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Unidad II. Cinem´atica
Ref. Cap´ıtulos II y III. F´ısica Tipler-Mosca, 6a ed.
18 de marzo de 2018
1. Introducci´on
La mec´anica estudia el movimiento de los cuerpos. La cinem´atica describe el movimiento, explica c´omo se mueve. La din´amica estudia las causas del movimiento, trata sobre las fuerzas y masas. Part´ıcula es un cuerpo con masa de dimensiones despreciables. Trayectoria es el camino que recorre la part´ıcula.
1.1. Marco de referencia
El marco de referencia consiste en un sistema de coordenadas (espacio) y reloj (tiempo).
Todo movimiento es relativo al marco de referencia del observador.
Definici´on 1.
1.2. Clasificaci´on del movimiento
Seg´un naturaleza del movimiento
Traslaci´on: la part´ıcula se mueve de un lugar a otro.
Rotaci´on: la part´ıcula gira respecto a un eje.
Vibraci´on: la part´ıcula es mueve en todas las direcciones de manera aleatoria.
Seg´un las dimensiones del movimiento
En una dimensi´on o unidimensional (l´ınea recta).
En dos dimensiones o bidimensional (en el plano)
En tres dimensiones o tridimesional (en el espacio).
- Movimiento en una dimensi´on
2.1. Magnitudes de la cinem´atica
Distancia (d o s) es la longitud de la trayectoria que recorre la part´ıcula
Escalar
Dimensiones: L
Unidad SI: m
Definici´on 2.
Posici´on (x ) es el vector con cola en el origen y punta en el lugar donde est´a la part´ıcula.
Vector
Dimensiones: L
Unidad SI: m
Definici´on 3.
Desplazamiento (∆x ) es el cambio de posici´on de la part´ıcula (posici´on final menos posici´on inicial). ∆x = x 2 − x 1 (1)
Vector
Dimensiones: L
Unidad SI: m
Definici´on 4.
La distancia es igual al m´odulo del desplazamiento s´olo si el movimiento es rectil´ıneo en una misma direcci´on.
La notaci´on x 2 o xf o x se refiere a la posici´on final, mientras que x 1 o xi o x 0 se refiere a la posici´on inicial. De manera an´aloga en las dem´as magnitudes cinem´aticas. El s´ımbolo ∆ es la D griega may´uscula, que representa variaci´on o in- cremento, indicando la diferencia entre dos valores inicial y final.
Velocidad instant´area o velocidad ( v#»x) es el l´ımite del desplazamiento cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
vx = l´ım ∆t→ 0
∆x ∆t
Vector
Dimensiones: L/T
Unidad SI: m/s
Definici´on 8.
Aceleraci´on media( a#^ mx») la variaci´on de la velocidad en un intervalo de tiempo.
#»a (^) mx = ∆^ v#»x ∆t
Vector
Dimensiones: L/T 2
Unidad SI: m/s^2
Definici´on 9.
Aceleraci´on instant´anea o aceleraci´on ( a#»x) la tasa de cambio de la velocidad cuando el intervalo de tiempo tiende a cero.
a^ #»x = l´ım ∆t→ 0
∆ v#»x ∆t
Vector
Dimensiones: L/T 2
Unidad SI: m/s^2
Definici´on 10.
El signo de la aceleraci´on no indica si est´a aumentando o disminuyendo el m´odulo de la velocidad. Si la velocidad y la aceleraci´on tienen la misma direcci´on, el m´odulo de la velocidad aumenta. Si la velocidad y la aceleraci´on tienen direcciones opuestas, el m´odulo de la velocidad disminuye.
2.2. Gr´aficos y diagrama de movimiento
2.2.1. Gr´afico posici´on-tiempo
La pendiente de la recta tangente es igual a la velocidad instant´anea.
La pendiente de la recta secante es igual a la velocidad media.
2.2.2. Gr´afico velocidad-tiempo
La pendiente de la recta tangente es igual a la aceleraci´on instant´anea.
La pendiente de la recta secante es igual a la aceleraci´on media.
El ´area bajo el gr´afico es igual al desplazamiento de la part´ıcula.
2.2.3. Diagrama de movimiento
Consiste en trazar el sistema de coordenadas as´ı como la posici´on, la velocidad y la aceleraci´on de la part´ıcula en cada instante.
2.3. Clasificaci´on del movimiento seg´un la aceleraci´on
Movimiento rectil´ıneo uniforme (MRU) si la aceleraci´on = cero
Movimiento rectil´ıneo uniformemente variado (MRUV) si la aceleraci´on es constante
Movimiento variado si la aceleraci´on es variable.
2.4. Movimiento rectil´ıneo uniforme (MRU)
La part´ıcula recorre distancias iguales en tiempos iguales.La velocidad media = velocidad ins- tant´anea = constante. El gr´afico posici´on tiempo es una l´ınea recta inclinada que parte del origen. El gr´afico velocidad-tiempo es una l´ınea paralela al eje del tiempo. La aceleraci´on es nula
2.5. Movimiento rectil´ıneo uniformememente variado (MRUV)
La aceleraci´on media es igual a la aceleraci´on instant´anea. La aceleraci´on es constante (no cambia ni en magnitud ni en direcci´on). Las ecuaciones del MRUV son:
vx = v 0 x + axt (8)
∆x = x − x 0 =
(vx + v 0 x) 2 t (9)
∆x = x − x 0 = v 0 xt +
axt^2 (10)
v^2 x = v^20 x + 2ax∆x (11)
vmx =
vx + v 0 x 2
Desplazamiento (∆ #»r ) es el cambio de posici´on de la part´ıcula (posici´on final menos posici´on inicial). ∆ #»r = #»r 2 − #»r 1 (19) M´odulo o magnitud: r =
x^2 + y^2 (20) Direcci´on (´angulo)
θ = arc tg y x
Vector
Dimensiones: L
Unidad SI: m
Definici´on 12.
3.2. Caso particular: Movimiento de un proyectil (Lanzamiento horizontal o Tiro horizontal)
Un proyectil es una part´ıcula que se mueve cerca de la superficie de la Tierra, con aceleraci´on debida ´unicamente a la aceleraci´on de la gravedad. Consta de dos componentes independientes:
Movimiento horizontal: movimiento rectil´ıneo uniforme
Movimiento vertical: movimiento rectil´ıneo uniformemente variado (ca´ıda libre)
Sea #»v 0 la velocidad inicial y θ 0 el ´angulo inicial. Las componentes de la velocidad inicial son:
vox = v 0 cos θ 0 (22)
voy = v 0 sen θ 0 (23) El movimiento de proyectil se caracteriza por:
Trayectoria es parab´olica.
El tiempo de subida es igual al tiempo de bajada a una misma altura.
El alcance es m´aximo para un ´angulo inicial de 45 grados.
La altura es m´axima para un ´angulo de 90 grados.
La estrategia para resolver un problema de movimiento de proyecto consiste en: a) descomponer la velocidad inicial, b) tratar de manera independiente cada componente del movi- miento (horizontal y vertical). Movimiento horizontal (MRU) ¯
Recordemos que la veolcidad media es igual a la velocidad instant´anea en el MRU, por tanto,vmx = vx = ∆ ∆xt , as`ı que ∆x = x − x 0 = x − 0 = x , tomando la posici´on inicial en el origen:
v 0 x = vx =
x t (tomando la posici´on inicial en el origen, x 0 = 0)
Movimiento vertical (MRUV) ¯ vy = v 0 y − gt (24)
∆y = y − y 0 =
(vy + v 0 y) 2 t (25)
∆y = y − y 0 = v 0 yt −
gt^2 (26)
v^2 y = v^20 y − 2 g∆y (27)
vmy =
vy + v 0 y 2
3.3. Caso particular: Movimiento circular uniforme (MCU)
En el MCU la part´ıcula sigue una trayectoria de una circunferencia con m´odulo de velocidad constante. La velocidad (direcci´on) cambia en cada instante. La aceleraci´on resultante se denomina aceleraci´on centr´ıpeta, ya que apunta al centro del c´ırulo.
ac = v^2 R
siendo v la velocidad tangencial o lineal, que es tangente a la trayectoria, R= radio del c´ırculo. La velocidad #»v es perpenciular a la aceleraci´on a#»c.
