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CINEMATICA DEL CUERPO RIGIDO
MODELO DE CUERPO RIGIDO
Un cuerpo rígido es un sistema de puntos materiales cuyas distancias mutuas permanecen constantes por más grandes que sean las fuerzas que actúen sobre él. Esto determina la condición de rigidez que matemáticamente podemos expresar del siguiente modo:
Si empleamos letras para indicar las posiciones de cada partícula, esta condición se expresa
Es decir, ninguna fuerza que “actúe” sobre el cuerpo rígido será capaz de modificar la distancia que guarda cada una de las partículas que componen al sólido con todas las demás. Esta es su característica distintiva.
Elevando al cuadrado:
y derivando esta expresión respecto al tiempo obtenemos la condición sobre las velocidades.
Esta es la condición cinemática de rigidez , que podemos escribir
o, empleando letras, para cada par de puntos del sólido
Dividiendo por la distancia entre las partículas A y B
siendo cada miembro la proyección de la velocidad en la dirección del vector
La condición cinemática de rigidez implica que, dadas dos partículas, A y B , la proyección de sus respectivas velocidades sobre la recta que las une es la misma.
El que las dos proyecciones sean iguales quiere decir que la componente de las velocidades en esa dirección es la misma; las dos partículas avanzan o retroceden a lo largo de esa línea en igual medida, manteniendo su distancia relativa
Un cuerpo así solo existe en condiciones ideales, por eso se trata de un modelo, pero en muchos casos es posible aproximar el comportamiento de un cuerpo solido al de un cuerpo idealmente rígido ya que las deformaciones que sufre el objeto en su movimiento son muy pequeñas y a fines prácticos despreciables.
La condición de rigidez impone limitaciones a las posibles distribuciones de velocidades. Solo aquellos movimientos que preservan las distancias entre los puntos son admisibles. Estos movimientos posibles se conocen como movimientos rígidos.
En general, el movimiento de un sólido rígido puede ser muy complejo; sin embargo, haciendo oportunas descomposiciones, puede ser analizado por partes, lo que nos permitirá simplificar el problema.
En la siguiente animación se ha representado el movimiento de un bolo lanzado al aire:
CLASIFICACION DEL MOVIMIENTO DE LOS SOLIDOS RIGIDOS
MOVIMIENTO DE TRASLACION PURA
Un sólido rígido experimenta un movimiento de traslación cuando cualquier recta PQ que une dos puntos cualesquiera del cuerpo mantiene su dirección durante el movimiento.
Entonces se cumple que:
Cualquier punto del sólido rígido recorre trayectorias idénticas con la misma velocidad y aceleración y en consecuencia se puede hablar de una única velocidad o aceleración para el sólido rígido. Si se toman dos partículas A y B cualesquiera pertenecientes al sólido rígido, sus vectores posición se relacionan: 𝑟𝑟⃗𝐵𝐵 = 𝑟𝑟���⃗𝐴𝐴 + 𝐴𝐴𝐴𝐴�����⃗ Derivando la expresión anterior respecto del tiempo tenemos: 𝑑𝑑����⃗𝑟𝑟^ 𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑡𝑡 =^
𝑑𝑑𝑡𝑡 +^
Durante la traslación el vector 𝐴𝐴𝐴𝐴������⃗^ permanece constante, en modulo (ya la distancia entre dos puntos pertenecientes a un sólido rígido es invariable) y en dirección (pues en la traslación pura cualquier recta perteneciente a un sólido rígido mantiene su dirección en el movimiento); por lo que su derivada es nula:
𝑑𝑑��������⃗𝐴𝐴𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 0
Sustituyendo en la derivada y derivando de nuevo:
𝑑𝑑����⃗𝑟𝑟^ 𝐵𝐵 𝑑𝑑𝑡𝑡 =^
𝑑𝑑𝑡𝑡 → 𝑣𝑣⃗𝐵𝐵^ =^ 𝑣𝑣����⃗𝐴𝐴
𝑑𝑑����⃗𝑣𝑣^ 𝐵𝐵
𝑑𝑑𝑡𝑡 =^
Todos los puntos del sólido rígido tienen la misma velocidad y aceleración para un instante determinado. Por esta razón, en el caso de la traslación pura cuando se puede hablar de velocidad o aceleración del sólido rígido.
La traslación puede ser rectilínea o curvilínea.
Traslación rectilínea : todos los puntos del sólido recorren trayectorias rectas y paralelas entre si.
Traslación curvilínea : las trayectorias recorridas por los distintos puntos del cuerpo son curvas. En la Figura la estructura circular de la rueda tiene rotación pura pero los carritos, despreciando los pequeños balanceos, tienen un movimiento de traslación circular.
Los puntos A y B describen circunferencias iguales con sus centros desplazados, los puntos tienen velocidades y aceleraciones iguales y la posición del carrito es siempre horizontal (cualquier recta contenida en el cuerpo mantiene su dirección en el movimiento).
MOVIMIENTO DE ROTACION PURA O ROTACION ALREDEDOR DE UN EJE FIJO
Se dice que un sólido tiene un movimiento de rotación pura cuando gira alrededor de un eje fijo
Todos los puntos del sólido describen trayectorias circulares cuyos centros se encuentran alineados en una recta perpendicular a cada una de las trayectorias denominada eje de rotación. Los puntos situados sobre el eje de rotación tienen velocidad nula.
Para estudiar este tipo de movimiento vamos a comenzar representando un sólido rígido rotando alrededor del eje fijo δ, y definiendo las magnitudes vectoriales 𝑤𝑤��⃗ y 𝛼𝛼⃗ , es decir la velocidad y aceleración angular del sólido.
un punto cualquiera del sólido rígido considerando su movimiento circular en un plano perpendicular al eje de rotación.
Aclaración: 𝑤𝑤��⃗ y 𝛼𝛼⃗ tienen la misma dirección por tratarse de una rotación alrededor de un eje fijo, el cual es un movimiento particular. Se verá más adelante que en el caso del movimiento general 𝑤𝑤��⃗ y 𝛼𝛼⃗ pueden tener direcciones diferentes.
Supongamos que a continuación desean conocerse la velocidad y aceleración lineales de un punto cualquiera P del sólido que rota con una velocidad angular 𝑤𝑤��⃗ y una aceleración angular 𝛼𝛼⃗ alrededor de un eje fijo δ.
En la Figura se han representado el eje de rotación y la trayectoria de un punto. Puede observarse, que el eje de rotación δ pasa por un punto O conocido y que el punto P describe una circunferencia situada en un plano perpendicular al eje δ y con su centro O´ en dicho eje.
Para calcular la velocidad del punto P se parte de la expresión de la velocidad instantánea obtenida anteriormente:
𝑣𝑣����⃗𝑃𝑃 = 𝑑𝑑𝑟𝑟⃗𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡. 𝑢𝑢���⃗𝑑𝑑
- Módulo: Se sabe que 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅 y en la Figura se observa 𝑅𝑅 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟, por lo que:
𝑣𝑣𝑝𝑝 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑅𝑅𝑑𝑑𝑑𝑑𝑡𝑡𝑅𝑅 = 𝑅𝑅. 𝑤𝑤 = 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟. 𝑤𝑤
- Dirección: 𝑢𝑢���⃗𝑑𝑑 tangente a la trayectoria, es decir, tangente a la circunferencia
- Sentido: el del movimiento
- Aplicada en el punto P
Por último, puede verse que el vector 𝑣𝑣⃗ es el producto vectorial de la velocidad angular del sólido y el vector de posición del punto P respecto de cualquier punto que pertenezca al eje de rotación:
𝑣𝑣����⃗𝑃𝑃 = 𝑤𝑤��⃗ 𝑥𝑥𝑟𝑟⃗
Para calcular la aceleración del punto P se deriva la velocidad respecto del tiempo. La expresión obtenida puede descomponerse en las denominadas componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial y la aceleración normal.
𝑑𝑑𝑡𝑡 =^
𝑑𝑑𝑡𝑡 (𝑤𝑤��⃗ 𝑥𝑥𝑟𝑟⃗) =^
𝑑𝑑𝑡𝑡 ×^ 𝑟𝑟⃗^ +^ 𝑤𝑤��⃗^ ×^
𝑑𝑑𝑡𝑡 =^ 𝛼𝛼⃗^ ×^ 𝑟𝑟⃗^ +^ 𝑤𝑤��⃗^ × (𝑤𝑤��⃗^ ×^ 𝑟𝑟⃗)
La aceleración tangencial : 𝑎𝑎���⃗𝑑𝑑 = 𝛼𝛼⃗ × 𝑟𝑟⃗
- Módulo: 𝑎𝑎t = 𝛼𝛼 ∙ 𝑟𝑟𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑅𝑅 ∙ 𝛼𝛼
- Dirección: tangente a la circunferencia trayectoria en el punto P
- Sentido: el que origina α
- Aplicada en el punto P
La aceleración normal: 𝑎𝑎⃗ (^) n = 𝑤𝑤��⃗ × (𝑤𝑤��⃗ × 𝑟𝑟⃗) = 𝑤𝑤��⃗ 𝑥𝑥𝑣𝑣����⃗𝑝𝑝
- Módulo: 𝑎𝑎n = 𝜔𝜔 ∙ 𝑣𝑣P∙ 𝑑𝑑𝑟𝑟𝑟𝑟90° = 𝜔𝜔 ∙ 𝑅𝑅 ∙ 𝜔𝜔 = 𝜔𝜔^2 ∙ 𝑅𝑅
- Dirección: Normal a la trayectoria
- Sentido: hacia el centro de la circunferencia descrita por el punto P
- Aplicada en el punto P
Por último, pueden calcularse el módulo de la aceleración y el ángulo β que forma la aceleración con la tangente:
𝑎𝑎 = �𝑎𝑎𝑑𝑑^2 + 𝑎𝑎 (^) 𝑛𝑛^2 = �𝑅𝑅 2. 𝛼𝛼 2 + 𝑅𝑅 2. 𝑤𝑤 4 = 𝑅𝑅. �𝛼𝛼 2 + 𝑤𝑤 4
𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡 = 𝑎𝑎𝑎𝑎^ 𝑛𝑛𝑑𝑑
MOVIMIENTO GENERAL DE UN SOLIDO RIGIDO: MOVIMIENTO ROTOTRASLATORIO
Hasta el momento se han definido la traslación y la rotación pura como movimientos elementales del sólido rígido. Recordemos que en el caso de la traslación todos los puntos tienen la misma velocidad y la misma aceleración y por lo tanto pueden definirse una 𝑣𝑣⃗ y una 𝑎𝑎⃗ para el sólido.
Puede demostrarse que el campo de velocidades cumple la condición de rigidez
Si para todo se cumple
entonces, para dos puntos cualesquiera se verifica
Restando
El segundo miembro es ortogonal a , por lo que
y separando los términos
esto es, el campo de velocidades cumple la condición de rigidez
También puede observarse que todos los puntos que están sobre una recta paralela al eje de rotación (paralela a 𝑤𝑤��⃗ ) tienen la misma velocidad.
Si P y Q son dos puntos sobre una recta paralela a 𝑤𝑤��⃗
𝑣𝑣����⃗𝑄𝑄 = 𝑣𝑣����⃗ 0 + 𝑤𝑤��⃗ × 𝑂𝑂𝑂𝑂������⃗^ = 𝑣𝑣����⃗ 0 + 𝑤𝑤��⃗ × �𝑂𝑂𝑂𝑂�����⃗^ + 𝑂𝑂𝑂𝑂�����⃗ � = 𝑣𝑣����⃗ 0 + 𝑤𝑤��⃗ × �𝑂𝑂𝑂𝑂�����⃗ � = 𝑣𝑣����⃗𝑃𝑃
Dado que el centro de masa es un punto notable del cuerpo rígido, es muy útil tomarlo como punto de referencia del movimiento del rígido. De manera que la velocidad de cualquier otro punto del cuerpo la podemos escribir como:
𝑣𝑣⃗ = 𝑣𝑣�������⃗𝐶𝐶𝐶𝐶 + 𝑤𝑤��⃗ × 𝑟𝑟⃗
Donde 𝑟𝑟⃗ es la posición del punto respecto al centro de masa
MOVIMIENTO PLANO
Un sólido rígido realiza un movimiento plano cuando las trayectorias de sus puntos y sus velocidades son en todo instante paralelas a un plano fijo π tal y como se indica en la figura. En este caso particular, la posición del sólido y el movimiento que describe en cada instante estará determinado estudiando simplemente una sección del sólido por un plano paralelo al plano π considerado
Vamos a suponer la sección plana escogida como representativa del sólido situada en el plano coordenado XY.
En el movimiento plano general de un sólido rígido no hay ningún punto que se halle siempre en reposo. Sin embargo, en cada instante, es siempre posible hallar un punto del cuerpo (o de su extensión) que tenga velocidad nula. Este punto recibe el nombre de centro instantáneo de rotación (CIR).
El centro instantáneo de rotación (CIR) no es un punto fijo. Si en un instante determinado el punto I es el centro instantáneo de rotación, entonces su velocidad es nula, de manera que:
𝑣𝑣����⃗𝐴𝐴 = 𝑣𝑣���⃗𝐼𝐼 + 𝜔𝜔��⃗ × 𝐼𝐼����⃗𝐴𝐴^ = 𝜔𝜔��⃗ × 𝐼𝐼����⃗ ⇒𝐴𝐴 𝑣𝑣����⃗𝐴𝐴 ⊥ 𝐼𝐼����⃗𝐴𝐴
Por tanto, la recta que une el CIR con un punto cualquiera A del sólido es perpendicular a la velocidad de dicho punto.
Consideremos dos puntos del sólido A y B cuyas velocidades, 𝑣𝑣����⃗𝐴𝐴 𝑦𝑦 �������⃗𝑣𝑣 (^) 𝐵𝐵 , respectivamente, son conocidas y que el punto I es el CIR. Si las velocidades a 𝑣𝑣����⃗𝐴𝐴 𝑦𝑦 �������⃗𝑣𝑣 (^) 𝐵𝐵 son paralelas, el CIR se encuentra en la recta que une los puntos A y B.
Cuando dos o más cuerpos están unidos por un pasador, se puede hallar un CIR para cada cuerpo. Como la velocidad del punto que une los dos cuerpos es la misma para cada uno de ellos, los CIR de uno y otro deberán estar sobre la recta que pase por el punto común de ambos cuerpos.
El CIR de una rueda que gira sobre una superficie se encuentra en el punto de contacto de la rueda con la superficie.
La velocidad de un punto en el sólido siempre es perpendicular al vector de posición relativa dirigido desde el CIR hacia el punto.
El lugar geométrico de los puntos que definen la ubicación del CIR durante el movimiento del sólido se llama centroda y, por tanto, cada punto de la centroda actúa como el CIR del sólido sólo por un instante.
