Problemes de Biofísica
Curs 2019-2020
1. Difusió dins un bacteri, una cèl·lula humana i un tub Eppendorf. Considereu una molècula de
sucre (per ex. glucosa) que pot difondre dins un bacteri (mida de 1μm), una cèl·lula humana
(mida de 10μm) i un tub Eppendorf que conte 1 ml d’aigua. Calculeu l’ordre de magnitud dels
temps necessaris perquè la molècula explori tot el volum disponible.
Abans de començar, afegirem una dada que falta a l’enunciat; el coeficient de difusió D que és característic
de la molècula d’un nutrient (ex. glucosa). En el nostre cas serà: 𝐷=0,1 𝜇𝑚2/𝑚𝑠
El bacteri, la cèl·lula i el tub són recipients (amb un cert volum) per on la molècula de sucre es mourà per
difusió. Es tracta d’un cas tridimensional per tant la dimensió espacial és d=3. calcular el temps que triga
una partícula en creuar la longitud de la cavitat (veure imatge). Compte que segons les fórmules l’haurem
d’elevar al quadrat 〈𝑥2〉.
〈𝑥2〉 =2 𝐷 𝑑 𝑡 = 6 𝐷 𝑡 ; 〈𝑥2〉=6𝐷𝑡 → 𝑡=<𝑥2>
6𝐷
Càlcul del temps característic (se li assigna τ):
▪ Bacteri ( 1μm): 𝜏𝑏~1𝜇𝑚2
6·0,1𝜇𝑚2/𝑚𝑠=1,66 𝑚𝑠
▪ Cèl·lula ( 10μm): 𝜏𝑐~102𝜇𝑚2
6·0,1𝜇𝑚2/𝑚𝑠=1,66 ×102𝑚𝑠
▪ Tub Eppendorf ( 1 ml d'aigua): Ens donen el volum en comptes de la longitud!
Conversió Litres/Metres: 1𝐿=1 𝑑𝑚3 (𝑜 10−3 𝑚3) → 1𝑚𝐿=10−3 𝑑𝑚3×(106)3 𝜇𝑚3
(10)3 𝑑𝑚3→ 1𝑚𝐿=1012 𝜇𝑚3
També es pot partir de 1𝑚𝐿=1 𝑐𝑚3×(106)3 𝜇𝑚3
(102)3 𝑐𝑚3=(104)3 𝜇𝑚3
On veiem que un lateral d’aquest volum és de longitud 104 𝜇𝑚. Aquest l’elevarem al quadrat.
𝜏𝑡~(104)2𝜇𝑚2
6·0,1𝜇𝑚2/𝑚𝑠=1,66 ×108 𝑚𝑠=1,66×105𝑠 ~ 44 hores!
Què en podem treure de tot això? Doncs que la cèl·lula i el bacteri tenen alta disponibilitat de sucre ja que
es transporta amb molta rapidesa, de l’ordre de mil·lisegons. Per contra, en el tub la difusió és molt lenta.
Figura P1. Tub Eppendorf, on suposem que un lateral té mida 104 μm.
TEORIA (relacionada amb P1)
Relació d’ Stokes-Einstein: 𝐷=𝑘𝐵𝑇𝑎
𝛾=𝑘𝐵𝑇𝑎
6𝜋𝜂𝑅
La segona part de l’equació es deu al model de Stokes de fluids on tenim una esfera de
radi R envoltada per un flux. Segons la llei de Stokes, una esfera perfecte viatjant a
través d’un fluid viscós està sotmesa a una força d'arrossegament 𝐹𝑓=(6𝜋𝜂𝑅)·𝑣
proporcional al coeficient de fricció 𝛾=6𝜋𝜂𝑅.
Quan l’esfera és molt petita el model no va tant bé. De l’ordre d’Angstroms es fa massa petita (ex. la
glucosa també és de l’ordre d’Å i aleshores en el P1 estem portant al límit el model). Per contra, si les
esferes són de l’ordre de nanòmetres sí que podem aplicar el model Stokes de forma eficient.
2. En els teixits dels embrions, les cèl·lules reben informació d’on estan situades mitjançant
gradients de concentració de proteïnes. Un conjunt de poques cèl·lules produeixen proteïna.
1 𝑘𝐵𝑇𝑎≈4,1 𝑝𝑁 𝑛𝑚
