ; b) La curva es una parábola ; c) r
r ∆ = r
r (3) - r
r (2)= 2 i
r
- 5 j
r
m.
6. a) vm
r = 21 i
r + 2 j
r m s-1^ ; b) v = 21,1 m s-1^ ; c) v
r (t)= 6 t i
r + 2 j
r m s-1^ v = 36 t^2 + 4 m s-
d) v
r (3)= 18 i
r + 2 j
r
m s-1^ , v(3) = 18,11 m s-
7. a) r 0
r = -4 i
r m ; b) r
r (3)= 2 i
r m ; c) r
r ∆ = 6 i
r m , ∆ r = 6 m. ; d) x = 2 t – 4 m , y = t^2 – 3 t m
e) y = ¼ x^2 + ½ x – 2 (m)
8. a) r
r (2)= - i
r m; b) y = 2 x + 6 − 2 ; o también x = ½ y^2 + 2y - 1 c) v
r (2)= 2 i
r + j
r
m s-1^ ; v(2) = 2,24 m s-
9. a) r
r (3)= 235 i
r m , v
r (3)= 212 i
r m s-1^ , a
r (3)= 124 i
r
m s-2^ ;
b) r(3)= 235 m , v(3)= 212 m s-1^ , a(3)= 124 m s-
10. a) am
r = (^) i
r ms-2^ ; b) a
r (t)= 2 t (^) i
r
ms-2^ , a(1) = 2 ms-2^ ; c) at (1)=0,894 ms-2^ , an (1)=1,789 ms -
d) R(1)=2,79 m.
11. R = 12,84 m.
12. a) r
r (t) = 4t^2 – 3t + 11 (m) ; b) v
r (t) = (8t – 3) i
r m s-1^ , a
r = 8 i
r
m s-2^ ;
c) v
r (2) = 13 i
r m s-1^ , v
r (2) = 21 i
r m s-1^ ; a
r (2)= a
r (3) = 8 i
r
m s-2^ = cte.
13. v
r (t)= i
r + (6 t^2 -3) j
r m s-1^ , a
r (t)= 12 t j
r
m s-
14. r
r (2)= 4 i
r + 6 j
r + 5 k
r m ; v
r (2)= 4 i
r + 3 j
r m s-1^ ; a
r = 2 i
r
m s-
15. a) r
r (2)= 3 i
r + 4 j
r m , r(2)= 5 m ; v
r (2)= i
r + 4 j
r + 16 k
r
m s-1^ , v(2)= 16,52 m s-1^ ;
a
r (2)= 2 j
r + 40 k
r m s-2^ , a(2)= 40,05 m s-2^ ; b) vm
r = i
r + 7 j
r + 175 k
r
m s-1^ , vm= 175,14 m/s
EJERCICIOS:
Sobre tipos de movimiento
- ¿Cómo será la trayectoria de un movimiento con las siguientes características?:
a) a
r
= 0 b)a n = 0 c)a t = 0 ,a n = cte d)a t = 0 , a n aumentando
e) a
r = cte y paralela a v 0
r , f) a
r = cte y no paralela a v 0
r .
- Dibuja la trayectoria aproximada que seguiría en cada caso el punto móvil de la figura, atendiendo a los datos de velocidad inicial y aceleración. Explica qué tipo de movimiento llevará (la aceleración se supone constante).
- Un móvil se mueve con velocidad constante de módulo 2 m/s y formando 30º con el eje y. Cuando comenzamos a estudiar el movimiento, se encuentra sobre el eje x, a 3 m de distancia del origen en sentido positivo.
Razona de qué tipo de movimiento se trata y calcula su ecuación de movimiento. ( r
r = (3+t) i
r + 1,73 t j
r m (existen
otras soluciones))
19.- En un movimiento se sabe que: a
r n = 0 ,^ a
r t = 2^ i
r (m/s^2 ), y en el instante inicial se cumple que v
r 0 = 2^ i
r m/s y r
r 0 =^ i
r
r m Razona de qué tipo de movimiento se trata y calcula v
r y r
r para cualquier instante. ( r
r =(1+ 2 t + t^2 ) i
r + j
r m ; v
r = (2+2 t) i
r m/s )
- De un movimiento sabemos que se encuentra sometido únicamente a la acción de la gravedad, y que
inicialmente se encontraba en el origen, moviéndose con una velocidad v
r 0 = 3^ i
r
r m/s. Razona de qué tipo de
movimiento se trata y calcula r
r y v
r para cualquier instante.( r
r =3 t i
r + ( - t – 5 t^2 ) j
r m ; v
r = 3 i
r + (-1-10 t) j
r m/s )
Sobre movimientos en una dimensión
- Un tren que marcha por una vía recta a una velocidad de 72 km/h se encuentra, cuando comenzamos a estudiar su movimiento, a 3 km de la estación, alejándose de ésta. Calcula:
a) Ecuación de movimiento del tren. ( r
r = (3000 + 20 t ) i
r m.)
b) Tiempo que hace que pasó por la estación, suponiendo que siempre lleva movimiento uniforme. ( 2 min 30 s.)
- Un ciclista se mueve en línea recta, y acelera pasando de 15 km/h a 45 km/h en 10 s. Calcular, en unidades del S.I.:
a) Aceleración del ciclista, supuesta constante. ( a
r = 0,83 i
r m s -2^ ) b) Distancia recorrida en ese tiempo. ( ∆ r = 83,2 m) c) Si pasados esos 10 s, el ciclista frena hasta detenerse en 5 s, calcular la aceleración de frenado y la distancia
recorrida desde que comenzó a frenar hasta que se para. ( a
r = - 2,5 i
r m s -2^ , ∆ r = 31,25 m)
23.-Un coche que lleva una velocidad de 144 km/h, frena; y después de recorrer 160m se para. Calcular:
a)La aceleración, supuesta constante. ( a
r = - 5 i
r
m s-2^ )
b)Tiempo invertido por el móvil en el frenado. ( 8 s )
- Un automóvil circula a 72 km/h. En ese momento, el conductor ve un obstáculo en la carretera y pisa el freno hasta que el coche se detiene. Suponiendo que el tiempo de reacción del automovilista es de 0,5 s, y que la aceleración de frenado es (en módulo) de 5 m/s 2 , calcular:
a) Distancia recorrida durante el tiempo de reacción (durante ese tiempo aún no ha pisado el freno).( 10 m)
b) Tiempo total que tarda el coche en detenerse. ( 4,5 s)
c) Distancia total que recorre el coche hasta que se para. ( 50 m)
d) Velocidad y posición del automóvil al cabo de 2 s desde que empezamos a estudiar este movimiento.
( v
r = 12,5 i
r m s -1^ ; r
r = 34,38 i
r m )
v
r
a = 0
r
v
r
a
r v
r
a
r v
r
a
r
v
r
a
r
- Jugando al billar, golpeamos la bola, que se encuentra inicialmente en el punto que indica la figura, imprimiéndole una velocidad de 1 m/s en la dirección dibujada. Despreciamos el rozamiento. a) Calcule razonadamente la ecuación de movimiento de la bola.
( r
r =(0,5 + 0,87 t ) i
r + (0,5 + 0,5 t ) j
r m)
b) Calcule en qué punto de la banda rebota la bola.
(Rebota a 2,24 m de la banda izquierda)
- Una pelota rueda por un tejado que forma 30° con la horizontal, de forma que cuando cae por el alero lo hace con una velocidad de 5 m/s. La altura del alero desde el suelo es de 20 m. Calcular:
a) Tiempo que tarda en caer al suelo. ( t= 1,76 s.)
b) Velocidad con la que llega la pelota al suelo. ( v
r = 4,33 (^) i
r
r
m/s )
c) Repetir el problema suponiendo la misma velocidad de salida, pero un tejado horizontal.
(t= 2 s ; v
r = 5 i
r
r
m/s)
- Un portero de fútbol saca de portería de modo que la velocidad inicial del balón forma 30° con la horizontal y su módulo es de 20 m/s. Despreciando el rozamiento con el aire, calcule:
a) ¿A qué distancia del punto de lanzamiento tocará el balón el césped? (x= 34,64 m)
b) Altura máxima que alcanza el balón y tiempo que tarda en alcanzar esa altura máxima. ( 5 m , 1 s )
c) Repetir los dos apartados anteriores suponiendo que el balón sale con un ángulo de 45° con el suelo.
( 40 m , 10 m , 1,4 s )
- Un mortero dispara proyectiles con un ángulo de 60° con la horizontal.
a) ¿Con qué velocidad debe lanzar el proyectil para hacer impacto en una trinchera situada a 200 m?(v 0 = 48 m/s )
b) Si a los 190 m del punto de disparo existe una casa de 20 m de altura, ¿conseguirá proteger ese obstáculo la
trinchera? ( Sí, choca a 15,6 m de altura)
40.-Desde la terraza de un edificio de 50 m de altura se lanza horizontalmente una piedra con una velocidad de 5 m/s. Calcula:
a)¿Qué anchura deberá tener la calle para que esa piedra no choque contra el edificio situado enfrente?(>15,
m)
b)¿Cuánto tiempo tardará en caer la piedra? (3,16 s)
41.-Un avión vuela horizontalmente con una velocidad de 360 km/h a una altura de 500 m. Al pasar por la vertical de un punto A suelta una bomba. Calcula:
a)¿Cuánto tiempo tardará en llegar la bomba al suelo? ( 10 s )
b)¿A qué distancia del punto A se producirá la explosión? ( 1000 m )
c)¿Con qué velocidad llegará la bomba al suelo? ( v
r = 100 i
r
- 100 j
r m s -1^ )
42.- Jesús Navas lanza hacia Kanouté (que se encuentra 30 m por delante) un balón en profundidad formando un ángulo de 37º con la horizontal y a una velocidad inicial de 24 m/s. Kanouté arranca a correr con movimiento uniforme en el mismo instante del lanzamiento. ¿Qué velocidad debe llevar para alcanzar al balón en el momento en que éste toque el suelo? ( 8,8 m/s )
43.-Un bombardero está haciendo una pasada sobre un destructor a una altura de 300 m. La velocidad del avión es 480 km/h. ¿De cuánto tiempo dispone el destructor para cambiar su rumbo una vez que han sido soltadas las
bombas? ( 7,75 s)
44.-Un saltador de longitud salta 8 m cuando lo hace con un ángulo de 30º con la horizontal. ¿Cuánto saltaría, en
las mismas condiciones, si lo hiciera con un ángulo de 45º? ( 9,05 m, salta con una rapidez de 9,
m/s)
45.-Un jugador de baloncesto desea conseguir una canasta de 3 puntos. La canasta está situada a 3,05 m de altura y la línea de tres puntos a 6,25 m de la canasta. Si el jugador lanza desde una altura de 2,20 m sobre el suelo y
con un ángulo de 60º, calcula la velocidad inicial del balón para conseguir canasta. (v 0 =8,85 m/s;
v 0
r =4,42 i
r +7,66 j
r m/s)
0,5m
0,5m 30º
3m
1,5 m
- Un avión de salvamento que vuela a una altura de 100 m y a una velocidad de 100 m/s tiene que lanzar un paquete de provisiones a unos náufragos que se encuentran en una balsa. Calcular: a) desde qué distancia horizontal hasta la balsa tienen que soltar el paquete para que éste caiga al mar 10 m antes
de la balsa.(Desde 457,2 m)
b) Velocidad con que el paquete llega al mar. ( v
r =100 i
r
- 44,7 j
r m/s )
- Un bombardero que vuela a 150 m de altura y a una velocidad de 300 km/h tiene que destruir un tanque que avanza a 36 km/h. Para ello tiene que soltar una bomba desde cierta distancia antes de encontrarse a su altura.
Calcular la distancia horizontal hasta el tanque desde la que tiene que soltar la bomba el avión. ( Desde 402 m
aprox.)
Movimientos circulares:
- Una rueda de 0,5 m de radio gira a 20 rad/s. Calcular:
a) Periodo, frecuencia del movimiento ( 0,315 s. , 3,18 Hz)
b) Ecuación del movimiento ( θ= 20 t rad )
c) Tiempo que tarda en dar 100 vueltas completas (31,4 s.)
d) Ángulo recorrido en 5 minutos. ( 6000 rad)
e) Velocidad de un punto: 1) del exterior, 2) a 25 cm del centro. ( 10 m/s , 5 m/s )
- Un coche toma una curva con forma de circunferencia de 50 m de radio de curvatura con una rapidez constante de 72 km/h. Calcular:
a) Aceleración tangencial y normal de este movimiento. ( 0 , 8 m/s^2 )
b) Velocidad angular y ecuación de movimiento. ( 0,4 rad/s , θ = 0,4 t rad )
c) Periodo y frecuencia, si el movimiento describiera una circunferencia completa.( 15,7 s , 0,064 Hz)
- El periodo del M.C.U. de un disco es de 5 s. Calcular:
a) Frecuencia, velocidad angular (0,2 Hz , 1,257 rad/s)
b) Ecuación de movimiento. ( θ = 1,257 t rad )
c) Velocidad de un punto del disco a 10 cm del centro. ( 0,13 m/s )
d) Aceleración lineal (tangencial) de dicho punto. ( 0,158 m/s^2 )
e) Ángulo y distancia recorrida por el punto anterior en 1 minuto. ( 75,42 rad , 7,542 m)
- Los discos que se usan en los tocadiscos (los LP) giran a un ritmo de 33 rpm (revoluciones por minuto). Calcular:
a) Velocidad angular, frecuencia y periodo. ( 3,46 rad/s , 0,55 Hz , 1,82 s. )
b) Ecuación de movimiento. ( θ = 3,46 t rad )
c) Tiempo que tardará el disco en girar 100 rad.( 28,9 s )
d) Velocidad y aceleración de un punto situado: 1) a 15 cm del centro (0, 52 m/s , 1,8 m/s^2 )
2) en el centro. (0 m/s , 0 m/s^2 )
52.-Una sierra eléctrica gira con una velocidad de 1000 rpm. Al desconectarla, se acaba parando en 5 s. Calcular:
a)La aceleración angular de frenado. ( - 20,94 rad/s^2 )
b)La aceleración lineal de los dientes de la hoja si ésta tiene un diámetro de 30 cm. ( - 3,14 m/s^2 )
53.-Un motor es capaz de imprimir una velocidad angular de 3000 rpm a un volante en 10 s cuando parte del reposo. Calcular:
a)La aceleración angular del proceso. ( 31,42 rad/s^2 )
b)¿Cuántos radianes gira el volante en el tiempo anterior? ( 1571 rad, aprox. 250 vueltas)
54.-Un volante gira a 3000 rpm y mediante la acción de un freno se logra detenerlo después de dar 50 vueltas. Calcula:
a)¿Qué tiempo empleó en el frenado? ( 2 s )
b)¿Cuánto vale su aceleración angular? ( - 157,1 rad/s^2 )
55.-La velocidad angular de un motor aumenta uniformemente desde 300 rpm hasta 900 rpm mientras el motor efectúa 50 revoluciones. Calcula:
a)¿Qué aceleración angular posee? ( 12,6 rad/s^2 )
b)¿Cuánto tiempo se empleó en el proceso? ( 5 s )
