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ESCUELA POLITECNICA´ NACIONAL
DEPARTAMENTO DE FORMACI ON B ´ ASICA´
C´atedra de c´alculo en una variable
Cap´ıtulo 01. L´ımites y continuidad
de funciones reales en una variable. Teoremas
Clase 03
a) Tema
- Definiciones de l´ımites infinitos.
- Teoremas de l´funciones, funci´ımites infinitos de funciones: lineal, homogr´on potencia, funci´on ra´ız. afica, suma y producto de
- Teorema l´ımite de una funci´on creciente y no acotada superiormente.
- Teoremas de l´ımites infinitos de las funciones exponencial y logar´ıtmica.
- Teorema de la monoton´ıa de l´ımites infinitos.
b) Teor´ıa
1 Definiciones de l´ımites infinitos.
Definici´on 1.1 (L´ımite infinito cuando la variable x tiende a un punto). Seade f cuando x tiende a c es igual a f : [a, b] → R una funci´on real definida en +∞, lo que se denota [a, b] excepto posiblemente en lim c ∈]a, b[. El l´ımite
lim^ x→c^ f^ (x) = +∞, est´a definido por: x→c f^ (x) = +∞^ si y solo si^ ∀K >^0 ,^ ∃δ >^0 ,^ ∀x^ ∈^ R,^ (0^ <|^ x^ −^ c^ |< δ^ →^ f^ (x)^ > K). lim^ Notaci´on: Se dice que una funci´on^ f^ DIVERGE a +∞^ cuando x tiende a c si y solo si x→c f^ (x) = +∞. Definici´on 1.2 (L´ımite infinito cuando la variable x tiende al infinito). Sea es igual a f : [a, ++∞∞[, lo que se denota→ R una funci´on real definida en lim [a, +∞[. El l´ımite de f cuando x tiende a +∞ x→+∞ f^ (x) = +∞, est´a definido por: x→^ lim+∞ f^ (x) = +∞^ si y solo si^ ∀K >^0 ,^ ∃N >^0 ,^ ∀x^ ∈^ R,^ (x > N^ →^ f^ (x)^ > K). NOTA:
xlim→c+^ f^ (x) = +∞^ y^ xlim→c−^ f^ (x) = +∞ →^ xlim→c^ f^ (x) = +∞. Es decir, si la funci´punto c, entonces la funci´on es divergente a +on es DV a +∞∞ en el punto tanto por la izquierda como por la derecha del c
Con las definiciones dadas, sabemos que los l´es decir, convergente o divergente a +∞ o −∞ımites de funciones pueden ser finitos o infinitos, y calculados en un punto o en cualquiera de los infinitos. A continuaci´en l´ımites finitos, el lector solo debe grabar en su mente los teoremas principales y no suson presentamos una lista ordenada de teoremas de l´ımites infinitos. Igual que generalizaciones.
2 Teoremas de l´ımites infinitos de funciones: identidad, ho-
mogr´afica, suma y producto de funciones, funci´on potencia,
funci´on ra´ız
TI 1 (Teorema para el cambio de signo en funciones divergentes a −∞ o −∞). ∀c ∈ R, (^) xlim→c −f (x) = +∞ si y solo si (^) xlim→c f (x) = −∞ TI 2 (L´ımite infinito de la funci´on identidad). (^) x→lim+∞ x = +∞ TI 3 (L´ımite infinito de la funci´on homogr´afica). (^) xlim→ 0 +^1 x = +∞ y (^) xlim→ 0 − x^1 = −∞ Generalizaciones de TI 3.: TI 3.1. ∀c ∈ R, Si lim x→c f (x) = 0+^ entonces lim x→c f (^1 x) = +∞. TI 3.2. ∀c ∈ R, Si lim x→c f (x) = 0−^ entonces lim x→c f (^1 x) = −∞. TI 4 (L´ımite infinito de la suma de dos funciones). Si f es una funci´tonces (f + g) es divergente aon real divergente a +∞. +∞ y g es una funci´on real acotada inferiormente, en-
Generalizaciones de TI 4.: TI 4.1. ∀c ∈ R, Si lim x→c f (x) = +∞ y lim x→c g(x) = L ∈ R, entonces lim x→c[f (x) + g(x)] = +∞. TI 4.2.
3 Teorema del l´ımite de una funci´on creciente y no acotada
superiormente
TI 8.f diverge a Si f es una funci´ +∞. on mon´otona creciente y no acotada superiormente, entonces la funci´on
4 Teoremas de l´ımites infinitos de las funciones exponencial y
logar´ıtmica
TI 9 (L´ımite infinito de la funci´on exponencial). Si a > 1 entonces (^) x→lim+∞ ax^ = +∞. Generalizando TI 9 en el exponente de x y luego en la base a, tenemos: TI 9.1. Si a > 1 y ∀c ∈ R, (^) xlim→c f (x) = +∞ entonces lim x→c af^ (x)^ = +∞. *TI 9.2. ∀c ∈ R, Si (^) xlim→c g(x) = L > 1 y lim x→c f (x) = +∞ entonces lim x→c g(x)f^ (x)^ = +∞.
TI 10. Si a > 1 y n ∈ N entonces (^) x→lim+∞^ a xxn = +∞. Similar al TI 9, se pueden hacer sendas generalizaciones al TI 10. TI 10.1. Si a > 1 y n ∈ N y ∀c ∈ R, (^) xlim→c f (x) = +∞ entonces lim x→c f^ a (fx^ (x))n = +∞. *TI 10.2. ∀c ∈ R, Si lim x→c g(x) = L > 1 y n ∈ N y lim x→c f (x) = +∞ entonces lim x→c^ g( fx (x)f)^ (nx )= +∞. TI 11 (L´ımite infinito de la funci´on logar´ıtmica). Si a > 1 entonces (^) x→lim+∞ loga x = +∞. Las siguientes son las generalizaciones de TI 11. TI 11.1. Si a > 1 y ∀c ∈ R, (^) xlim→c f (x) = +∞ entonces lim x→c loga^ (f (x))^ = +∞. TI 11.2. ∀c ∈ R, Si lim x→c g(x) = L > 1 y lim x→c f (x) = +∞ entonces lim x→c logg(x)^ (f (x))^ = +∞.
5 Teorema de la monoton´ıa de l´ımites infinitos
TI 12. Sea U (c, δ) cualquier entorno del punto c. ∀c ∈ R, Si (^) xlim→c g(x) = +∞ y ∀x ∈ U (c, δ), f (x) > g(x) entonces (^) xlim→c g(x) = +∞. Observaci´igualmente se verifican si se sustituyeon 2. Todas las generalizaciones son corolarios de los teoremas principales que c por −∞ o +∞. La demostraci´on de los teoremas generalizados (corolarios), fundamentalmente se demuestran mediante un cambio de variabley utilizando el teorema de la funci´on compuesta. El lector solo debe estudiar los teoremas principales de los teoremas finitos e infinitos y lasgeneralizaciones (corolarios) debe deducirlas mentalmente, no es necesario que se los estudie. Sugiero al lector hacer las demostraciones de los corolarios con asteriscos.
c) Ejercicios o problemas resueltos
- Calcule el siguiente l´ımite: (^) x→lim+∞^ x x^2 + 4+ 2x Sacando factor com´un y asociando las funciones: x→lim+∞^ x( xx + 2^ + 4) =^ x→lim+∞ x^ (^ x x^ + 4+ 2^ ) El producto de funciones lo podemos trabajar por separado: a) (^) x→lim+∞^ x x^ + 4+ 2 = (^) x→lim+∞^ 1 + 1 +^ x x^42 Aplicando l´ımites en el numerador y denominador y evaluando tenemos: x→lim+∞^ (^ 1 +^4 x^ ) x→^ lim+∞^ (^ 1 +^2 x^ )^ =^
b) (^) x→lim+∞ x = +∞ Uniendo los resultados de los items a) y b) y aplicando el teorema del l´producto de dos funciones tenemos: ımite infinito del x→lim+∞^ x x^2 + 4+ 2x =^ x→lim+∞ x^ (^ x x^ + 4+ 2^ )^ = +∞
- Calcular el siguiente l´ımite: (^) x→lim+∞^ (ln(x) − x) Sea y = ln(x) entonces x = ey. Adem´as (^) x→lim+∞ y = (^) x→lim+∞ ln(x) = +∞.
L = (^) y→lim+∞^ [( 1 +^1 y^ )y]^2 =^ [ y→ lim+∞^ ( 1 +^1 y^ )y]^2 = e^2.
- Resolver el siguiente l´ımite: (^) xlim→ 0 + xx Como ∀w ∈ R, eln(w)^ = w entonces xlim→ 0 +^ xx^ =^ xlim→ 0 +^ eln(xx)^ =^ xlim→ 0 +^ ex^ ln(x).^ (1) Sea L 1 = (^) xlim→ 0 + x ln(x). (2) En (2) sea y = − ln(x) entonces x = e−y^ y (^) xlim→ 0 + y = (^) xlim→ 0 + − ln(x) = +∞ ( vea el ejercicio 3). Realizando el cambio de variable mediante el teorema del l´tenemos: ımite de la funci´on compuesta L 1 = (^) y→lim+∞ e−yy = (^) y→lim+∞ e^ yy = 0. (3) Finalmente utilizando el resultado (3) en (1) tenemos: xlim→ 0 +^ xx^ =^ xlim→ 0 +^ ex^ ln(x)^ =^ e
( lim x→ 0 +^ x^ ln(x)
) = e^0 = 1
- Calcular (^) x→lim+∞ xx Por el ejercicio anterior x→lim+∞ xx^ =^ x→lim+∞ ex^ ln(x).^ (1) En (1), sea y = x ln(x) y como (^) x→lim+∞ x = +∞ y (^) x→lim+∞ ln(x) = +∞, entonces (^) x→lim+∞ y = (^) x→lim+∞ x ln(x) = +∞. (2) Utilizando (2) y realizando un cambio de variable mediante el teorema del l´funci´on compuesta en (1), tenemos: ımite de la x→lim+∞ xx^ =^ y→lim+∞ ey^ = +∞.
- Sea f (x) = √^32 xx^2 + 4 (^) − 5. Calcular: (a) (^) x→lim+∞ f (x) (b) (^) x→−∞lim f (x)
a) Sea L = (^) x→lim+∞^ √^32 xx^ + 4 (^2) − 5. Multiplicando al numerador y denominador por √^1 x 2 , y operando tenemos: L = (^) x→lim+∞ √^3 x x^2 +^
√^4
√ 2 x (^2) − x 52 √x 2 =^ x→lim+∞
| 3 xx | +^ |^4 x| √ 2 − 5 x^2 Analizando la expresi´tiene que | x |= x on anterior tenemos que cuando x tiende a +∞ (x → +∞), se Por lo tanto: L (^) x→lim+∞^ 3 +
(^4) x √ 2 − (^) x^52. Aplicando l´ımites en el numerador y denominador tenemos que: L = √3 + 4 2 − 5 · 0 · 0 = √^32 b) De la misma manera que la parte a) de este ejercicio, se tiene:
x→−∞lim^ √^32 xx^ + 4^2 − 5 =^ x→−∞lim | 3 xx | +^ | 4 x | √ 2 − (^) x^52 Analizando la expresi´on anterior tenemos que cuando x → −∞ se tiene | x |= −x. Por lo tanto: x→−∞lim √^ − 23 −− 4 x 5 x^2
= − √^32 −−^45 ··^00 = − √^32
- Calcular el siguiente l´ımite: L = lim x→∞^ e 3 xe^3 −x (^) −e^3 x 1. Dividiendo el numerador y denominador para e^3 x^ y operando: L = lim x→∞^ e 3 xe^ e e− 333 xexx−^3 x 1 = lim x→∞ 3 e^12 −x^ − e (^13 1) x Como (^) xlim→∞ e^12 x = lim x→∞^ (^ e^12 )x = 0, ya que 0 < (^) e^12 < 1. Y (^) xlim→∞ e^13 x = lim x→∞^ (^ e^13 )x = 0, ya que 0 < (^) e^13 < 1. Entonces L =^03 −−^10 = − 13.
d) Ejercicios o problemas propuestos
