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MATEMÁTICAS I
Grados en Economía y en A.D.E. U.D. Matemáticas para Economía y Empresa Dpto. de Economía Aplicada y Métodos Cuantitativos Facultad de Economía, Empresa y Turismo
Curso 20 20 - 21
Ejercicios Propuestos
PARTE I: CÁLCULO DIFERENCIAL
TEMA 1: FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL
1. El costo en euros de fabricar q unidades de determinado artículo está dado por la función C q ( ) q^3 30 q^2 500 q 200.
a) Calcular el costo de producir 10 unidades del artículo. b) Calcular el costo de producir la décima unidad.
*2. a) Hallar la función compuesta g [ h ( x )] si (^) g u ( ) u^2 3 u 1 y h x ( ) x 1.
b) Si^3
f x x x
hallar un par de funciones g ( u ) y h ( x ) tal que f ( x )= g [ h ( x )].
*3. El número de viviendas (en millones) construidas por año, N , depende de la tasa de interés r de
acuerdo con la expresión 2
N r r
. La tasa de interés está en el 12% y se predice que
disminuirá en los siguientes 2 años al 8% de acuerdo con la expresión
t r t t
, siendo t el
tiempo en meses a partir de este momento. Expresar N como función de t y calcular su valor para t =6.
4. La demanda x de cierto bien está dada por x =2000-15 p , siendo p el precio por unidad. El ingreso mensual obtenido por las ventas viene dado por I =2000p-15 p^2. ¿Cómo depende I de x? 5. Un estudio ambiental en cierta comunidad suburbana revela que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será C p ( ) 0.5 p 1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p t ( ) 10 0.1 t^2 miles.
a) Expresar el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo. b) ¿Cuándo llegará a 6.8 partes por millón el monóxido de carbono?
- 6. Un club acepta ofrecer un banquete a los 100 primeros huéspedes que se inscriban a un precio de 15€ euros cada uno y a los huéspedes adicionales a 20€ cada uno. Expresar el coste del banquete en función de los huéspedes.
7. Sabiendo que el equilibrio de mercado tiene lugar cuando la cantidad ofertada coincide con la demandada ( QS QD ), determinar el precio y cantidad de equilibrio en los siguientes mercados:
a) QS 20 3 pQD 220 5 p. b) QS 32 7 p 0 QD 128 9 p 0.
*8. Calcular los límites de las siguientes funciones:
a)
4 3 0 4 2
lim x 5
x x x x
b)
3 2 6 5
lim x 5( 2) 5( 2)
x x x x
c)
5 lim x (^22 )
x (^) x x
d)
4 2 lim x e x 1
x x
e) lim𝑥→ 𝑥− √𝑥−^ f ) lim𝑥→∞ √3𝑥 + 1 − √3𝑥 − 2
g) 1/ 0 lime x x
h)
lim ln 1 x x x
i) 0
lim (ln 1) x ^ x^ x
j) lim𝑥→∞ 𝑒−𝑥 𝐿𝑛( 1 +^1 𝑥) k ) 3 0
lim ( ); ( ) x 1 0
x x f x f x x x
^
l) 0 lim x
x x
9. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones clasificando sus puntos de discontinuidad:
a )
2 2
x f x x x
b ) f ( ) x E x c)^2
sen , 0 ( ) ,0 1 2 1 , 1
x x f x x x x x
^
d) f ( ) x ln( x^2 3 x 2)
*10. Calcular las derivadas de primer y segundo orden de las siguientes funciones:
a) y =5 b) y = k ( k ) c) y = kx ( k ) d) y =5 x^2 +3 x +2 e) y =(3 x +1)^4
f) y =e x^ g) y =e x^ h) x^2 y e i) y e1/ x j) y =ln( x^2 +1)^5 k) y =( x 2)e x
l) y =( x^2 +2)ln x m) 2 1
x y x
n)
3
( 1)^2
x y x
o)
e 1 e
x ^ y^ ^ x p)
ln 2
x y x
11. Calcular la derivada de primer orden de las siguientes funciones en los puntos x =0 y x =1. Interpretar todos los resultados. a) y =2 x +1 b) y = x^2 c) y = x^3 2 x^2 + x 12. Probar que la función y 3 x^3^ 6 x^2 4 x es creciente para todo valor de x 2/3.
- 13. Calcular los valores de a y b para que la función
( ) (^) sen 0
ax b x y x (^) x x x
^ ^
sea continua y derivable.
*14. La función de demanda de cierto producto lanzado al mercado, a lo largo del tiempo, puede aproximarse bastante bien por:
2
2 ( 3) 2
t
t D t at bt c t
e t
^
donde t viene expresado en meses y D en millones de items. a) Calcular a, b y c para que D sea continua en [0, +). b) Estudiar la derivabilidad de la función resultante.
*25. Un fabricante puede producir radios a un costo de 10$ la unidad y estima que si se venden a x dólares cada uno, los consumidores comprarán aproximadamente 80 x radios cada mes. Expresar el beneficio mensual del fabricante como una función del precio x , dibujar la gráfica de esta función y determinar el precio al cual el beneficio del fabricante será mayor. Explicar las intersecciones con los ejes en términos económicos.
*26. Sea D la función de demanda de una población en función del nivel de renta r
D r ( ) (1 20 ) ln (10^2 200 ) r r
¿Cuál es el dominio de la función? ¿Cómo se comporta la demanda en este caso para valores de renta cada vez mayores (ilimitadamente grandes)? Esbozar gráficamente la función a partir de r =25.
*27. Una empresa va a lanzar un nuevo producto al mercado. Un estudio indica que la demanda diaria vendrá dada por la expresión
2
D p ( ) p
El coste unitario de fabricación es de 20 € y hay un coste fijo de 2000 €. Se pide: a) Obtener la función de beneficios diarios de la empresa en términos del precio de venta (entendiendo que la cantidad diaria q que fabricará la empresa coincide con la demanda esperada) b) Calcula el precio mínimo p 0 para el cuál se puede comenzar a vender el producto con beneficios positivos, y el precio máximo p 1 a partir del cual el beneficio vuelve a ser negativo. c) Calcula qué precio le conviene fijar a la empresa para obtener el máximo beneficio.
*28. El suministro de un artículo de consumo y está relacionado con el precio x por la ecuación
y a b x c en la cual a >0, b >0 y c >0 son constantes determinadas. Demostrar que la curva de suministro es creciente para todos los valores de x > c. Trazar la curva para x c.
- 29. En cierta industria el costo total de producir x unidades de un producto está expresado por la función
C x ( ) ax b en la cual a , b >0 son constantes determinadas. Demostrar que la curva del costo
promedio, definida por
C x CMe x x
es decreciente cuando aumenta x. Trazar la curva para x >0.
*30. Sea C x ( ) x^3 2 x^2 x la función de costes de una empresa, donde x indica la cantidad producida,
definida para x >1, C 0. a) Representa gráficamente la función de costes y la función de producción, x ( C ). b) ¿Se puede obtener una expresión exacta para x ( C )? c) Calcular x ’( C ) y x ’’( C ). d) Calcular una expresión aproximada para x ( C ) cerca de C =12.
31. Un economista que estudia varios modelos para representar la relación entre el precio p y la demanda x para diversos artículos de consumo obtiene lo siguiente:
Algodón en EE.UU.: px 1.4^ 0.11; Mantequilla en Estocolmo: xp 1.2^ 38
Hallar los ingresos marginales respectivos.
32. Si el costo de producción de x unidades de un producto viene expresado por
2 ( ) 2 5 2
x C x x , se
pide: a) ¿Cuál es la función de coste medio? b) ¿Cuál es la función de coste marginal? c) ¿Siempre que aumenta la producción aumenta el coste? d) ¿Dónde se cortan las gráficas de a y b?
33. Si la función de ingreso total en la producción de x unidades de un producto se expresa como I x ( ) 3 5 x 1, 2 x 26 a) ¿Cuál es la función precio-demanda?. b) ¿Cuál es la función de ingreso marginal? c) ¿Para qué producción se hacen máximos los ingresos? ¿Qué precio se tiene en esta situación? 34. La relación precio-demanda de un artículo viene dada por x^2 p^2 100 , en la que hay una demanda de 100 x cuando el precio es p (nótese que x no es la demanda sino el 1% de la demanda). Se pide obtener: a) La función de ingreso total. b) La función de ingreso marginal. 35. Dadas las siguientes funciones de demanda de un bien, obtener las elasticidades para un precio p=5 e interpretar el resultado:
a) q 110 2 p 3 p^2 b) 3
q p
*36. La función de demanda para un bien particular está dada por la expresión y (20 x ) / 2 para
0 x 20 donde y es el precio por unidad y x el número de unidades demandadas. Considérese el punto x =12, y =2. Si el precio disminuye en un 6%, determinar el incremento correspondiente a la cantidad demandada y una aproximación a la elasticidad de la demanda en el punto x =12, y =2. Comparar esa aproximación con la elasticidad exacta de la demanda en el punto indicado.
37. La demanda de margarina está relacionada con el precio de la mantequilla por la expresión q 5 2 p donde q es la cantidad demandada de margarina (en cientos de kilos) y p el precio de la mantequilla (en u.m. por kilo). Calcular, sin utilizar la derivada, la elasticidad de la demanda de margarina cuando el precio de la mantequilla varía de 0.81 u.m. a 1.00 u.m. el kilo.
*38. La función precio-demanda para un bien particular está dada por la expresión 3
q p ( ) p
que
relaciona la cantidad q demandada del bien con su precio unitario p. Se pide: a) ¿Un aumento (disminución) del precio hace disminuir (aumentar) siempre la cantidad demandada? Justificar la respuesta matemáticamente. b) ¿Cuál es la función de ingreso total I ( p )? Utilizarla para calcular I (10). Interpretar el resultado. c) ¿Cuál es la función de ingreso medio IMe ( p )? Interpretar el resultado. d) ¿Cuál es la función de ingreso marginal IMg ( p )? Utilizarla para calcular la tasa de cambio de la función de ingreso cuando p =10. Interpretar el resultado.
TEMA 2: FUNCIONES REALES DE VARIAS VARIABLES REALES
*1. Sea la función de utilidad dependiendo del consumo x e y de dos bienes, definida por
U x y ( , ) ( x 3)^2 y.
a) Hallar la expresión de la curva de indiferencia que se obtiene para una utilidad U =100. Interpretarla y representarla gráficamente. b) Comprobar que si se consume x =2, y =4 unidades, entonces estamos sobre la curva de indiferencia anterior. c) Obtener otra combinación de cantidades a consumir que proporcione la misma utilidad.
2. Un consumidor dispone de un presupuesto de 100 € para gastarlo en dos bienes A y B. El primero cuesta 5 €/u y el segundo 12 €/u. a) Escribir la función G(x,y) que calcula el gasto del consumidor si compra x unidades de A e y unidades de B. b) Escribe la ecuación presupuestaria que corresponde a los 100 € de que dispone el consumidor. Interpretarla y representarla gráficamente. c) Obtener la expresión de la función y ( x ) que se obtiene para un presupuesto de 100 € d) Calcular y (8), interpretar su significado.
*3. La función de producción de una empresa viene dada por Q ( K,L )=10 K 0.5 L^2.
a) Obtener la expresión de las isocuantas (curva de isoproducción) correspondientes a los niveles de producción Q =10 y, Q =100. Interpretar su significado. b) Representarlas gráficamente.
4. Estudiar la existencia de límite en el origen de las siguientes funciones:
a) 2
x f x y y xy
b) f ( , x y ) x^2^ y^2 c) f ( , x y ) 3 y^2 x^2 d) 2( 2 2 ) f ( , x y ) e ^ x^ y
e) f x y ( , ) x sen(1/ y ) f)
f ( , x y ) xy
g) 2
( , ) (^) x y x f x y e e
h) f ( , x y ) x y
5. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones:
a) f ( , x y ) ( x^2 y )sen( xy ) b)
3 2 2
x xy xy f x y x xy y
c) f ( , x y ) xy
d) f ( , x y ) sen(2 xy ) e) f ( , x y ) x y
- 6. Calcular derivadas parciales de primer y segundo orden de las siguientes funciones:
a) z 3 x^2^ 4 y^3 10 b) z ( x^2^ 4 xy y 2 13) c) z x ^3 y 4 y x^3 2 2 x d)
x y z x y
e) z ln( x^2^ 2 xy y^3 ) f) z x^2 e^2 y g)
2 z x e y h) z ln x^2 y^2
7. Calcular derivadas parciales de primer orden de las siguientes funciones:
a) z xy y ln( xy ) b) ( 2 2 ) z e ^ x^ y c) z x e x y / d) z ln( x^2^ y^2 )
e) z e x sen y f) ax by^2 cz^3 u e ^ , a,b,c g) x y z u w
h) e z^ ( u 1)1/3 ( v 2)1/4 ( w 3)1/
8. Dada la función z x y ( , ) xy x ( 2^ y^2 ). Calcular z ' y^ ( ,0) x , z ' x^ (0, y ), zxy ''^ (0,0), z '' yx (0,0). 9. Estudiar la derivabilidad de z x y ( , ) x y^3 3. ¿Puedes concluir algo para la diferenciabilidad?.
- 10. Hallar la diferencial primera y segunda de las siguientes funciones:
a) z x^3^ 3 xy y^3. b) z sen3 cos 4 x y. c) z e ax cos by , para a , b d ) z x e yx.
¿Cuánto valen cada una de ellas en el punto (0,0)? ¿Se obtiene un valor numérico?
11. Dada z f x y ( , ) sen(2 x 3 ) y , obtener sus dos primeras diferenciales totales en (/2,0) siendo x=0.1 e y=-0.2, y utilizarlas para estimar f(x Δx,yΔy)en (/2,0). Calcular a continuación el verdadero valor y estimar el error que se comete con el uso de las diferenciales. 12. Sin utilizar la calculadora calcular aproximadamente 6 65 ln(. ) 1 1. Comparar el resultado obtenido con el conseguido con una calculadora.
- 13. Comprobar que para valores pequeños de x e y se puede escribir la igualdad aproximada siguiente:
e ln(x 1 y ) y xy y^2 / 2 Utilizar dicha expresión para calcular aproximadamente e 0.2^ Ln (1.1).
14. Sea N el número de peticionarios de plaza en una universidad, p los costes por alimentación y vivienda y t el coste de la matrícula. Supongamos que N es una función de p y t tal que
0, 0.
N N
p t
¿Cómo interpreta el hecho de que ambas parciales sean negativas?
15. Dada una empresa que produce pañuelos según la siguiente función de producción: (^2 2 2 1 ) ( 1 , 2 , ) (^1 2 23 )
M M L
Q M M L M M L
donde M 1 es el tiempo de utilización de la máquina 1, M 2 el de la máquina 2 y L la cantidad de mano de obra, calcular las derivadas parciales e interpretarlas en términos de las funciones de productividad marginal de la producción respecto de las horas empleadas en cada máquina y respecto de L.
*16. Se estima que la producción semanal en cierta planta (unidades) está dada por la función
Q x y ( , ) 1200 x 500 y x y^2 x^3^ y^2 , donde x es el número de trabajadores cualificados e y es el número de trabajadores no cualificados empleados en la planta. En la actualidad, la fuerza laboral está conformada por 30 trabajadores cualificados y 60 no cualificados. Aplicar el análisis marginal para calcular aproximadamente el cambio resultante en la producción semanal al adicionar un trabajador cualificado, si no cambia el número de trabajadores no cualificados.
- 17. Se lanza un nuevo producto al mercado. El volumen de ventas x se incrementa como una función del tiempo t (en meses) y de la cantidad A (en u.m.) gastada en publicidad según la ecuación: x 200(5 e 0,002^ A^ )(1 e t )
cuya determinación no interviene. Determinar la variación aproximada en su posible beneficio si las cantidades a producir experimentaran modificaciones, respectivamente, d x y d y , así como la expresión que permitiría conocer el carácter (si es creciente, decreciente o constante) de esa variación.
26. Sabiendo que la función de demanda de un bien X es x px Ln py siendo px =4 y py =e respectivamente el precio de los bienes X e Y , estudiar la variación de la cantidad demandada cuando los precios respectivos aumentan en 0,001 y 0,0002. Observar la utilidad de la diferencial como medida aproximada de la variación de una función.
- 27. Una empresa puede producir P unidades de su producto al utilizar L unidades de mano de obra y K
unidades de capital con P 100 L 3/4^ K 1/4. a) Calcular la producción total cuando L =81 y K =16. b) Aproximar el efecto de reducir L a 80 e incrementar K a 17, sin necesidad de calcular el verdadero valor de la función en este nuevo punto.
28. Dada la función de producción P KL C ^ donde P representa la producción, L el trabajo, C el
capital y K, , son constantes, determinar d P. ¿Para qué puede servir d P?
29. Dada la función de producción V ( K ^ L ^ )1/^ donde V es la producción, K el capital, L el trabajo y , , constantes, hallar d V. ¿En qué contexto se puede utilizar este resultado? Dar un ejemplo. 30. En cierta fábrica, la producción diaria viene dada por la función f ( , x y ) 60 x 1/2^ y 1/3unidades, donde x representa la inversión de capital, medida en unidades de 1000 euros e y la fuerza de trabajo, medida en minutos-trabajador cada día. Si la dotación de capital actual es de 900000 euros y se emplean 1000 minutos-trabajador cada día, se pide calcular el cambio generado en la producción si la inversión de capital aumenta en 1000 euros y la mano de obra en 2 minutos-trabajador. 31. Una empresa produce dos tipos de bienes (a y B). Denotamos por x el número de unidades producidas del bien A e y el número de unidades producidas del bien B. La citada empresa consigue estimar las funciones de coste marginal dadas respectivamente por las siguientes expresiones: ' (^) 0.08 0.01 4, ' 0.01 0.02 2 CMg (^) x Cx x y CMg (^) y Cy y
En la actualidad la empresa dispone en stock de 100 unidades del bien A y 200 unidades del bien B. Para ajustarse al mercado actual, la empresa decide aumentar en 2 unidades el stock del bien A y reducir 1 unidad el del bien B. ¿Cómo podrías calcular aproximadamente el incremento en el coste de la empresa?
- 32. Suponiendo que la cantidad demandada q por un consumidor de determinado bien es función del precio de dicho bien p 1 , del precio de un bien sustitutivo p 2 y de la renta disponible R dada por la expresión: 2 q 500 3 p 1 (^) 2 p 2 0,02 R
Calcular las elasticidades de q respecto a p 1 , p 2 y R cuando p 1 =12, p 2 =8 y R =750. Interpretar los resultados.
33. Las investigaciones realizadas por una empresa han permitido determinar la función de demanda de su producto: d( p, A,r ) 100 2 p 10 lnA 8 lnr donde p es el precio unitario de venta, A las unidades monetarias anuales dedicadas a publicidad y r la renta media de los consumidores. Hallar la expresión de las elasticidades parciales respecto a cada una de las variables de que depende la función.
- 34. Dadas las funciones de demanda: 2 2
x , y p q pq
de dos bienes cuyos precios son p y q
respectivamente, calcular las funciones de demanda marginal, las elasticidades parciales y estudiar el tipo de relación existente entre los bienes.
35. La empresa Apple ha calculado que, por la venta a un pequeño distribuidor de sus dos nuevos modelos de iPhone, el iPhone X y el iPhone 8, en función de la demanda de cada uno de ellos, sus ingresos totales, en cientos de euros, vendrán dados por la función 𝐼(𝑥, 𝑦) = (11 − 0,1𝑥)𝑥 + (7,5 − 0,05𝑦)𝑦, siendo x e y las unidades demandadas de cada modelo respectivamente, mientras que los costes totales serían 𝐶(𝑥, 𝑦) = 10 + 5(𝑥 + 𝑦) en cientos de euros. Se pide: a) Obtener la función beneficios en función de las unidades demandadas para cada modelo. ¿Cuál es su dominio matemático y económico?. Justificar la respuesta. b) ¿Cuál es la expresión que recoge las diferentes combinaciones de producción que proporcionan unos beneficios de 30000 €? ¿Qué concepto matemático has utilizado? c) Si la demanda actual es de 10 unidades para el iPhone X y 5 unidades para el iPhone 8, decidir mediante el análisis marginal qué le interesa más a la empresa, aumentar en una unidad la demanda del iPhone X o aumentar en una unidad la del iPhone 8. d) Calcular la elasticidad de la función beneficios con respecto a la demanda de iPhone X para los niveles de demanda del apartado anterior. Interpretar el resultado. e) Supongamos que la empresa tiene dos opciones:
- Vender obligatoriamente 10 unidades del iPhone X, con libertad para vender del otro modelo cualquier cantidad.
- Vender obligatoriamente 5 unidades del iPhone 8, con libertad para vender del otro modelo cualquier cantidad. ¿Qué opción le resulta más ventajosa en términos de conseguir el máximo beneficio posible? 36. Una empresa oferta un bien A según la función q p ( ) 1 p , con >
donde p es el precio unitario de A. Un estudio de mercado permite conocer explícitamente la función de demanda del bien: d p ( ) 3 p , con >
a) Calcular en función de y el precio p * de equilibrio de mercado.
b) Calcular
p p
e interpretar gráficamente los resultados.
TEMA 3: FUNCIONES COMPUESTAS E IMPLÍCITAS
1. Dadas las siguientes funciones, calcular las derivadas de la función compuesta que se indica:
a) y 2 x^4 , x 6 t^3 , calcular: ( 1)
dy t dt
b) (^) z x y^2 y^2 , (^) x sen t , (^) y e t , calcular: ( 0) dz t dt
2
t B t p p
donde el numerador es una estimación de la demanda futura en función del tiempo t y el denominador una corrección en función del IPC (Indice de precios al consumo). El tiempo actual es t =1 y el IPC es p =3 u.m. No hay ninguna previsión fiable de la evolución del IPC pero la empresa estima que en la actualidad p ’( t ) para t =1 es 0.2. Según estas estimaciones ¿los beneficios de la empresa van a aumentar o a disminuir a corto plazo?
*14. La demanda de un artículo depende del tiempo t , de su precio p y de la renta r de los consumidores
según la función ( , , ) 1000 t /
r D t p r e p
. Actualmente el precio es p = 2€ y la renta r =400 €.
a) Calcular la derivada parcial de D con respecto de t en el punto (0, 2, 400) e interpretar el resultado. b) ¿Podemos usar únicamente la derivada anterior para determinar la demanda del año próximo si sabemos además que p’ ( t )( t =0)=0.2 €/año y que r ´( t )( t =0)=15 €/año? En caso contrario, calcular la derivada que indica realmente la demanda esperada para el año próximo e interpretar el resultado.
*15. La función de costes de una empresa es C ( x )=2000+5 x , donde x es la cantidad producida de un artículo. Su función de beneficios es B ( x,C,D ) donde D representa la demanda. Para los valores actuales ( x 0 , C 0 , D 0 ) se tiene que B ' x^ 8, BC '^ 3, B ' D 10.
a) Suponiendo que D no depende de x ¿es correcto afirmar que si la empresa produce una unidad más sus beneficios aumentarán en 8 u.m.? b) Suponiendo que D = x ¿es correcto afirmar que si la empresa produce una unidad más sus beneficios aumentarán en 8 u.m.? c) Razonar si a la empresa le conviene o no aumentar su producción según el caso.
16. La función B ( p,q,t )=1000e0.1 t^ (10 p -2 q ) representa los beneficios de una empresa en función del precio p de venta de su producto, el precio q de su principal materia prima y el tiempo t en años. En la actualidad ( t =0) se tiene p =1 y q =2. a) Calcular la derivada parcial de B con respecto de t en el momento actual e interpretarla. b) La empresa ajusta el precio p en función del precio q de la materia prima y del tiempo t. Sabiendo que p q ' q^ ( 2, t 0) 0.1, p q ' t ( 2, t 0) 0.2, estudiar si estos datos modifican la previsión del apartado a).
*17. Sea (^) Q L K ( , ) 3 K L^2 3 la función de producción de una empresa donde K es el capital y L el trabajo.
Actualmente la empresa utiliza las cantidades ( K,L )=(5,4) a) Escribir la expresión de la isocuanta que corresponde a la producción actual. b) Obtener la función implícita K ( L ) definida por dicha ecuación. c) Calcular la Relación de Sustitución Técnica dada por RST= - K ’( L ). Realiza el cálculo a partir de la función K ( L ) y derivando implícitamente la ecuación de la isocuanta. d) Calcular la RST actual e interpretarla.
*18. Un consumidor adquiere dos bienes en cantidades x e y , de modo que su función de utilidad es
U x y ( , ) x y. Su nivel de consumo actual es ( x,y )=(9,4).
a) Calcular la utilidad actual. b) Escribir la ecuación de la curva de indiferencia actual e interpretarla.
c) Calcular la Relación Marginal de Sustitución RMS dada por RMS=-y’(x). Realizar el cálculo derivando implícitamente la ecuación. Interpretar el valor de RMS(9).
*19 .Sabiendo que la ecuación F q p ( , 1 (^) , p 2 (^) , y ) 10 p q 1 5 q 2 p 2 4 y 18 0 define una función
implícita de demanda de un bien q = q ( p 1 , p 2 , y ) donde p 1 es el precio propio, p 2 el precio de un bien relacionado e y el ingreso, se pide hallar las elasticidades de la demanda respecto al propio precio y las cruzadas en el punto ( p 1 , p 2 , y )=(2,1,10). ¿Qué clase de bienes son los bienes 1 y 2? Realizar este ejercicio también explícitamente despejando q y comparar los resultados.
20. La función de producción z viene dada por la expresión z^2^ 4 x^2^ 5 y^2 12 xy 0. Calcular las productividades marginales y estudiar si son normales o sustitutivos los factores de producción.
21. La ecuación 4 x^3^ 3 y^2 500 representa la frontera de posibilidades de producción de dos bienes en
cantidades x e y. Calcular la pendiente de esta frontera (
d d
y x
) y el coste de oportunidad de producir
una unidad más de x a partir de x =2 ( d ( 2) d
y x x
*22. Una empresa utiliza K =20 máquinas y L =100 trabajadores para producir un artículo. La producción diaria que puede conseguir en general con K máquinas y L trabajadores viene dada por la función Q ( K,L )= K^2 L. El dueño de la empresa se está planteando la posibilidad de abaratar el proceso de producción sustituyendo parte de la plantilla por una máquina adicional. a) Calcular la producción diaria actual de la empresa. b) Escribir la expresión de la isocuanta actual e interprétala. c) Representarla gráficamente y localizar la situación actual de la empresa. d) Calcular la función implícita L (K) definida por la curva de nivel e interpretarla. e) Calcular L ’( K ) para K =20. ¿de qué concepto económico se trata y qué mide? f) Repetir el cálculo derivando implícitamente en la curva de nivel. g) ¿Cuántos trabajadores serán despedidos si la negociación sindical no lo impide?
TEMA 4: FUNCIONES HOMOGÉNEAS
*1. Dadas las siguientes funciones, demostrar si son o no homogéneas y caso de serlo, ratificarlo por el teorema de Euler:
a) ( , ) (^2) x z x y y
b)
2 2 ( , ) x y f x y x y x y
c) z x y ( , ) 3e x^ 3e y
d) z x y ( , ) 6Ln(3 ^2 x^ ) Ln(4 ^5 y ) e) z x y ( , ) x fa ( y / x ) f) z x y ( , ) x fn^ ( y / x ) x g xn ( / y )
2. Dada la función z x y ( , ) y n a^ /^^ ( xn xyn^ 1 1/) a , se pide:
a) Estudiar su homogeneidad, calculando en su caso su grado. b) Calcular z ’ x. ¿Es homogénea? c) Determinar el valor de la expresión xz ’ x + yz ’ y.
*3. Sabiendo que f es una función homogénea de grado 1/3 y que f (2,4)=6, calcular :
b) ¿Podemos afirmar que la función posee rendimientos a escala crecientes si la suma de las elasticidades respecto a los factores productivos es mayor que 1? c) En general, en una función tipo Cobb-Douglas, ¿podemos deducir el tipo de rendimientos a escala basándonos en la suma de las elasticidades? d) ¿Se podría generalizar el enunciado anterior a una función homogénea cualquiera? ¿Y a una función cualquiera no homogénea?
13. Sea la función de producción: Q K L ( , ) L gK L e K L / , con , g >0 ciertas constantes:
a) ¿Presenta rendimientos a escala? ¿De qué tipo? Justificar económicamente el resultado. b) Expresar las funciones de productividad marginal en función de la relación capital/trabajo ( h = K / L ). c) ¿Es cierto, según el teorema de Euler, que en tal situación la producción se distribuye totalmente entre los factores productivos de acuerdo con la contribución de cada factor a la producción (esto es, según Q ’ K y Q ’ L , respectivamente)? ¿Por qué?
14 .Sabiendo que la función de oferta de un bien A es Q f ( pA , pB )dada por la expresión:
6 2 2 2 Q pA pB p pA B ,
donde pA es el precio propio y pB el precio de un bien B relacionado, demostrar que la suma de la elasticidad respecto al propio precio y la cruzada es igual al grado de homogeneidad de la función sin calcular las elasticidades.
15. La función de demanda de un bien es ( , , 1 , 2 ) 5 ln( 1 22 )
p p D r p p p r p
siendo r la renta de los
consumidores, p el precio de bien y p 1 , p 2 los precios de dos bienes sustitutivos. ¿Cómo se comporta la demanda ante una misma variación proporcional t en todas sus variables? ¿Existe por tanto ilusión monetaria?
16. Sea Q ( K,L )= √9𝐾^2 𝐿^2 3 una^ función^ de^ producción^ ( K^ y^ L^ las^ unidades^ de^ capital^ y^ trabajo respectivamente).
a) ¿Presenta 𝑄 rendimientos a escala? ¿De qué tipo? Por tanto, si a partir de una cierta combinación
de capital y trabajo, reducimos ambos factores un 25%, ¿en qué sentido y proporción varía la producción? Justificar matemáticamente la respuesta. b) Obtener las funciones de productividad marginal. Si a partir de una cierta combinación de capital y trabajo, reducimos ambos factores un 25%, ¿Cómo se comportarían las funciones de productividad marginal de los factores? Justificar matemáticamente la respuesta.
c) Sin calcular derivadas parciales, ¿podemos conocer el valor de la suma de las elasticidades de 𝑄
respecto de 𝐿, 𝐾? En caso afirmativo, calcular dicho valor. Justificar matemáticamente la respuesta.
d) Considerar ahora que 𝐿, 𝐾 están en función del tiempo 𝑡 (en meses), siendo 𝐾 = 5, 𝐿 = 10 los valores correspondientes al mes actual (𝑡 = 0), con 𝐿′(0) = −1.2, 𝐾′(0) = 2.5. Utilizar el análisis marginal para estimar cuál sería la producción del próximo mes.
PARTE II: CÁLCULO INTEGRAL
TEMA 5: LA INTEGRAL DE RIEMANN
1. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) La primitiva de una función integrable es única. b) Si f ’( x )= g ’( x ) entonces f ( x )= g ( x ).
c) ( )
b
a f^ x dx
es una función de x.
d) Si f ( x ) es continua en a x b entonces ( )
b
a f x dx representa el área acotada por la curva y = f ( x ), el
eje OX y las rectas x = a , x = b.
*2. Resolver las siguientes integrales:
a) (2 x^4^ 3 x^2 5 x 2)d x b)
2 3
d x x x x
c)
(^5) (5 x 6)d x
d)
2 1 2 1 d
x x
x
e)
/4 (^) cos 2 0 (sen 2 ) x e x d x
(^)
f)
/ 0 sen x cos d x x
g)
/ /
d tg
x x
h)
/4 (^2) 0 cos x x d
i)
(^6 ) 0
e x^ sen 2 d x x j)
2 1
ln x x d k)
(^1 ) 0
x e d x x l)
/ x cos x x d
3. Resolver las siguientes integrales haciendo el cambio de variable que se indica entre paréntesis:
a)
1 0 1 4 d
x x
x
(cambio de variable: t x^2 ) b)
3 0
d 1 2
x
x x (cambio de variable: 1 2
t x )
*4. Calcular el área de la región limitada por las siguientes curvas:
a) y 4 x^2 , y x^2 1 b) y x^2 , y x c) x 2 y 1 0 , y^2 x 1
d) x y^2^ 4 y , x 0 e) y 2 x^2 , y x f) y x^3 4 x^2 3 x , y 0
g) y 1 x , y 0 , x 1 x=1, x 1
5. Un negocio que no obtiene beneficios actualmente ha de aumentar sus beneficios gradualmente en los próximos cuatro años hasta alcanzar un ritmo de 16 millones de dólares por año. Al final del primer semestre el ritmo ha de ser de un cuarto de millón anual y al final del segundo año de 4 millones anuales. En general, al cabo de t años (0< t <4), su ritmo de beneficios ha de ser t^2 millones anuales. Estimar el beneficio total durante los cuatro años si el plan cumple sus objetivos. 6. Dada la función de coste marginal C Q '( ) 3 Q^2 18 Q 30 , ¿cuál es la disminución en el coste total C ( Q ) cuándo la producción total fabricada se reduce de 12 a 3 unidades?
*7. Si la tasa de ventas de un producto evoluciona según la función f t ( ) 10 7e t , t 0, donde t es el
tiempo en días desde el comienzo de cierto año, hallar las ventas totales en los cinco primeros días.
*8. Si el consumo marginal es una función del ingreso y , como la dada por C '( ) y 0,6 0,1 y 1/3, y si el
consumo autónomo ( C ) es 45 cuando el ingreso es cero, hallar la función de consumo C ( y ).
9. La función de ahorro marginal viene dada por S '( ) y 0,5 0, 2 y 1/2 donde y representa el ingreso. Hay un no-ahorro (desahorro) de 3,5 u.m. cuando y =25. Determinar la función de ahorro S ( y ).
*18. Sabiendo que la cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de libre competencia vienen determinados, según el caso, por las funciones de demanda y oferta respectivamente dadas por:
a) p 113 qd^2 , p ( qs 1)^2 b) p 1000 0, 4 qd^2 , p 42 qs c) p 110 3 q^2 d , p 14 q^2 s 35
Determinar, en cada caso, gráfica y analíticamente el excedente del consumidor y del productor, interpretando económicamente los resultados.
19. Las funciones de oferta y demanda de un bien son, respectivamente,
p S p D p p p p
^
^ ^
a) Comprobar que pe=21 es precio de equilibrio y calcular el precio a partir del cual el producto deja de tener demanda. b) Si el precio de venta es el precio de equilibrio, calcular el excedente del consumidor.
TEMA 6: EXTENSIONES DE LA INTEGRAL DE RIEMANN
*1. Resolver las siguientes integrales:
a) 2 1
d x x
. b) 1 2
d 1
x x
. c) 0 x x d
. d)
0 cos d x x
e) 1
d p
x x
, p >1. f) 0 d
(^) e px x
, p . g)
1 0
d x
x
. h)
1
0 ln d x x
i)
1 0
d p
x
x
, p >1. j)
1 0
d
p
x x
, 0< p <1. k) 0
d p
x x
, p >1. l)
d p
x x
, p >1.
2. Razonar la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones: a) El área de la superficie encerrada por una función no negativa y el eje x , desde x =0 hasta infinito, es siempre infinito. b) 0 xe^1 x d x 1
(^)
c) Si se realizar el cambio de variable x = y^2 , se deduce que:
1 1 1 0 0 2 0
1 2 d d d 2
y y x y x y y
1 0
d x 0 x
d)
1 0
sen
d
x x x
es una integral impropia.
*3. Sea la función
e t t f t t
. Demostrar que se verifica:
a) f t ( )d t 1
(Se dice entonces que f ( t ) es función de densidad de probabilidad).
b) Hallar
5
0 f t ( )d t (Coincide con la probabilidad de que t esté entre 0 y 5)
c) Hallar tf t ( )d t
(Coincide con el valor esperado de t ).
4. Si el flujo de dinero pudiera existir permanentemente, el valor actual del flujo sería VA= 0 I t e ( ) rt d t
(^)
donde I ( t ) es el ritmo de flujo en el momento t y r constante (0< r <1) es la tasa nominal. Calcular el valor actual del flujo en el caso de que I t ( ) t^2 , r =0,3. Si la tasa nominal r fuese mayor ¿el valor actual crecería o decrecería? Justificar la respuesta.
5. Sabiendo que el coste de capitalización de un activo C durante n años viene dado por
0 0 ( )^ d
n (^) rt
C C C t e t donde C 0 es la inversión original, t el tiempo en años, r el interés anual
compuesto continuamente y C ( t ) el coste de mantenimiento actual, y suponiendo C t ( ) 250(1 0,8 ) t C 0 =6500 €, r =0,2, calcular el coste de capitalización de un activo: a) Durante n =5 años. b) Para siempre
*6. - Un producto se vende a un precio p=2 € y su función de demanda es 2
D p ( ) p
. Calcular el
excedente del consumidor EC (^) p D p dp ( )
*7. La oferta y la demanda de un artículo viene dadas por las funciones 2 2
p p S p D p p p
a) Comprobar que el precio de equilibrio es p 0 =10 €. b) Calcular el excedente del consumidor y del productor dados por: 0 (^0 )
p p EP S p dp EC D p dp
8. Razonar si es verdadero o falso que una integral doble es el producto de dos integrales simples. 9. Calcular de dos formas diferentes las siguientes integrales dobles:
x xy x y extendida al recinto D limitado por las rectas x =0, x =3, y =1 e y =4.
x y x y en el recinto D limitado por el eje de abscisas y las rectas x =1, x = y.
c) D y x^ (^3^ 1)d d x y en el recinto D ={( x , y )^2 / x 0, y 0, x^2 + y^2 1}.
d)^9 2 d d D
x y x y en el recinto D limitado por los ejes de coordenadas y la recta x + y =1.
*10. Dibujar el dominio de integración en los siguientes casos y plantear la integral que resulta al cambiar el orden de integración:
a)
2 2 0 ( , )d d
x x
f x y y x b)
2 2
1 1 1 1 ( , )d d
u u f u v v u
c )
ln 1 0 ( , )d d
c p
f p q q p ( c 1)
