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SERIES POSITIVAS:
Definición
El concepto de serie está relacionado con el de sucesión. Si
{ A (^) k } es la sucesión de a 1 , a 2 , a 3 , … … … … ..., a (^) n , ..........,
entonces a la suma indicada por a 1 + a 2 + a 3 + ……+ a (^) n +
……..
Se le llama serie infinita y se denota por:
Los elementos a 1 , a 2 , a 3 , … … … … ..., an , se llaman términos
de la serie y ak se denomina término general.
Se presenta en forma compacta como o bien
por conveniencia.
Convergencia o divergencia de una serie
La pregunta que se tratará de contestar aquí es
¿Cuándo una serie infinita tiene por suma un número?
Con el siguiente ejemplo se estudia la serie representada por
Como se puede observar: 0,3 + 0,03+0,003+0.0003 +
Intuitivamente se podría decir entonces que la
serie CONVERGE a , ya que al sumar todos los
términos de la serie esa suma sería_._
Por otra parte, en la siguiente serie:
Se puede observar que no tiene suma, ya que sus términos van creciendo en forma potencial y nunca se terminaría de sumar sus infinitos términos, en este caso se dice que la serie DIVERGE, o sea, NO TIENE SUMA.
Tipos de series
En las siguientes series se puede determinar su convergencia o divergencia por simple inspección, veamos...
Serie geométrica
A una serie de la forma
Se la llama SERIE GEOMETRICA
donde r es la razón de la serie
Ejemplo 2
Dada la serie
a) Calcule los 3 primeros términos de la serie
b) Determine si es Convergente o Divergente
c) Si es Convergente Halle su suma
a)
b) La serie Diverge porque |r |= >
Serie P
Tiene la forma:
La serie p Converge para p > 1
Diverge para p ≤ 1
Dentro de las series p hay un caso especial cuando p = 1,
La serie que se obtiene es:
Se llama SERIE ARMONICA y es Divergente
Propiedades de las series
TEOREMA 1.
Si c es una constante, entonces tanto ∑ a (^) k como ∑ cak son convergentes o bien divergentes.
Esto quiere decir, que si una constante multiplica a una serie, esta constante no altera su convergencia o divergencia.
TEOREMA 1.
Si ∑ a (^) k y ∑ b (^) k son dos series que convergen a S 1 y a S 2 respectivamente, entonces ∑ (a (^) k + bk ) converge a S 1 + S 2****.
Este teorema se interpreta como que si dos series son convergentes, la suma de las dos series también es convergente.
TEOREMA 1.
Si ∑ a (^) k es convergente y ∑ b (^) k es divergente, entonces ∑ (a (^) k + b (^) k ) es divergente.
Dicho de otra forma, si se tiene una suma de dos series, basta que alguna sea divergente para que la suma también lo sea.
Ejemplos
Determine si las siguientes series convergen o
divergen
Converge por Teorema 1.
Entonces tenemos que:
Para romper la indeterminación podemos utilizar la regla de L'Hopital o dividir por la mayor potencia entre el numerador y el denominador.
Si utilizamos la regla de L'Hopital, (Derivar numerador y denominador y luego evaluar el límite, tantas veces como sea necesario hasta que se rompa la indeterminación) tenemos:
Entonces de acuerdo al criterio de la Divergencia la serie es Divergente
Es importante resaltar que este criterio solo nos dice cuando la serie Diverge y no cuando converge, si al evaluar el límite se obtiene cero ( “0” ) , no podemos concluir que la serie Converge, en ese caso el criterio no es concluyente.
Criterios de Comparación
Existen dos criterios que se basan en comparar la serie
desconocida con una serie conocida llamada serie de prueba.
Son dos:
- Criterio de Comparación Directa
- Criterio de Comparación por límite
Comparación directa
CRITERIO DE COMPARACION DIRECTA
Sea ∑ a (^) k una serie positiva desconocida y ∑ b (^) k una serie positiva conocida llamada serie de prueba, entonces:
a) Si ∑ bk es convergente y se cumple que a (^) n ≤ b (^) n entonces la serie desconocida ∑ ak es también convergente.
b) Si ∑ bk es divergente y se cumple que a (^) n ≥ bn entonces la serie desconocida ∑ a (^) k es también divergente.
Comparación por límite
Sea ∑ a (^) k una serie positiva desconocida y ∑ b (^) k una serie positiva conocida llamada serie de prueba y:
Entonces:
a) Si L > 0, la serie de prueba y la desconocida son iguales, es decir, si la serie de prueba converge, la desconocida converge, y si la serie de prueba diverge entonces la serie desconocida también diverge.
b) Si L = 0 y la serie de prueba ∑ b (^) k converge, entonces la serie desconocida también converge.
c) Si L → ∞ y serie de prueba ∑ b (^) k diverge, entonces la serie desconocida también diverge.
Es importante resaltar lo siguiente:
No se puede concluir nada que no contemple el teorema, por ejemplo:
Si el límite da cero y la serie de prueba no es convergente, no podemos concluir ni que converge ni que diverge.
Lo mismo pasaría si L → ∞ y la serie de prueba ∑ bk converge, para ambos casos el criterio no es concluyente, y deberíamos utilizar otro , o simplemente repetir el procedimiento con otra serie de prueba.
Ejemplo 1
an = y b (^) n =
Linealizando:
2 n^ ≤ n 2n
Esta desigualdad se cumple para todo valor en el intervalo [1,
+∞]
Por lo tanto, podemos concluir que la serie desconocida es
convergente
Si utilizamos la serie de prueba
Como se trata de una serie Divergente, de acuerdo al
apartado (b) del criterio de comparación directa, debemos
determinar si se cumple la desigualdad: an ≥ bn
Tenemos entonces que:
Linealizando:
n ≥ n2n
Esta desigualdad no se cumple para los valores del intervalo
[1, +∞],
Si tiene dificultades para observar esto, es recomendable
hacer la sustitución de valores comprendidos en este intervalo
y verificar la tendencia, debe cumplirse para todos los valores
del intervalo.
Ahora bien, como la desigualdad no se cumple, eso significa
que la serie de prueba no sirve para aplicar este criterio y no
es concluyente.
USANDO EL CRITERIO DE COMPARACION POR LÍMITE
Se calcula:
De acuerdo al teorema, si el límite es > 0, las dos series son
iguales, por lo tanto se puede concluir que como la serie de
prueba es convergente, la serie desconocida también es
convergente.
Ejemplo 2
Utilice un criterio de comparación para determinar si la serie converge o diverge.
Se busca una serie apropiada para poder hacer la comparación:
Cuando se tienen polinomios se puede construir la serie de prueba utilizando las mayores potencias del numerador y del denominador
Mayor potencia del numerador: 1
Mayor potencia del denominador: k 2 pero como está dentro
de una raíz cuadrada en realidad es:
Como el límite es positivo ( > 0) entonces de acuerdo al teorema, ambas series son iguales, por lo tanto la serie desconocida es Divergente.
Criterio de la Razón
Este criterio se utiliza generalmente cuando se tienen series en las que aparecen expresiones como: n! ; n n^ ; an^ y se basa en el siguiente teorema:
TEOREMA
Sea la serie con ak ≠ 0 y ; si
a) L < 1 , entonces la serie es convergente
b) L > 1 ó L → ∞ entonces la serie es Divergente
c) L=1 el criterio NO ES CONCLUYENTE
EJEMPLO
Determine si la serie converge o diverge:
Se recomienda el uso del criterio de la razón debido a la presencia del factorial y a la función exponencial, entonces:
Se buscan primero los términos an+1 y a (^) n
De esta forma, de acuerdo a la parte b del criterio de la razón, la serie dada es divergente.
Criterio de la raíz
TEOREMA
Sea la serie con ak ≠ 0 , y = L entonces:
a) L<1 , entonces la serie es convergente
b) L>1 ó L → ∞ entonces la serie es divergente
c) L=1 el criterio NO ES CONCLUYENTE
Ejemplo
DETERMINAR SI LA SERIE CONVERGE O DIVERGE
Usando el Criterio de la Raíz
Primero, se determina el término enésimo
Aplicando el criterio se tiene:
el intervalo [1, +∞] se puede concluir que la función es continua en ese intervalo.
b) F(x) es positiva
c) Para determinar si es decreciente, se analiza la derivada de la función, si es negativa entonces es decreciente:
f(x)= 2(6x+5) -4/
f'(x)=
Como se puede ver, la primera derivada de la función es negativa, por lo tanto la función es decreciente para todo valor de x ≥ 1
Se cumplen pues, las hipótesis del criterio de la integral, entonces:
Resolviendo primero la integral en forma indefinida, para así evitar cambiar los limites de integración, se tiene:
Haciendo un cambio de variable:
Si u= 6x+5 entonces du = 6dx por lo tanto dx = du/
La integral queda:
De esta forma:
Ahora bien, como la integral impropia existe, es convergente por lo tanto de acuerdo al criterio de la integral, la serie tambien es convergente.
Ejemplo 2
Determine si la serie converge o diverge usando el criterio de la integral
Sea continua y de valores positivos para todo x ≥ 1
< 0 si x ≥ 1
Por lo tanto, f(x) es decreciente en [1,+∞]
Se satisfacen entonces las hipótesis del criterio de la integral, podemos entonces aplicar el criterio:
