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UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS ESPE
NOMBRE: -Bryan Enriquez NRC: 1823 FECHA: 20/05/
CAP´ITULO 1
EJERCICIO 1
1.- El movimiento de una part´ıcula est´a definido por la relaci´on: x = t^3 − (t − 2)^2 , donde x y t est´an expresados en metros y segundos respectivamente. Determinar a) cuando la aceleraci´on es cero; b) la posici´on y velocidad de la part´ıcula en ese tiempo.
SOLUCI ´ON:
a) dxdt = v v = 3t^2 − 2(t − 2)
a = dvdt a = 6t − 2
0 = 6t − 2 ⇒ t = 0,33(s)
b) x = t^3 − (t − 2)^2 ⇒ t = 0,33(s) x = − 2 , 75(m) v = 3t^2 − 2(t − 2) v = 3,67(m/s)
4.- La aceleraci´on de una part´ıcula est´a definida por la relaci´on: x = t^2 − (t − 2)^3 , donde a y t est´an expresados en (pies/s^2 ) y en segundos respectivamente. Conociendo que cuando cuando la velocidad y la posici´on de la part´ıcula cuando t = 0,5(s)
SOLUCI ´ON:
s = x = t^2 − (t − 2)^3 a) x ⇒ t 1 = 3, 54 s ⇒ V = 0 x= 3, 542 − (3, 04 − 2)^3 v = ˙x = 2t − 3(t^2 − 4 t + 4) x 1 = 8, 88 f t. 0 = 2t − 3(t^2 − 4 t + 4) x ⇒ t 2 = 1, 13 t 1 = 3,54(s) x 2 = 1, 93 f t. t 2 = 1,13(s) d = 13,89(m)
7.- El punto A oscila con una aceleraci´on: a = 40-160x, donde a y x est´an expresados en (m/s^2 ) y en metros respectivamente. La magnitud de la velocidad es 0.3(m/s) cuando x = 0.4(m). Deter- minar a) la m´axima velocidad de A; b) las dos posiciones en las cuales la velocidad de A es cero.
a = 40 − 160 x a = 0 v = dxdt ; dxv = dva 0 = 4 − 160 x
a = dvdt ;
0 , 4 a.dx^ =^
∫ (^) v
∫ 0 ,^3 v.dv^ x^ = 0,^25 0 , 25 0 , 4 (40^ −^160 x).dx^ =^
v^2 2
∫ (^) x 0 , 4 (40^ −^ 160).dx^ =^
∫ (^) v 0 , 045 v.dv (5 − 3 ,2) = v
2 2 −^0 ,^045 (40x^ −^80 x
v = 1,920(ms) 40 x − 80 x^2 − 3 ,2 = − 0 , 045 40 x − 80 x^2 − 3 ,155 = 0 x 1 = 0,0987(m) x 2 = 0,402(m)
SOLUCI ´ON:
10.- La aceleraci´on de una part´ıcula est´a definida por la relaci´on: a = k(1 − e−x), donde k es una constante. Conociendo que la velocidad de la part´ıcula es v =+9 (m/s) cuando x = ?3(m) y que la part´ıcula parte del reposo en el origen, determinar: a) el valor de k; b) la velo- cidad de la part´ıcula cuando x = -2 (m)
SOLUCI ´ON:
a = k(1 − e−x) b)
∫ (^) v 0 v.dv^ = 2,^518 ∗^
0 (1^ −^ e
−x).dx
v = 9(m/s) v
2 2 = 2,^518 ∗^ (−2 +^ e
(^2) − e (^0) )
vo = 0(m/s) v =
22 ,108(m^2 /s^2 ) v.dv∫ = a.dx v = 4,701(m/s) 0 9 v.dv^ =^
0 k(1^ −^ e
−x).dx 81 2 =^ k(−3 +^ e
(^3) − e− (^0) ) 81 2 =^ k(16,0856) k = 2, 518.
13.- Una part´ıcula parte desde el reposo en la posici´on x = 0 y con una aceleraci´on a = 0 , 8
v^2 + 49, donde a est´a expresado en (pies/s^2 ) y v est´a expresado en (pies/s). Determinar: a) la posici´on de la part´ıcula cuando v = 24 (pies/s); b) la velocidad de la part´ıcula cuando x = 40 (pies).
SOLUCI ´ON:
dx v =^
dv a a^ =^ v
dx x =^
dv∗v ∫ (^) x a^ qquad^ da^ = 2v.dv o dx^ =^
0
dv.v 0 , 8 √ v^2 +49 dv^ =^
da 2 v
x =
0
da.v 0 , 8 .a x^ =^
1 1 , 6
0 da(a)
− 1 / 2
para x = 40(f t) x = (^11) , 6
2 a^1 /^2 )
∣^24
40 0 dx^ =^
∫ (^) v 0
dv.v 0 , 8 √ v^2 +49 x^ = 1,^25
v^2 + 49
∣^24
0
para t = 0(s) x˙ = 0 y y˙ = 3π para t = 13 (s) x˙ = −^43 π −
3 y y˙ = 0 para t = 1(s) x˙ = 0 y y˙ = −π
22.- Un esquiador parte con una velocidad de 25(m/s) en direcci´on horizontal y recorre una pendiente que forma 30◦^ con la horizontal. Determinar: a) El tiempo empleado entre la partida y llegada; b) la longitud d del salto; c) la m´axima distancia vertical entre el esquiador y la pendiente de la colina.
SOLUCI ´ON:
x = vox t tan(30) = hx sin(30) = hd h = 5t^2 t = 1,45(s)
x = 25t tan(30) = 5 t 2 25 t d^ =^
h sin(30) hmax^ = 10,62(m)
t =
2 h g t^ = 5tan(30)^ d^ = 83,72(m)
t^2 = h 5 t = 2,9(s) h = 5t^2
25.- Un aspersor de agua est´a operando en el punto A sobre un terreno inclinado que forma un ´angulo α con la horizontal. El aspersor descarga agua con una velocidad inicial vo y un ´angulo φ con la vertical, el cual var´ıa desde +φ a −φ. Sabiendo que vo = 40 (pies/s), φ = 40◦^ y α = 10◦. Determinar la distancia horizontal entre el aspersor y los puntos B y C los cuales definen el ´area regada.
latex/fig25.png
SOLUCI ´ON:
v 0 = 24(f t) φ = 40 α = 10 {θ = 90θ = 50θ = 130}
y = tan θ. gx
2 2 v 0 (cos θ)^2 x^ =^ −^1 ,19 + 0,^6 x
2
x tan (10) = 1, 19175 x − 0 , 066765 x^2
y = 1, 19175. −^32 ,^2 x
2 2(24)^2 (cos 50)^2 x^ = 0
x = − 20 ,22(f t) y = 1, 19175 − 0 , 6675 x^2
x 1 = 0(f t) x 2 = 15(f t)
28.- La leva rota siguiendo la rueda B sin deslizamiento. Sabiendo que la componente normal de la aceleraci´on de los puntos de contacto en C de la leva A y la rueda B son: 0.66(m/s^2 ) y 6.8(m/s^2 ) respectivamente. Determinar el di´ametro de la rueda giratoria B.
SOLUCI ´ON:
vA = vB
vA^2 = vB 2
ρA.anA = ρB .anB
ρB = 0 ,66(0 6 , 8 ,06)
ρB = 0, 0058 dB = 2ρB = 11,647(mm)
31.- Los carros de carreras A y B se est´an moviendo sobre porciones de una pista circular. En el instante mostrado, la velocidad de A se incrementa a raz´on de 8(m/s^2 ) y la velocidad de B se incrementa a raz´on de 3(m/s). Para las posiciones mostradas determinar: a) la velocidad de B relativa a A; b) la aceleraci´on de B relativa a A.
latex/fig31.png
SOLUCI ´ON:
vA = (180 km/h ; 120 o) ⇒ (−90ˆx + 155,88ˆy) km/h vB = (162 km/h ; 315 o) ⇒ (114,35ˆx − 144 ,5ˆy) km/h
vB/A = vB − vA = (114,35ˆx − 144 ,5ˆy) − (−90ˆx + 155,88ˆy) = (204,55ˆx − 270 ,43ˆy) km/h
v = ˙rrˆ + r θ˙ ˆθ ⇒ v = (2ˆr + 0, 402 θˆ)(f t/s)
a = (¨r − r θ˙^2 )ˆr + (r θ¨ + 2 ˙r θ˙)θˆ ar = (¨r − r θ˙^2 )ˆr ⇒ ar = 11,89(f t/s^2 ) aθ = (r θ¨ + 2 ˙r θ˙)θˆ ⇒ aθ = 45,41(f t/s^2 )
aB/OA = ¨rˆr = 12(f t/s^2 )
37.- La trayectoria de la part´ıcula P es un Limacon. El movimiento de la part´ıcula est´a definido por la relaci´on: r = b [2 + cos (π · t)] y θ = π · t, donde θ esta expresado en radianes y t en segundos. Determinar: a) la velocidad y aceleraci´on de la part´ıcula cuando t = 2(s) b) el valor de θ para el cual la magnitud de la velocidad es m´axima.
latex/fig37.png
SOLUCI ´ON:
r = b [2 + cos (πt)] θ = πt r ˙ = b [sin (πt)] π θ˙ = π ¨r = −bπ^2 cos (πt) θ¨ = 0
v = rrˆ + r θ˙ ˆθ v = 3πbθˆ θ = 2N π , N = 0, 1 , 2 , 3 , 4 , 5
a = r θ˙ + 2 ˙r θ˙ a = − 4 bπ^2 rˆ
40.- El gr´afico v - s para un carro est´a dado para los primeros 500 pies de su movimiento. Construir el gr´afico a - s para 0 ≤ t ≤ 30. Que tiempo le tomar´a para recorrer los 500 pies de distancia. El carro parte de S=0 cuando t=0.
SOLUCI ´ON:
v = 0, 1 S + 10
dt = dsv
∫ (^) t 0 dt^ =^
0
ds 0 , 1 S+
t =
0
1 0 , 1 u
t = ln u ⇒ [0, 500]
t = 17,92(s)
