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ANÁLISIS DE
CIRCUITOS
TRIFÁSICOS
REDES ELÉCTRICAS PARA
INGENIEROS
Este documento tiene como objetivo guiar al estudiante de electricidad
en ciencias de ingeniería en el tópico de análisis de redes eléctricas en
estado transitorio mediante técnicas en el dominio del tiempo. El texto
cuenta con la teoría requerida para comprender los conceptos y con
ejercicios tanto resueltos como propuestos, para aplicarlos.
Versión 6.
Gómer Rubio Roldán, Profesor ESPOL
Contenido
- CAPÍTULO
- CIRCUITOS TRIFÁSICOS
- Algunas definiciones básicas
- Carga trifásica balanceada conectada en Y- 4 - conductores.
- Ejemplo 1:
- Carga trifásica balanceada conectada en Y-3 conductores.
- Carga trifásica balanceada conectada en ∆(delta).
- Ejemplo 2:
- Potencia en carga trifásica balanceada.
- Carga trifásica desbalanceada conectada en y (estrella) de 4-conductores.
- carga trifásica desbalanceada conectada en y (estrella) de 3-conductores.
- Carga trifásica desbalanceada conectada en ∆ (delta).
- Medicion de potencia trifásica
- Ejemplo 3:
Caso contrario, las cargas serán desbalanceadas o desequilibradas:
𝑌
𝑎
𝑏
𝑐
∆
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
Por lo mencionado anteriormente, existen entonces 6 tipos de cargas trifásicas:
- Carga trifásica balanceada conectada en Y (estrella) de 4-conductores.
- Carga trifásica balanceada conectada en Y (estrella) de 3-conductores.
- Carga trifásica balanceada conectada en ∆ (delta).
- Carga trifásica desbalanceada conectada en Y (estrella) de 4 - conductores.
- Carga trifásica desbalanceada conectada en Y (estrella) de 4-conductores.
- Carga trifásica desbalanceada conectada en ∆ (delta).
Y para analizar cada uno de los casos anteriores, se asume que el sistema de generación que
alimenta la carga, esta balanceada y equilibrada, esto es, sus voltajes de línea son iguales en
magnitud y están 120° desfasados entre ellos.
2. Carga trifásica balanceada conectada en Y- 4 - conductores.
𝑌
𝑎
𝑏
𝑐
son las
cargas/línea, balanceadas.
El sistema de voltaje línea a línea, esta
balanceado.
El sistema de voltaje línea a neutro,
esta balanceado.
𝑎
𝑏
𝑐
, son las corrientes de línea.
Ejemplo 1 :
Se tiene un sistema trifásico balanceado de 4-conductores de 208 [𝑉] en secuencia positiva, que
alimenta una carga trifásica balanceada conectada en Y de cuatro conductores, cuyo valor de
impedancia por fase es de 12∠60° [Ω]. Determinar:
a) Las corrientes de línea (𝐼
𝑎
𝑏
𝑐
b) La corriente del neutro (𝐼
𝑁
Solución:
A menos que se especifique lo contrario, el dato del voltaje del sistema trifásico corresponde al valor
eficaz del voltaje línea a línea; esto es:
𝐿
= 208 [𝑉].
A partir de la secuencia positiva (abc) y del voltaje línea a línea del sistema, se determina que:
𝑎𝑏
= 208∠120° [𝑉]
𝑏𝑐
= 208∠0° [𝑉] ( Se lo toma como fasor de referencia. )
𝑐𝑎
= 208∠ − 120° [𝑉]
Después establecer los voltajes de línea a línea, se puede calcular la magnitud del voltaje de fase:
𝐹
𝐿
= 120 [𝑉]
Y, por lo tanto, los voltajes de línea a neutro (o voltajes de fase) estarán restados 30°. Esto es:
𝑎𝑁
[
]
𝑏𝑁
[
]
𝑐𝑁
= 120∠ − 150° [𝑉]
Formando así un sistema de voltajes balanceados. Las corrientes de línea serán:
𝒂
𝒂𝑵
𝒂
= 𝟏𝟎∠𝟑𝟎° [𝑨]
𝒃
𝒃𝑵
𝒃
= 𝟏𝟎∠ − 𝟗𝟎° [𝑨]
𝒄
𝒄𝑵
𝒄
= 𝟏𝟎∠ − 𝟐𝟏𝟎° [𝑨]
Se observa que las corrientes de línea tienen la misma magnitud y están desfasadas 120°, por lo que
se puede concluir que, como consecuencia del balanceo de las cargas, las corrientes de línea forman
un sistema balanceado de corriente.
b) La corriente del neutro debe ser igual a cero, porque sus fasores son de igual magnitud, con
desfasamiento de 120°.
𝑁
𝑎
𝑏
𝑐
Resolviendo:
𝑁
= 10 [cos 30° + 𝑗 ̂sin 30°] + 10 [cos −90° + 𝑗 ̂sin −90°]+10[cos −210° + 𝑗̂ sin −210°]
𝐼
̅
𝑁
= [ 10 (
√ 3
2
) + 𝑗̂ 10 (
1
2
)] + 10
[ 0 + 𝑗̂
]
√ 3
2
) − 𝑗̂ 10 (−
1
2
)] = 5 √ 3 + 𝑗̂ 5 − 𝑗̂ 10 − 5 √ 3 + 𝑗̂ 5
𝑵
= 𝟎 [𝑨]
3. Carga trifásica balanceada conectada en Y- 3 conductores.
En el análisis de carga trifásica balanceada conectada en Y- 4 conductores, se observó que la corriente
en el neutro es cero. Por ello el conductor del neutro podría ser retirado y el análisis de una carga
balanceada en Y- 3 conductores es el mismo de la carga balanceada en Y- 4 conductores.
Y las corrientes de fase son:
𝒂𝒃
𝒂𝒃
𝒂𝒃
= 𝟏𝟎∠ − 𝟗𝟎° [𝑨]
𝒃𝒄
𝒃𝒄
𝒃𝒄
= 𝟏𝟎∠𝟑𝟎° [𝑨]
𝒄𝒂
𝒄𝒂
𝒄𝒂
= 𝟏𝟎∠𝟏𝟓𝟎° [𝑨]
- Se observa que las 3 corrientes tienen la misma magnitud y están desfasadas 120° entre ellas. Como
consecuencia del balanceamiento de la carga, las 3 corrientes por fase de la delta forman un sistema
balanceado de corriente.
b) Para determinar las corrientes de fase:
𝑎
𝑎𝑏
𝑐𝑎
[
cos(−90°) + 𝑗̂ sin(−90°)
]
[
cos 150° + 𝑗̂ sin 150°
]
𝑎
𝒂
= 𝟏𝟕. 𝟑𝟐∠ − 𝟔𝟎° [𝑨]
𝑏
𝑏𝑐
𝑎𝑏
[
cos 30° + 𝑗̂ sin 30°
]
[
]
𝒃
= 𝟏𝟕. 𝟑𝟐∠𝟔𝟎° [𝑨]
𝑐
𝑐𝑎
𝑏𝑐
[
cos 150° + 𝑗̂ sin 150°
]
[
cos 30° + 𝑗̂ sin 30°
]
𝑐
𝒄
= 𝟏𝟕. 𝟑𝟐∠𝟏𝟖𝟎° [𝑨]
Se observa que las corrientes son iguales y están desfasadas 120° entre ellas, formando un sistema
balanceado de corrientes.
A partir de la observación anterior, otra forma de resolver el problema para un sistema de cargas
balanceadas en delta es:
𝐿
3 ( 10 ) = 17. 32 [𝐴] → 𝐼
𝐿
𝐹
Que se cumple, independientemente de la secuencia. Además, si la secuencia de sistema es:
- Negativa, las corrientes de línea adelantan 30° a las respectivas corrientes de fase,
- Positiva, las corrientes de línea atrasan 30° a las respectivas corrientes de fase.
Por esto, a partir de las corrientes de fase:
𝑎
𝑎𝑏
3 (∠ − 90° + ∠30°) = 17. 32 ∠ − 60° [𝐴]
𝑏
𝑏𝑐
√ 3 ∠ 30° = 10 √ 3 (∠30° + ∠30°) = 17. 32 ∠60° [𝐴]
𝑐
𝑐𝑎
[
]
5. Potencia en carga trifásica balanceada.
Examinando el caso de una carga en estrella (da
lo mismo si es de 3 o 4 conductores), si la carga
es balanceada:
Las cargas en fase son iguales.
El neutro está en el centro de la estrella
𝐿
𝑎𝑁
𝑏𝑁
𝑐𝑁
𝐿
𝑎
𝑏
𝑐
Las potencias en las fases son:
𝑎
𝑎𝑁
𝑎
cos 𝜃 ; 𝑃
𝑏
𝑏𝑁
𝑏
cos 𝜃 ; 𝑃
𝑐
𝑐𝑁
𝑐
cos 𝜃
𝑎
𝑏
𝑐
𝐹
𝐿
cos 𝜃
𝑇
𝑎
𝑏
𝑐
𝐹
𝐿
cos 𝜃 = 3 (
𝐿
𝐿
cos 𝜃
𝑻
𝑳
𝑳
𝑻
𝑳
𝑳
𝑻
𝑳
𝑳
Si las cargas están conectadas en delta se llega a los mismos resultados, siendo las potencias
𝑇
𝑇
𝑇
) independientes de la secuencia del sistema.
Observando las ecuaciones:
𝐿
𝐹
𝐿
𝐹
Por ello, el √ 3 caracteriza a los sistemas trifásicos balanceados.
6. Carga trifásica desbalanceada conectada en y (estrella) de 4-conductores
Si las cargas están desbalanceadas:
𝑌
𝑎
𝑏
𝑐
Y se sigue considerando que el sistema de voltajes de generación está equilibrado.
Las corrientes de línea se calculan de la forma:
7. carga trifásica desbalanceada conectada en y (estrella) de 3-conductores
En la práctica este tipo de carga debe ser evitado, conectando el punto central de las cargas al neutro
del sistema, por las potenciales graves consecuencias.
La primera consecuencia es que se tiene una
tensión de desplazamiento del neutro, esto
es:
𝐷𝑁
0
𝑁
Si el desplazamiento de la carga aumenta, el
𝐷𝑁
también aumenta y podría llegar a
ocurrir que una de las tensiones de las fases
sea incluso superior al de las tensiones del
sistema de generación, lo cual es peligroso,
tanto para los equipos conectados como
cargas como para las personas que operan
dichas cargas.
Para analizar este tipo de carga:
𝑎𝑏
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
𝑏
𝑏𝑐
𝑐
𝑏
𝑐
𝑎
𝑏
𝑏
𝑐
𝑎
𝑎 0
𝑎
𝑎
𝑏 0
𝑏
𝑏
𝑐 0
𝑐
𝑐
𝑎 0
𝑎𝑁
𝑏 0
𝑏𝑁
𝑐 0
𝑐𝑁
Y en cuanto a las potencias, no se puede utilizar las ecuaciones para cargas balanceadas sino:
𝑇
𝑎
𝑏
𝑐
𝑎
𝑎 0
𝑎
cos 𝜃
𝑎
𝑏
𝑏 0
𝑏
cos 𝜃
𝑏
𝑐
𝑐 0
𝑐
cos 𝜃
𝑐
8. Carga trifásica desbalanceada conectada en ∆ (delta).
Si las cargas están desbalanceadas:
∆
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
Lo que sigue estando balanceado es el sistema de generación; esto es, los voltajes de línea 𝑉 𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
mientras que el sistema de
corrientes de fase 𝐼
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
, está
desbalanceado. La forma de calcular
las corrientes de fase será de la misma
forma que si el sistema estuviera
balanceado:
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑐
𝑐𝑎
𝑐𝑎
En el sistema de cargas balanceadas en
delta se dijo que:
𝐿
𝐹
En un sistema desbalanceado en delta (válidas en un delta balanceado), no es válido que:
𝐿
𝐹
Si la secuencia es positiva, las corrientes de línea atrasan 30° a las respectivas corrientes de fase.
Si la secuencia es negativa, las corrientes de línea adelantan 30° a las resp. corrientes de fase.
Lo que es válido es:
𝑎
𝑎𝑏
𝑐𝑎
𝑏
𝑏𝑐
𝑎𝑏
𝑐
𝑐𝑎
𝑏𝑐
𝑇
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎𝑏
cos 𝜃
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
cos 𝜃
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑐𝑎
𝑐𝑎
cos 𝜃
𝑐𝑎
En donde:
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
, son las potencias consumidas por 𝑍
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
, respectivamente.
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑐𝑎
𝑐𝑎
, son los valores eficaces de voltaje y corriente.
En el caso de la potencia reactiva total:
𝑇
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎𝑏
sen 𝜃
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
sen 𝜃
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑐𝑎
𝑐𝑎
sen 𝜃
𝑐𝑎
9. Potencia en carga trifásica desbalanceada
Para la medición de la potencia se utiliza un vatímetro el mismo que esta conformado por dos
bobinas:
En los casos en donde existen 3 conductores:
𝑡
𝑎
𝑐
𝑎
𝑎𝑏
𝑎
cos(∡𝑉
𝑎𝑏
𝑎
𝑐
𝑐𝑏
𝑐
𝑐𝑏
𝑐
Donde:
𝑐𝑏
𝑏𝑐
𝑎
no es el ángulo 𝜃
𝐴
𝑐
no es el ángulo 𝜃
𝐶
𝑡
𝑎
𝑏
𝑎
𝑎𝑐
𝑎
cos(∡𝑉
𝑎𝑐
𝑎
𝑏
𝑏𝑐
𝑏
cos(∡𝑉
𝑏𝑐
𝑏
𝑎𝑐
𝑐𝑎
𝑎
no es el ángulo 𝜃
𝐴
𝑏
no es el ángulo 𝜃
𝐵
𝑇
𝑏
𝑐
𝑏
𝑏𝑎
𝑏
cos(∡𝑉
𝑏𝑎
𝑏
𝑐
𝑐𝑎
𝑐
cos(∡𝑉
𝑐𝑎
𝑐
𝑏𝑎
𝑎𝑏
𝒃
𝒄
𝒂
𝒄
𝒂
𝒃
Ejemplo 3 :
Un sistema trifásico balanceada de 3 conductores 208 [𝑉] secuencia positiva, alimenta al siguiente
sistema de cargas.
La carga 3∅ Nº 1 y la carga 3 ∅ Nº 2 están en paralelo. Adicionalmente hay una carga monofásica
0
Determinar:
a) Las corrientes de línea 𝐼
𝑎
𝑏
𝑐
b) Los lectores de vatímetro 𝑊
𝑎
𝑐
c) La potencia activa total consumida por las cargas.
d) La potencia reactiva total consumida por las cargas.
e) El factor de potencia combinada de las cargas.
Solución:
Por cuanto es secuencia positiva y 𝑉 𝐿
[
]
𝑎𝑏
[
]
𝑏𝑐
= 208 ∠ 0˚ [𝑉]
Carga Número 1:
Conexión Estrella Balanceada.
𝐘
= 𝟏𝟐 ∠ 𝟎° [Ω]
Carga Número 2:
Conexión Delta.
𝒂𝒃
= 𝟏𝟎 ∠ 𝟎° [Ω]
𝐛𝐜
= 𝟏𝟎 ∠ 𝟑𝟎° [Ω]
𝐜𝐚
= 𝟏𝟎 ∠ − 𝟑𝟎° [Ω]
Analizando la carga trifásica N.º 2:
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎𝑏
[𝐴]
= 20. 8 ∠ 120˚ [𝐴]
= − 10. 4 + ĵ 180 [𝐴]
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
[𝐴]
= 20. 8 ∠ − 30˚ [𝐴]
= 18. 01 − ĵ 10. 4 [𝐴]
𝑐𝑎
𝑐𝑎
𝑐𝑎
[𝐴]
[
]
= − ĵ 20. 8 [𝐴]
Donde las corrientes no forman un sistema balanceado de corrientes. La misma magnitud, pero no
hay 120˚ entre ellas. Las corrientes de líneas serán:
𝑎 2
𝑎𝑏
𝑐𝑎
= (− 10. 4 + ĵ 18. 01 ) − (− ĵ 20. 8 ) = − 10. 4 + ĵ 38. 81
𝑏 2
𝑏𝑐
𝑎𝑏
= ( 18. 01 − ĵ 10. 4 ) − (− 10. 4 + ĵ 18. 01 ) = 28. 41 − ĵ 28. 41
𝑐 2
𝑐𝑎
𝑏𝑐
= − ĵ 20. 8 − ( 18. 01 − ĵ 10. 4 ) = − 18. 01 − ĵ 10. 4
Para calcular las potencias, se puede calcular la potencia compleja:
𝑎𝑏
𝑎𝑏
𝑎𝑏
∗
= ( 208 ∠ 120˚)( 20. 8 ∠ − 120˚) [𝑉𝐴]
= 4326. 4 ∠ 0˚ = 4326. 4 [𝑉𝐴]
𝑏𝑐
𝑏𝑐
𝑏𝑐
∗
) [
]
= 4326. 4 ∠ 30˚ = 3746. 77 + ĵ 1163. 2
[
]
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑐𝑎
∗
[
]
= 4326. 4 ∠ − 30˚ = 3746. 77 − ĵ 2163. 2
[
]
𝒂𝒃
= 𝑷 + ĵ Q
Analizando la carga monofásica 𝑍 0
= 8 ∠ 60˚ [Ω]
0
𝑎𝑏
0
= 2. 6 ∠ 60˚ = 13 + ĵ 22. 52 [𝐴]
La potencia asociada a la impedancia será:
0
𝑎𝑏
0
∗
= ( 208 ∠ 120˚)( 2. 6 ∠ 60˚) [𝑉𝐴]
= 5408 ∠ 60˚ = 2704 + ĵ 4683. 47 [𝑉𝐴]
Las corrientes de línea serán:
𝑎
0
𝑎 1
𝑎 2
= 13 + ĵ 22. 52 + ĵ 10 − 10. 4 + ĵ 38. 81 [A]
= 2. 6 + ĵ 71. 38 [A]
= 71. 38 ∠ 87 .91° [A]
Secuencia de voltajes de línea a línea
Los voltajes de línea tienen el mismo modulo y en secuencia negativa se adelantan 120 grados entre
si.
𝐿
𝑎𝑏
𝑏𝑐
𝑐𝑎
𝑎𝑏
0
[𝑉]
𝑏𝑐
0
[𝑉]
𝑐𝑎
0
[𝑉]
Se conoce que: 𝑉 𝑓
𝐿
Secuencia de voltajes de fase
Los voltajes de fase tienen el mismo modulo y en secuencia negativa adelantan 30⁰ a los voltajes de
línea, por tanto también se adelantan 120⁰ entre si.
𝑎𝑛
3 ∠30⁰[𝑉]
𝑏𝑛
= 80 √ 3 ∠150⁰[𝑉]
𝑐𝑛
= 80 √ 3 ∠270⁰[𝑉]
a)
Potencia Activa de la carga trifásica
3∅
= 9 [𝑘𝑊]
Factor potencia de la carga trifásica
3∅
cos(𝜃
3∅
3∅
3∅
𝑎 1
𝑏 1
𝑐 1
serán las corrientes de línea de la carga trifásica
Analizando cualquier fase, por ejemplo fase a
3∅
𝑣𝑎𝑛
𝐼𝑎 1
𝐼𝑎 1
𝑣𝑎𝑛
3∅
𝐼𝑎 1
𝐼𝑎 1
3∅
𝑎 1
𝑎𝑛
3∅
𝑎 1
3∅
𝑎𝑛
3∅
𝑎 1
3
𝑎 1
Secuencia de corrientes de línea de la carga trifásica
Las corrientes de línea tienen el mismo modulo y en secuencia negativa se adelantan 120⁰ entre sí.
𝑎 1
0
[𝐴]
𝑏 1
= 26 .72917913∠114. 0959314 ⁰[𝐴]
𝑐 1
= 26 .72917913∠234. 0959314 ⁰[𝐴]
Ley de Ohm Compleja en cualquiera de las fases
∅
𝑎𝑛
𝑎 1
∅
0
∅
= 5. 184 ∠35. 90406858 ⁰ [Ω]
b)
Potencia Activa consumida por la impedancia 𝑍 0
𝑍 0
= 4 [𝑘𝑊] ; 𝑓𝑝
𝑍 0
𝑧𝑜
𝑧 0
𝑎𝑏
𝑧 0
𝑧𝑜
𝑧𝑜
𝑎𝑏
𝑧 0
3
𝑧 0
Ley de Ohm
0
𝑎𝑏
𝑧 0
0
