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4. CINEMÁTICA DEL CUERPO RÍGIDO
4.1 Movimiento relativo de partículas
- Un ferrocarril se mueve con velocidad cons- tante de 25 km/h hacia el este. Uno de sus pasajeros, que originalmente está sentado en una ventanilla que mira al norte, se levanta y camina hacia la ventanilla del lado opuesto con un velocidad, relativa al ferroca- rril, de 8 km/h. ¿Cuál es la velocidad absoluta del pa- sajero?
Resolución
vP Velocidad absoluta del pasajero
vT Velocidad absoluta del tren
P T
v Velocidad relativa del pasajero respecto al tren.
vP vPT vT
Dibujaremos un diagrama de vectores que represente la ecuación anterior.
La magnitud de la velocidad del pasajero es: 2 2
vP 25 8
Y su dirección
tan
Ѳ
vT = 25
vP
vP/T = 8
h vP 26. 2 km
25 km/h
- Un avión A vuela con rapidez constante de 800 ft/s describiendo un arco de circunferencia de 8000 ft de radio. Otro avión, B , viaja en línea recta con una velocidad de 500 ft/s, que aumenta a razón de 30 ft/s^2. Determine la velocidad y aceleración rela- tivas del avión A respecto al B.
Resolución La velocidad absoluta de A es igual a la velocidad relativa de A respecto a B más la velocidad absoluta de B.
v A vAB vB
Con el diagrama de vectores que representa la ecua- ción anterior se muestra que:
1300 fts A B v
La aceleración de A es normal a la velocidad y su magnitud es:
A
a A a
v A a
y la de B es: 30 B a
Entonces:
a A aAB aB
De la figura que representa la ecuación:
tan
B
A
a
s
- 4 ft 2 A B a
aB = 30
aA = 80
aA/B
ϴ
vA = 800
vA/B
vB = 500
500 ft/s
- Un motociclista persigue a un automóvil en una pista circular de 100 m de radio. En el instante mostrado en la figura, el primero corre a 40 m/s y el segundo, a 30; el motociclista aumenta su rapidez a razón de 8 ft/s^2 , mientras que el automóvil la reduce 5 m/s cada s. Calcule la aceleración relativa del auto- móvil respecto al motociclista.
Resolución
Para determinar la aceleración relativa del automóvil respecto al motociclista, elegiremos un sistema de referencia como el de la figura; entonces:
a i j
i j i j
i j i j
a a a
A
A A n A t
sen 30 cos 30 5 cos 30 sen 30 100
2
a i j
i j
a a a
M
M M n M t
2
Aceleración relativa:
a i j
i j a i j
a a a
A M
AM
A AM M
s
2 m 2 A M a
30°
y
x
at = 5
at = 8
aA/M
4.2 Rotación pura
- El diámetro AB del volante de la figura se mueve según la expresión = 2 t^3 , donde si t está en s, resulta en rad. ¿Cuál es la aceleración angular del volante cuando t = 5 s? ¿Cuántas revoluciones gira el volante hasta alcanzar una rapidez de 2400 rpm?
Resolución
2
3
t
t
Es la velocidad angular del diámetro AB.
12 t
que es la aceleración angular del volante.
Para t 5
60 rad s 2
2400 rpm en rads son
El tiempo que tarda en alcanzar esa rapidez es:
80 6 t^2
t
θ
A
B
- El diámetro AB del volante de la figura se desvía según la expresión = 2 t^3 , donde si t está en s, resulta en rad. El volante tiene un radio de 20 cm en el instante mostrado, = 60º, determine: a) el valor de t. b) la velocidad y aceleración lineales del punto B.
Resolución:
a)
3
3
t
t
rad
t 0. 806 s
b)
2
2
t
Como v r
v 3. 898 ( 20 )
s v 78. 0 cm
La aceleración normal del punto B es:
an ^2 r ( 0. 898 )^220 303. 9
θ
A
B
α
β
B
60°
Y la tangencial at r
En donde 12 12 ( 0. 806 ) 9. 672
t
at 9. 672 ( 20 ) 193. 44
La magnitud de la aceleración de B es:
a 303. 92 193. 442 360. 2
Y el ángulo
tan ; 32. 5
Por tanto, como 60 32. 5 27. 5
s
a 360 cm 2
4.3 Traslación pura
- La barra OA del mecanismo mostrado tiene una rapidez angular de 8 rad/s en sentido antihorario. Determine la velocidad y aceleración lineales de las articulaciones A y B así como del extremo D de la barra CD.
Resolución
Como la barra OA se mueve con rotación pura.
30 s vA 8 ( 0. 4 ) 3. 2 m
Puesto que la barra AB se mueve con traslación pura, todas sus partículas tienen la misma velocidad.
vB vA
s vB 3. 2 m
La velocidad angular de la barra CD es:
s
rad 8
- 4
r
v
CD
Igual a la de la barra OA. Por tanto, la velocidad lineal del extremo D es:
vD r 8 ( 0. 8 )
s vD 6. 4 m
Como la velocidad angular es constante, la acelera- ción de D no tiene componente tangencial.
a an ^2 r 82 ( 0. 8 )
s
a 51. 2 m 2 C
D
D
C
vA
30° 30°
30°
α
0.4 m
vA
8 rad/s α
vB
30°
0.8 m
vD
8 rad/s
30° 0.8 m
vA
8 rad/s
O
a
4.4 Movimiento plano general
4.4.1 Velocidades
- La rueda de la figura pertenece a una loco- motora que viaja hacia la derecha a 72 km/h. Sabien- do que la rueda no patina sobre los rieles, determine su velocidad angular y las velocidades lineales de los puntos O , A , B y C.
Resolución
Convertimos la velocidad ams
s 20 m s
m
- 6
h 72 km
Como el punto O se mueve junto con la locomotora.
s vO 20 m
Y la velocidad angular de la rueda es:
r
vO
s
rad
Utilizamos la ecuación de la velocidad relativa para determinar las velocidades de A, B y C, tomando O como punto base. Emplearemos el sistema de referen- cia de la figura:
v i i i
v k j i
v r v
v v v
A
A
A AO O
A AO O
B
x
y
O
A
C
v (^) 0 20 i
vA 40 ms
- El collarín A se desliza hacia abajo con una rapidez de 30 in/s en el instante mostrado en la figura. Diga cuáles son, en ese mismo instante, la ve- locidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del collarín B.
Resolución Como:
v i i j j
v i k i j j
v r v
v v v
B
B
B BA A
B BA A
Reduciendo términos semejantes vB i 16 i ( 12 30 ) j
Que es una igualdad de vectores. Igualando las componentes verticales tenemos:
s
2. 5 rad
E igualando las componentes horizontales: vB 16 ( 2. 5 )
vB 40 ins
16 ω
vA = 30 in/s
vB
A
B
12
- El disco de la figura gira con rapidez angu- lar constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del colla- rín B.
Resolución
Como el disco se mueve con rotación pura:
s A^12 (^40 )^480 cm
A v
v r
La barra AB tiene movimiento plano general y su geometría se muestra en la figura.
v i i j j
v k i j j
v r v
v v v
B
B
B BA A
B BA A
1 1
1
1
Reduciendo términos semejantes
vB i 60 1 i 103. 9 1 480 j
Que es una igualdad de dos vectores. Igualando las componentes verticales se tiene:
s
- 62 rad
Igualando las componentes horizontales: vB 60 ( 4. 66 )
vB 277 cms
vA 30°
12 rad/s
40 cm
vA
ω 1
B
vB
A
60 cm
103.9 cm
- La barra AB del mecanismo de cuatro arti- culaciones de la figura gira con una velocidad angular 1 de 9 rad/s en sentido antihorario. Determine las ve- locidades angulares 2 y 3 de las barras BC y CD.
Resolución
Comenzaremos determinando la geometría del meca- nismo en el instante de interés. Tanto la barra AB como la barra CD se mueven con rotación pura. Observamos que C se mueve a la izquierda y que:
v i j
v k i j
v r
B
B
B
1
La barra BC tiene movimiento plano general.
v i i j i j
v i k i j i j
v r v
v v v
C
C
C CB B
C CB B
2 2
2
2
Asociando términos vC i 0. 3 2 2. 7 i 1. 2 2 3. 6 j
Igualando las componentes en dirección de y:
0 1. 2 2 3. 6 ; 2 3 rads
Haciendo lo mismo en dirección de x: vC 0. 3 ( 3 ) 2. 7 ; vC 3. 6
De la barra CD obtenemos:
C CD v 3 r ;
- 6
s 3 6 rad
vc = 3.6 m/s C
ω 3
vB
A
9 rad/s
vB
x
y
x
y
B
D
C
B
0.4 A 0.
B
C
ω 2
vc
D
4.4.2 Centro instantáneo de rotación
- La rueda de la figura pertenece a una loco- motora que viaja hacia la derecha a 72 km/h. Sabien- do que la rueda no patina sobre los rieles, determine su velocidad angular y las velocidades lineales de los puntos 0 , A , B y C.
Resolución
El centro instantáneo de rotación de la rueda es el punto de contacto con el riel, el punto C, puesto que su velocidad es nula. El punto O, que une el eje de la rueda con la locomo- tora, tiene una velocidad de 72 km/h.
ms 20 ms
h vO 72 km
La velocidad angular de la rueda es por tanto:
r
vo
s
50 rad
Conociendo la posición del centro de instantáneo de rotación (CIR) y la velocidad angular de la rueda, se puede calcular fácilmente la velocidad de cualquier punto de la rueda.
A
A A v
v r
v A 40 ms
B
B B v
v r
s
0.4 m vB 28. 3 m
0.4 m
B rB
rA = 0.8 m
O
0.4 m
vo
C (CIR)
vA
C
vB
C
90°
A
- El disco de la figura gira con rapidez angu- lar constante de 12 rad/s en sentido horario. Calcule, para la posición mostrada en la figura, la velocidad angular de la barra AB y la velocidad lineal del colla- rín B.
Resolución
La velocidad de A es vertical y se dirige hacia abajo, la de B, horizontal y hacia la derecha. El centro instantáneo de rotación se encuentra en la intersección de las perpendiculares levantadas en A y B.
Calculamos la magnitud de la velocidad de A.
A
A v
v r
Por tanto, la velocidad angular de la barra AB es:
A
A AB r
v
s
AB 6. 93 rad
Y la velocidad de B será:
6. 93 60
B
B AB B v
v r
vB 416 cms
- En la posición mostrada, la manivela OA tiene una rapidez angular de 10 rad/s en sentido anti- horario. Calcule la rapidez angular de la biela AB y la velocidad lineal del émbolo B.
Resolución
La velocidad de la articulación A es perpendicular a la manivela OA y su magnitud es:
A
A OA OA v
v r
La velocidad de B es horizontal y se dirige hacia la izquierda.
La posición del centro instantáneo de rotación (CIR) de la biela AB es la intersección de las perpen- diculares a las velocidades de A y B trazadas desde dichos puntos.
En la figura resolvemos la geometría del mecanismo.
De ahí:
A
A AB (^) r
v
s
AB 1. 623 rad
Por tanto:
1. 697 31. 1
B
B AB B v
v r
s vB 50. 3 in
60°
5
A 10 rad/s
30°
vA
CIR
30°
16
A 5
2.5 15.4 B
rB= 31
rB = 30.
CIR
rB
rA
30°
O
O
vA A
B vB
