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Conservación de masa y ecuación de Navier – Stokes para un
fl uido ideal desde la relatividad especial
Conservation of mass and equation of navier - stokes for an ideal fl uid from the special relativity
Sandino, John Martín I, Castrillón, Arjuna.II
Resumen. En este trabajo se formularán la ecuación de conservación de masa y la ecuación de Navier-Stokes para un fluido ideal en el marco de la relatividad especial. Para tal efecto, se postularán una ley del movimiento y un tensor de energía-momen- to. En los resultados obtenidos aparecen términos adicionales a los que se presentan en tales ecuaciones en su versión clásica, en especial en la ecuación de Navier Stokes, la cual posee un término proporcional a y que supondría la no conservación de la cantidad de movimiento a nivel local. Sin embargo, desde la relación entre masa y energía relativista, dicho término se interpretará como un flujo de momento causado por la presión sobre el fluido en movimiento, restaurando de esta forma el principio de conservación de masa y de momento. Finalmente, se mostrarán a través de un análisis gráfi co las diferencias en el comportamiento de un fluido ideal incompresible en el caso clásico y en el caso relativista.
Palabras clave : Mecánica de Fluidos, Relatividad Especial, Tensor Energía – Momen- to, Conservación de la masa, Ecuación de Navier - Stokes.
Abstract. In this work the conservation mass equation and the Navier – Stokes equa- tion for ideal fluid in the special relativity frame are formulated. For this propose the movement law and the energy – momentum tensor are postulated. Results show an additional term that not appears in the classical form of these equations, especially in Navier – Stokes equation, which has a term proportional to and this suppose the no conservation of momentum at local level. However, according to the relativis- tic relation between mass and energy, this term is interpreted as a momentum flowing from the press over the fluid in movement, so this permit the restitution of mass and momentum conservation principle. Finally, we use graphic analysis to present the differences in the behavior of an incompressible fluid in the classic and the relativistic case.
Ciencias - Física
I Universidad Distrital Francisco José de Caldas, Bogotá, Colombia. II Universidad Politécnica de Cataluña, Barcelona – España. Correo electrónico:^1 [email protected]
Revista Tumbaga 2010 | 5 | 165-
Key words: Fluid Mechanics, Special Relativity, Energy – Momentum Tensor, Mass Conservation, Navier – Stokes equation.
1. INTRODUCCIÓN
Después de la aparición de la teoría de la relatividad especial, Einstein estudió la dinámica relativista de un sistema físico continuo considerando las ecuaciones de movimiento relativistas de un gas ideal de electrones (Liu,1992) (Tolman,1987). Posteriormente, en 1960, Tolman y Landau considerarían el estudio de un fluido desde la perspectiva de un medio puramente mecánico, encontrando las ecuaciones de conservación de masa, de momento y de Navier – Stokes para un fluido ideal en el marco de la relatividad especial (Tolman, 1987). Por muchos años la investigación en hidrodinámica relativista se vio inmersa en un periodo de poca producción científica como consecuencia de la falta de aplicaciones que esta teoría poseía en los fenóme- nos naturales cotidianos (Liu,1992). Sin embargo, después de la década de 1980, la hidrodinámica relativista encontró en los jets galácticos (flujos colimados de plasma) un fenómeno en el cual se podía aplicar sus principales conceptos (Buchert, 2001).
De esta forma, actualmente las investigaciones en hidrodinámica relativista están centradas en describir teorías de la hidrodinámica en el marco de la relatividad gene- ral para poder explicar la magnetohidrodinámica de los jets galácticos en presencia de intensos campos gravitacionales (Buchert, 2001). Sin embargo, la hidrodinámica en relatividad especial no deja de ser importante, pues describe correctamente la dinámica de los jets cuando éstos no se encuentran en las vecindades de un campo gravitacional intenso, razón por la cual varios artículos y libros de texto incluyen a la hidrodinámica relativista especial como una generalización de la mecánica clásica de los fl uidos al plano relativista (D’ Inverno, 1998).
En esencia, la hidrodinámica relativista especial estudia la siguiente problemática: en un sistema de referencia inercial existe un fluido ideal cuyo flujo de velocidad se especifi ca por el campo vectorial ( son las componentes
cartesianas de la velocidad y el tiempo referido a ), la densidad por el campo escalar (con la posición de un elemento de fluido particular) y la presión por el campo escalar de presiones (D’ Inverno, 1998). En este sistema de referencia inercial se pueden establecer las ecuaciones de continuidad y de Navier – Stokes de la forma en que se hace en la mecánica clásica desde que , en donde es la velocidad de la luz en el vacío.
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En la hidrodinámica clásica, se pueden obtener ecuaciones que rindan cuenta del flu- jo de masa, de energía y de momento hacia un sistema a través de lo que se denomina ecuación de transporte de Reynolds. En términos generales dicha ecuación relaciona los cambios de alguna propiedad del fluido al seguir un elemento de fluido determi- nado moviéndose en el espacio, con los cambios temporales de la misma propiedad pero manteniendo fi jo un determinado volumen de control (Shames, Irving, 2001).
De esta forma, supongamos que el sistema posee una propiedad extensiva (puede ser un campo escalar o un campo vectorial). La ecuación de transporte de Reynolds o derivada sustancial para la cantidad se expresa como [6]:
en donde es la velocidad de flujo del fluido referente a un sistema de referencia inercial.
Consideremos la densidad de energía del fluido como desde un sistema de referencia inercial en donde el fluido posee un flujo cuyo campo de velocidad está dado por. Esta densidad poseerá dos términos, uno debido al mo- vimiento del fluido y otro debido a la energía interna como tal. Por tanto, la forma funcional de la densidad energética en es [7]:
donde es densidad de energía cinética y es la densidad de energía interna.
El flujo de energía total a través de un elemento infinitesimal en reposo del fluido de volumen será. Aplicando la derivada sustancial de con el fi n de conocer cómo cambia el fl ujo energético con el tiempo se obtiene:
Ahora bien, según (1), (3) se transforma en:
Fácilmente se puede demostrar que la derivada sustancial del elemento de fluido está dada por [6]:
de forma tal que (4) se convierte en:
Sin embargo, según la mecánica clásica, el cambio con respecto al tiempo de la ener- gía total se define como la potencia disipada por una fuerza externa actuando sobre el elemento de fl uido. De esta forma, (3) es la potencia disipada por una fuerza externa actuando sobre dicho elemento. Debido a la condición de que el fluido es ideal y sobre el no actúan fuerzas externas, la ecuación (6) se convierte en la ecuación para la continuidad de la densidad energética:
La ecuación (7) indica que la cantidad de energía que entra a un volumen infini- tesimal del fluido es igual a la disminución de la energía en el mismo elemento. La cantidad se denomina vector flujo de densidad de energía (Landau y Lifshitz, 1987). Este vector indica la cantidad de energía que atraviesa un elemento de área unitaria perpendicular a la dirección de la velocidad y por unidad de tiempo (Landau y Lifshitz, 1987).
Por otra parte, siguiendo un razonamiento similar al que conduce a (7) se encuentra que la densidad de masa posee la siguiente ecuación de continuidad:
(8) indica que el flujo de masa que entra a un elemento del fluido es igual a la salida de masa del sistema [6]. Similarmente, a se le puede llamar v ector flujo de densidad de masa.
Ahora consideremos la derivada sustancial del momento que atraviesa un elemento infinitesimal en reposo del fluido. Si es la masa del elemento infinitesimal, entonces será el momento introducido por el flujo en el elemento de fluido. De esta forma:
en donde y representa la energía por unidad de masa.
Adicionalmente, se ha encontrado que la densidad de momento está regida por la ecuación (13). Sin embargo en dicha ecuación, no es clara la forma explícita para tal magnitud. De esta forma, consideremos cada componente de la ecuación (13):
las cuales se pueden reescribir de una forma más compacta como:
en donde se ha usado la convención de sumatoria de Einstein con y
. Sin embargo, estas expresiones aun se pueden simplificar en una sola intro- duciendo un nuevo supra-indice y. De esta forma (18), (19) y (20) se podrán expresar como:
Utilizando la regla del producto para la diferenciación fi nalmente se obtiene que:
Adicionalmente (22) se puede resumir mucho más al considerar que el término se puede escribir en términos del tensor delta de Kronecker de segundo orden como
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. Por tanto:
Se defi ne un tensor de segundo orden ( como:
(24)
de forma tal que la razón de cambio de la densidad de momento (23) queda expre- sada por:
De esta forma, se ha encontrado una ecuación de continuidad similar a (7) y (8) pero en este caso se trata de una ecuación de continuidad expresada en lenguaje tensorial. se denomina tensor de densidad de flujo de momento. El significado físico de ese tensor indica la cantidad de momento que fluye hacia el elemento de fluido por uni- dad de tiempo (Landau y Lifshitz, 1987).
En síntesis, en mecánica clásica de fluidos el flujo de energía se puede especificar a través de un vector dado por (14), mientras que el fl ujo de momento por un tensor (24) (Landau y Lifshitz, 1987). Por ahora es imposible unifi car el fl ujo de energía y el flujo de momento en un solo ente físico - matemático, pues la energía es un esca- lar mientras que el momento es un vector. Sin embargo, en relatividad especial esta tarea es sencilla al considerar un ente denominado tensor de momento – energía, el cual describe el estado de la energía y momento para un elemento de fluido en todo tiempo y espacio.
4. TENSOR ENERGÍA – MOMENTO PARA UN FLUIDO RELATIVISTA
Debido a la relación entre espacio y tiempo relativista, la energía (componente tem- poral) y el momento (componente espacial) de una partícula se pueden tratar como un solo ente denominado cuadrimomento. Sin embargo, para los fluidos es incorrecto recurrir al cuadrimomento para conocer la dinámica de éstos, tal como se verá a continuación.
En relatividad especial es claro el hecho de que la densidad energética del fluido y la
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Así mismo, siguiendo el mismo procedimiento anterior se puede probar fácilmente que las componentes con son las componentes del tensor cartesiano densidad de flujo de momento para todos los sistemas de referencia inerciales. Sin embargo, para este caso se debe tener en cuenta que la densidad de momento relati- vista se defi ne como [2]:
(29)
Observando el tensor de densidad de fl ujo de momento se puede concluir que para cualquier sistema de referencia inercial es:
(30)
Finalmente, las componentes y con son el producto de la densidad de momento defi nida en (29) y la velocidad de la luz [2].
5. ECUACIONES DE CONSERVACIÓN DE LA MASA – ENERGÍA Y DE NA- VIER – STOKES PARA UN FLUIDO RELATIVISTA
Para conocer el estado mecánico de un fluido en cualquier sistema de referencia iner- cial se postula una ley de movimiento tensorial (D’ Inverno, 1998), que da cuenta de la cuadrifuerza, un cuadrivector cuya componente temporal indica la potencia disipada por una fuerza externa, y la componente espacial indica la fuerza misma. De esta forma, la relación entre densidad volumétrica de la cuadrifuerza y tensor energía
- momento vendrá dada por la siguiente ley de movimiento:
en donde es la densidad volumétrica de la cuadrifuerza, es la potencia disipada por la fuerza por unidad de volumen y es la fuerza externa neta que actúa sobre un elemento de fl uido por unidad de volumen.
La forma funcional de es la establecida en (26). De esta forma, para calcular la potencia disipada por una fuerza externa actuando sobre un elemento de fluido se debe tomar. Así se tiene que:
en donde Por tanto, calculando cada una de las derivadas anteriores se obtiene:
Sin embargo, según (27) y (29) se tiene que:
De ese modo (33) se transforma en:
Finalmente, como consecuencia de que el fluido no está sometido a ninguna fuerza externa, (35) quedará expresada como:
La anterior ecuación puede reescribirse vectorialmente utilizando la convención de sumatoria de Einstein y agrupando términos:
(37) es similar a la ecuación de continuidad para la densidad energética (7). De esta forma, desde el vector densidad de fl ujo de energía se debe defi nir como.
Ahora bien, para obtener una ecuación para la continuidad de la densidad de masa es necesario considerar (27) y (37). De esta forma, la ecuación para la continuidad de masa será:
Esta ecuación es similar a la ecuación para la continuidad de densidad de masa (8) si se tiene en cuenta que definimos el vector fl ujo de densidad de masa como para cualquier sistema de referencia inercial. En el caso clásico, en el cual la velocidad de la luz se puede considerar infinita, (38) automáticamente se restablece a su forma original (8).
ecuación de continuidad para la densidad de masa. De esta forma, para un fluido ideal relativista, el término actuará como una fuente (si la divergencia es positiva) o sumidero (si la divergencia es negativa) de densidad de masa. Así mismo, de la forma funcional de (38) claramente se observa que este término no tiene su contraparte en mecánica clásica, pues depende de la velocidad de la luz. De esta forma, este término debe ser interpretado con los conceptos relativistas de masa y energía.
Para tal efecto, es necesario tener en cuenta que la masa (ya sea que esté en movimiento o en reposo) lleva consigo una determinada cantidad de energía asociada. De la misma forma, es posible considerar el caso inverso en el cual a una determinada cantidad de energía se le puede asociar una cantidad de masa (Liu,1992). Por tanto, según la re- latividad especial, la masa correspondiente a una determinada cantidad de energía es:
(45)
o en términos de la densidad de masa:
(46)
Desde que (38) sea una ecuación relativista para la continuidad de la masa, y con el propósito de que su significado sea el mismo para todos los sistemas de referencia,
debe ser interpretado como un flujo densidad de masa hacia un elemento de fl uido (o equivalentemente de energía) como consecuencia de la presión que sobre él actúa. Desde que éste término sea interpretado de esta forma, la ecuación (38) será un ecuación de continuidad para la densidad de masa, de forma tal que la densidad de masa total entrante a un elemento de fluido será igual a la razón de cambio tem- poral de disminución de densidad de masa.
De esta forma, se defi nirá que el vector fl ujo de densidad de masa en cualquier sistema de referencia inercial viene dado por:
(47)
en donde y lo denominaremos densidad de masa generalizada; es la velocidad del fl ujo desde el sistema de referencia inercial en cuestión. En la figura 2 se observan las diferencias entre la magnitud del vector flujo de densidad de masa hacia un elemento de control del fluido suponiendo que en el fluido posee una velocidad y que desde , posee una velocidad_._
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Figura 2. contra.
En la anterior gráfi ca se puede apreciar que un aumento de la velocidad relativa entre los sistemas de referencia se traduce en un incremento del flujo de densidad de masa hacia un elemento de fluido (línea café). Para velocidades relativas cercanas a la velo- cidad de la luz, el fl ujo de densidad de masa tiende al infinito.
Por otra parte, como era de esperarse, en el flujo de densidad no depende de la velocidad relativa, únicamente de la velocidad del flujo en este sistema de referencia (línea roja). Así mismo, si se adoptaran las transformaciones clásicas de velocidad para el fl ujo de densidad de masa clásico se obtendría que éste siempre poseerá un va- lor fi nito para cualquier velocidad relativa entre y ; adicionalmente, este flujo de densidad poseerá una dependencia totalmente lineal con la velocidad relativa entre los sistemas de referencia inerciales (línea azul).
De esta forma, se concluye que en el caso relativista, comparado con el caso clásico, el flujo de densidad de masa hacia un elemento de volumen es mucho mayor a medida que la velocidad relativa entre los sistemas de referencia se incrementa. Así mismo, tal como se puede apreciar entre las líneas que caracterizan el caso relativista y el caso clásico, cuando la velocidad relativa entre los sistema de referencia inerciales es muy pequeña comparada con la velocidad de la luz, ambas descripciones arrojarán los mismos resultados.
Ahora consideremos la ecuación tensorial para el flujo de densidad de momento (40). Esta ecuación es similar a la ecuación para la continuidad de la densidad de
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jo de densidad de momento desde aumenta con la velocidad relativa entre sistemas de referencia inerciales (línea roja). Así mismo, para éste caso, el flujo de momento siempre poseerá un valor finito para cualquier velocidad entre sistemas de referencia inerciales. De esta forma se observa cómo el flujo de momento es mayor en el caso re- lativista comparado con el caso clásico al estar siempre la línea azul por encima de la roja. En principio, lo anterior es consecuencia de que en el caso relativista el término introduce masa o energía al elemento de fluido, de tal forma que su momento también se incrementará y por tanto siempre será mayor que en el caso clásico, en donde la única contribución dinámica a la densidad de momento es el término.
Finalmente, consideremos la ecuación de Navier- Stokes relativista (44). En el límite clásico, (44) se reduce a la ecuación de Navier - Stokes clásica (11). Consideremos los términos adicionales y para el caso del fluido ideal en el cual
. De esta forma, (44) se puede reescribir de la siguiente forma:
O equivalentemente en términos de :
Esta ecuación posee la misma estructura matemática y significado de la ecuación clásica de Navier – Stokes (11) (a saber, las fuerzas netas actuando sobre un elemento de flui- do), desde que se considere que es la densidad de masa generalizada para cualquier sistema de referencia inercial. Los términos proporcionales a y son fuerzas volumétricas que aparecen como consecuencia del flujo de energía – masa. Este flujo de energía debido a la presión modifica el momento dentro del elemento de flui- do, modificando a su vez la fuerza neta que actúa sobre el elemento de fluido.
En la literatura convencional de hidrodinámica relativista se suele pasar por alto los análisis hechos anteriormente (Aharoni, 1985), (D’ Inverno,1998), pues en estos tra- bajos solo es de interés encontrar las ecuaciones de movimiento para el fluido desde un sistema de referencia inercial generalizado, omitiendo por completo la compara- ción entre la perspectiva clásica y relativista del vector flujo de densidad de masa y el tensor flujo de densidad de momento llevada a cabo en este trabajo. Una aproxima- ción conceptual se lleva a cabo en (Aharoni, 1985), en donde se analizan los términos extras presentes en las ecuaciones de continuidad y de Navier – Stokes concluyendo los mismos resultados obtenidos en el presente trabajo.
7. CONCLUSIONES
La ecuación para la continuidad de densidad de masa (38) posee el mismo signi- ficado físico para todos los sistemas de referencia inerciales si se define la densidad de masa generalizada por medio de (47). Esta definición permite que (38) sea una ecuación de continuidad relativista para la densidad de masa. Por otra parte, se ha defi nido el vector flujo de densidad de masa hacia un elemento de fluido por medio de (47). En relatividad especial este vector dependerá de la densidad de momento relativista y del término energético , éste último se considera como un flujo de energía hacia el elemento como consecuencia de la presión y de la velocidad del flujo relativa a un determinado sistema de referencia inercial. Así mismo, en el límite clásico el vector flujo de densidad de masa dado por (46) se reduce al vector clásico para este tipo de flujo.
Adicionalmente, la magnitud del vector flujo de densidad de masa referente a un sistema de referencia inercial desde donde posee una velocidad determinada, es mucho mayor cuando se adoptan consideraciones relativistas para la transformación de velocidades del fl ujo y de la densidad de masa, que cuando se consideran las mis- mas transformaciones pero con consideraciones clásicas. Esta diferencia de nuevo es consecuencia del término energético.
Por otra parte, para que la ecuación (40) sea considerada como una ecuación de continuidad para la densidad de momento, se ha redefinido el tensor de densidad de flujo de momento para un sistema de referencia inercial arbitrario por medio de (48). Si bien esta definición es casi idéntica que la dada en su contraparte clásica por (24), en (48) la densidad de momento no sólo la densidad de momento no sólo posee el término clásico de la densidad de momento , sino que también posee el término , esto como consecuencia de la definición generalizada para la densidad de masa dada por (46). Debido a la presencia de este término extra, y al considerar la transfor- mación de Lorentz para la densidad de masa y la velocidad del flujo, se obtiene que la magnitud de las componentes del tensor de densidad de flujo de momento siempre será mayor para algún valor particular de velocidad relativa entre y , comparado con la magnitud de las componentes de dicho tensor cuando se consideran las trans- formaciones clásicas de la densidad de masa y la velocidad de flujo.
Así mismo, la nueva definición del tensor densidad de flujo de momento contiene la defi nición clásica de dicho tensor, tal y como es de esperar en todas las ecuaciones relativistas que se obtengan.
