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SOLUCIONARIO DE CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL DE WILLIAM ANTHONY GRANVILLE
Ejercicios resueltos por : LIWINTONG MARQUEZ REYES
Problemas “ Pagina 14 “
1. Dado f (x) (^) = x^3 - 5x^2 - 4x + 20 , demostrar que
a. f (1) (^) = 12 f (1) (^) = (1)^3 - 5 (1)^2 - 4 (1) + 20 (^) = 1 - 5 - 4 + 20 (^) = 21 - 9 (^) = 12 f (1) (^) = 12
b. f (5) (^) = 0 f (5) (^) = (5)^3 - 5 (5)^2 - 4 (5) + 20 (^) = 125 - 125 - 20 + 20 (^) = 0 f (5) (^) = 0.
c. f (0) (^) = - 2f (3) Primero calculamos f (3) f (3) (^) = (3)^3 –5 (3)^2 - 4 (3) + 20 (^) = 27 - 45 - 12 + 20 (^) = 47 - 57 (^) = f (3) (^) = - 10
Luego, calculamos f (0). f (0) (^) = (0)^3 + 5 (0)^2 - 4 (0) + 20 (^) = 0 + 0 - 0 + 20 (^) = 20. f (0) (^) = 20. Sustituyendo f (3) y f (0) en la función original. f (0) (^) = - 2 f (3). (^20) = -2 (-10) (^20) = + 20.
d. f (7) (^) = 5 f (-1) Primero calculamos f (-1). f (-1) (^) = (-1)^3 -5 (-1)^2 - 4 (-1) + 20 (^) = - 1 -5 + 4 + 20 (^) = - 6 + 24 (^) = f (-1) (^) = 18.
Luego, calculamos f (7). f (7) (^) = (7)^3 - 5 (7)^2 - 4 (7) + 20 (^) = 343 - 245 - 28 + 20. f (7) (^) = 363 - 273 (^) = 90. Sustituyendo, f (-1) y f (7) en la función original. f (7) (^) = 5. f (-1). (^90) = 5 (18). (^90) = 90.
2. Si f (x) (^) = 4 - 2x^2 + x^4 , calcular :
a. f (0) f (0) (^) = 4 - 2 (0)^2 + (0)^4 = 4 - 0 + 0 (^) = 4 f (0) (^) = 4.
b. f (1) f (1) (^) = 4 - 2 (1)^2 + (1)^4 = 4 - 2 + 1 (^) = 5 - 2. f (1) (^) = 3.
c. f (-1) f (-1) (^) = 4 -2 (-1)^2 + (-1)^4 = 4 - 2 + 1 (^) = 5 - 2 f (-1) (^) = 3.
d. f (2) f (2) (^) = 4 -2 (2)^2 + (2)^4 = 4 - 8 + 16 (^) = 20 - 8 f (2) (^) = 12.
e. f (-2) f (-2) (^) = 4 - 2 (-2)^2 + (-2)^4 = 4 - 8 + 16 (^) = 20 - 8 (^) = f (-2) (^) = 12.
6. Dado f (x) (^) = x^3 + 3x , demostrar que
f (x + h) - f (x) (^) = 3(x^2 + 1) h + 3xh^2 + h^3. Primero encontramos f (x + h) f (x + h) (^) = (x + h)^3 + 3(x + h). f (x + h) (^) = x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 + h^3 + 3x + 3h. Luego : f (x + h) - f (x) f (x + h) - f (x) (^) = x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 + h^3 + 3x + 3h - (x^3 + 3x). f (x + h) - f (x) (^) = x^3 + 3x^2 h + 3xh^2 + h^3 + 3x + 3h - x^3 - 3x. Efectuando : f (x + h) - f (x) (^) = 3x^2 h + 3h + 3xh^2 + h^3. f (x + h) (^) = 3h (x^2 + 1) + 3xh^2 + h^3. f (x + h) (^) = 3 (x^2 + 1) h + 3xh^2 + h^3.
7. Dado f (x) (^) = 1 , demostrar que : f (x + h) - f (x) (^) = _ 1. x x^2 + xh
Primero encontramos f (x + h) :
f (x + h) (^) = 1. x + h
Luego : f (x + h) - f (x) (^) = 1 - 1. x + h x
f (x + h) - f (x) (^) = x - (x + h) (x + h) x
f (x + h) - f (x) (^) = x - x - h (^) = _ h. (x + h) x x^2 + xh
8. Dado φ (z) (^) = 4 z^ , demostrar que: φ (z + 1) - φ (z) (^) = 3 φ (z)
Primero encontramos φ (z + 1)
φ (z+1) (^) = 4 z + Luego:φ (z + 1) - φ (z) (^) = 4 z +1^ - 4z. φ (z + 1) - φ (z) (^) = 4 z.4 - 4z. φ (z + 1) - φ (z) (^) = 4 z^ (4 - 1) (^) = 4 z^ (3) (^) = 3 (4z). Pero : φ (z) (^) = 4 z. ⇒ φ (z + 1) - φ (z) (^) = 3 φ (z).
9. Si φ (x) (^) = ar^ ,demostrar que: φ (y). φ (z) (^) = φ (y + z)
φ (y) (^) = ay φ (z) (^) = az φ (y).φ (z) (^) = ay.az^ = ay + z
Si: φ (x) (^) = ax^ ⇒ φ (y). φ (z) (^) = ay + z^ = φ (y + z).
10. Dado φ^ (x)^ = log 1 - x^ ,demostrar que:^ φ^ (y) +^ φ^ (z)^ = φ^ y + z. 1+ x 1+ yz .^ Primero calculamos^ φ^ (y) , sustituyendo en^ φ^ (x):^ φ^ (y)^ =^ log 1 - y 1+ y . Luego calculamos^ φ^ (z) , sustituyendo en^ φ^ (x) :^ φ^ (z)^ =^ log^ 1 - z 1 + z
Ahora: φ (y) + φ (z) (^) = log 1 - y + log 1 - z (^) = log (1 - y)(1 - z). 1 + y 1 + z (1 + y)(1 + z)
φ (y) + φ (z) (^) = log 1 - y - z + yz (^) = (1 + yz) - (y + z).
⇒ f (x+2h) - f (x) (^) = 2 cos (x+h). sen h.
Problemas “Paginas 21 – 22 “
Demostrar cada una de las siguientes igualdades:
2. lim 4x + 5 (^) = 2 x → ∞ 2x + 3
Dividiendo númerador y denominador por x y luego sustituyendo por ∞.
4x + 5 4 + 5 4 + 5 (^). lim x x (^) = x (^) = ∞ (^) = 4 + 0 (^) = 4 = 2. x → ∞ 2x + 3 2 + 3 2 + 3 2 + 0 2 x x x ∞
3. lim 4t^2 + 3t + 2 (^) = - 1 (^). t → 0 t^3 + 2t - 6 3
Se sustituye t →0 en el numerador y denominador.
lim 4 (0)^2 + 3(0) + 2 (^) = 0 + 0 + 2 (^) = 2 = - 1. t → 0 (0)^3 + 2(0) - 6 0 + 0 - 6 - 6 3
4. lim x^2 h + 3xh^2 + h^3 = x. h → 0 2xh + 5h^2
lim h (x^2 + 3xh + h^2 ) (^) = x^2 + 3xh + h^2 h → 0 h (2x + 5h) 2x + 5h
Se sustituye h →0 tanto en el numerador como en el denominador.
lim x^2 + 3x(0) + (0)^2 = x^2 + 0 + 0 (^) = x^2 = x .x (^) = x. h → 0 2x + 5(0) 2x + 0 2x 2 x 2
5. lim 6x^3 - 5x^2 + 3 (^) = 3 x →∞ 2x^3 + 4x - 7
Primero dividimos, tanto en el numerador como en el denominador por x^3.
6 x^3 - 5x^2 + 3 6 - 5 + 3. lim x^3 x^3 x^3 = x x^3 = x →∞ 2 x^3 + 4x - 7 2 + 4 - 7 x^3 x^3 x^3 x^2 x^3
Luego sustituyendo x →∞ y teniendo presente que todo número para ∞ (^) = 0.
6 - 5 + 3 (^). ∞ ∞^3 = 6 - 0 + 0 (^) = 6 = 3. 2 + 4 - 7 2 + 0 - 0 2 ∞^2 ∞^3
6. lim (2z + 3k)^3 - 4k^2 z (^) = 1 k → 0 2z ( 2z - k )^2
lim (2z)^3 + 3(2z)^2 (3k) + 3(2z)(3k)^2 + (3k)^3 - 4k^2 z. k → 0 2z [(2z)^2 - 2zk + (k)^2 ]
lim 8z^3 + 36z^2 k + 54zk^2 + 27k^3 - 4k^2 z. k → 0 2z (4z^2 - 2zk + k^2 )
Sustituyendo k → 0
lim 8z^3 + 36z^2 (0) + 54z (0)^2 + 27 (0)^3 - 4(0)^2 z. k → 0 2z [4z^2 - 2z(0) + (0)^2 ]
lim 8z^3 + 0 + 0 + 0 - 0 (^) = 8z^3 = 1 k → 0 2z (4z^2 - 0 + 0) 8z^3.
9. lim s^4 - a^4 = 2a^2 s → a s^2 - a^2
lim (s^2 + a^2 ) (s^2 - a^2 ) (^) = s^2 + a^2. s → a ( s^2 - a^2 )
Sustituyendo s →a en la operación.
lim a^2 + a^2 = 2a^2 s → a
10. lim x^2 + x - 6 (^) = 5. x → 2 x^2 - 4 4
lim (x + 3) (x - 2) (^) = (x + 3). Sustituyendo x→ 2 : x → 2 (x + 2) (x - 2) (x +2)
lim (2 + 3) (^) = 5. x → 2 (2 + 2) 4
11. lim 4y^2 - 3 (^) = 0 y →∞ 2y^3 + 3y^2
Dividimos para y^3. 4 y^2 - 3 4 - 3. lim y 3 y^3 = y y^3. y →∞ 2 y 3 + 3 y 2 2 + 3 y 3 y 3 y
Sustituyendo y→∞ en la operación :
4 - 3. lim ∞ ∞ (^) = 0 - 0 (^) = 0 = 0 y →∞ 2 + 3 2 + 0 2
12. lim 3h + 2xh^2 + x^2 h^3 = - 1. h →∞ 4 - 3xh - 2x^3 h^3 2x
Dividiendo todo para h^3. 3h + 2xh^2 + x^2 h^3 3 + 2x + x^2 lim h^3 h^3 h^3 = h^2 h. h→∞ 4 - 3xh - 2x^3 h^3 4 - 3x - 2x^3 h^3 h^3 h^3 h^3 h^2
Sustituyendo h→∞ en la operación :
lim 3 + 2x + x^2 3 + 2x + x^2 h →∞ ∞^2 ∞ (^) = ∞ ∞ (^) = 0 + 0 + x^2 = x^2 = - 1. 4 - 3x - 2x^3 4 - 3x - 2x^3 0 - 0 - 2x^3 -2x^3 2x ∞^3 ∞^2 ∞ ∞
13. lim aoxn^ + a 1 xn-1^ + … + a (^) n = ao. x →∞ boxn^ + b 1 xn-1^ + … + bn bo
lim aoxn^ + a 1 xn.x-1^ + … + an. Dividiendo todo para el mayor exponente xn x →∞ boxn^ + b 1 xn.x-1^ + … + b
aoxn^ + a 1 xn.x-1^ + … + an ao + a 1 .x-1^ + … + an. lim xn^ xn^ xn^ = xn^. x →∞ boxn^ + b 1 .xn.x-1^ + … + bn bo + b 1 .x-1^ + … + bn xn^ xn^ xn^ xn
Sustituyendo ∞ en x.
ao + a 1 + … + an lim ∞ ∞ (^) = lim ao + 0 + … + 0 (^) = ao. x →∞ bo + b 1 + … + bn x →∞ bo + 0 + … + 0 bo ∞ ∞
16. lim √x + h - √x (^) = 1. h → 0 h 2 √x
Racionalizando el numerador:
lim (√x + h - √x ) (√x + h + √x ) h → 0 h (√x + h + √x) lim (√x + h )^2 - (√x )^2 = x + h - x. h → 0 h(√x + h + √x) h(√x+h + √x)
lim h (^) = 1. h → 0 h (√x + h + √x) (√x + h + √x )
Sustituyendo h→0 en la operación.
lim (^1) = 1 = 1. h → 0 (√x + 0 + √x ) (√x + √x ) 2 √x
17. Dado f (x) (^) = x^2 , demostrar que :
lim f (x+h) - f (x) (^) = 2x h → 0 h
Si f (x) (^) = x^2
f (x+h) (^) = (x+h)^2
⇒ lim (x + h)^2 - x^2 = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2 = h (2x + h) (^) = 2x + h h → 0 h h h h.
Sustituyendo h → 0 en la operación:
lim 2x + h (^) = 2x + 0 (^) = 2x h → 0
18. Dado f (x) (^) = ax^2 + bx + c , demostrar que:
lim f (x + h) - f (x) (^) = 2ax + b. h → 0 h
f ( x ) (^) = ax^2 + bx + c. f (x + h) (^) = a (x + h)^2 + b (x + h) + c. f (x + h) (^) = a (x^2 + 2xh + h^2 ) + bx + bh + c. f (x + h) (^) = ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c.
Reemplazando en la función:
lim f (x + h) - f (x) (^) = ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - (ax^2 + bx + c). h → 0 h h
lim ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c (^) = 2axh + ah^2 + bh. h → 0 h h
lim h (2ax + ah + b ) (^) = 2ax + ah + b ; h → 0 h (^).
lim 2ax + a ( 0 ) + b (^) = 2ax + b h → 0
19. Dado f (x) (^) = 1 ,demostrar que : x
lim f (x + h) - f (x) (^) = - 1. h → 0 h x^2
f(x) (^) = 1. x f(x+h) (^) = 1. x + h
Problemas “ Página 32 “
Calcular la derivada de cada una de las siguientes funciones usando la regla general.
1. y (^) = 2 - 3x
Se sustituye en la función "x" por "x + ∆ x" y se calcula el nuevo valor de la función y + ∆ y.
y + ∆y (^) = 2 - 3 (x + ∆X). Se resta el valor dado de la función del nuevo valor y se obtiene ∆y.
Y + ∆y = 2 - 3 (x + ∆X) Y + ∆y = 2 – 3X -3∆X y + ∆y - y (^) = 2 - 3x - 3∆x – 2 + 3X (^). ∆y (^) = - 3∆x.
Se divide ∆y para ∆x.
∆y (^) = - 3∆x ∆x ∆x
Se calcula el límite de este cociente cuando ∆ x → 0. El límite así hallado es la derivada buscada.
∆y (^) = - 3∆x. ∆ X ∆x. lim ∆ x → 0
dy (^) = - 3 Y’^ = - dx
2. y (^) = mx + b.
y + ∆y (^) = m (x + ∆x) + b. Y + ∆y = mX + m∆x + b y + ∆y - y (^) = mx + m∆x + b – mX - b ∆y = m∆X ∆y (^) = m ∆x ∆x ∆x ∆y (^) = m ∆x lim ∆ x → 0
dy (^) = m. Y ‘^ = m dx
3. y (^) = ax^2
y + ∆y (^) = a ( X + ∆x)^2. y + ∆y (^) = a ( X^2 +2X ∆X + ∆x^2 ) y + ∆y (^) = aX^2 +2aX ∆X + a∆x^2 y + ∆y - y (^) = aX^2 +2aX ∆X + a∆x^2 - aX^2 ∆y (^) = 2aX ∆X + a∆x^2 ∆y (^) = 2ax. ∆x + a.∆x^2. ∆x ∆x ∆x. ∆y (^) = 2ax + a.∆x. ∆x lim ∆ x → 0
dy (^) = 2ax + a (0) dx
dy (^) = 2ax. Y ‘^ = 2 ax dx
6. y (^) = 3x - x^3.
y + ∆y (^) = 3 (x + ∆x) - (x + ∆x)^3. y + ∆y (^) = 3 x + 3∆x - (x^3 +3X^2 ∆x + 3X ∆x^2 + ∆x^3 ) y + ∆y (^) = 3 x + 3∆x - x^3 -3X^2 ∆x - 3X ∆x^2 - ∆x^3 y + ∆y - y (^) = 3 x + 3∆x - x^3 -3X^2 ∆x - 3X ∆x^2 - ∆x^3 – 3X + X^3. ∆y (^) = 3 ∆x - 3X^2 ∆x - 3X ∆x^2 - ∆x^3 ∆y (^) = 3.∆x - 3x^2 .∆x - 3x.(∆x)^2 - (∆x)^3. ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x ∆y (^) = 3 - 3x^2 - 3x (0) - (∆x)^2 ∆x lim ∆ x → 0
dy (^) = 3 - 3x^2. Y’^ = 3 – 3x^2 dx
7. u (^) = 4v^2 + 2v^3.
u + ∆u (^) = 4 (v + ∆v)^2 + 2 (v + ∆v)^3. u + ∆u = 4 ( v^2 + 2v∆v + ∆v^2 ) + 2 ( v^3 + 3v^2 ∆v + 3v∆v^2 + ∆v^3 ) u + ∆u = 4 v^2 + 8v∆v +4∆v^2 + 2v^3 + 6v^2 ∆v + 6v∆v^2 + 2∆v^3 u + ∆u – u = 4 v^2 + 8v∆v +4∆v^2 + 2v^3 + 6v^2 ∆v + 6v∆v^2 + 2∆v^3 – 4v^2 – 2v^3 ∆ u (^) = 8v∆v +4∆v^2 + 6v^2 ∆v + 6v∆v^2 + 2∆v^3 ∆u (^) = 8v. ∆v + 4. ∆v^2 + 6v^2. ∆v + 6v. ∆v^2 + 2. ∆v^3. ∆v ∆v ∆v ∆v ∆v ∆v
∆u (^) = 8v + 4. ∆v + 6v^2 + 6v. ∆v + 2. ∆v^2 ∆v ∆u (^) = 8v + 4(0) + 6v^2 + 6v(0) + 2(0 )^2 ∆v lim ∆ v → 0 du (^) = 8v + 0 + 6v^2 + 0 + 0 dv du (^) = 8v + 6v^2. U’^ = 8v + 6v^2
dv
8. y (^) = x^4.
y + ∆y (^) = (x + ∆x)^4. y + ∆y (^) = x^4 + 4X^3 ∆x + 6X^2 ∆x^2 + 4X∆x^3 + ∆x^4 y + ∆y - y (^) = x^4 + 4X^3 ∆x + 6X^2 ∆x^2 + 4X∆x^3 + ∆x^4 - x^4 ∆y (^) = 4x^3. ∆x + 6x^2 .∆x^2 + 4x.∆x^3 + ∆x^4. ∆y (^) = 4x^3. ∆x + 6x^2 (∆x)^2 + 4x(∆x)^3 + (∆x)^4 ∆x ∆x ∆x ∆x ∆x.
∆y (^) = 4x^3 + 6x^2. ∆x + 4x (∆x)^2 + (∆x)^3 ∆x ∆y (^) = 4x^3 + 6x^2 (0) + 4x(0)^2 + ( 0 )^3 ∆x lim ∆ x → 0
dy (^) = 4x^3. Y ‘^ = 4x^3 dx
9. e (^) = 2. θ + 1
e + ∆e (^) = 2. (θ + ∆θ) + 1
e + ∆e - e (^) = 2 - 2. (θ + ∆θ) + 1 (θ+1)
∆e (^) = 2 (θ + 1) - 2[(θ + ∆θ) + 1]. [(θ + ∆θ) + 1] (θ + 1)
∆e (^) = 2 θ + 2 - 2 θ - 2. ∆θ - (^2) = - 2. ∆θ. [(θ + ∆θ) + 1] (θ + 1) [(θ + ∆θ) + 1](θ + 1) ∆e (^) = - 2.∆θ (^) = -2 (^) =
