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desarrollo de la combinación lineal
Tipo: Apuntes
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Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Departamento de Matem´aticas
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Uno de los conceptos clave en Algebra Lineal es el concepto de combinaci´on lineal: Una combinaci´on lineal es una superposici´on de objetos: imagine que usted tiene dos se˜nales (discretas o continuas). Cuando usted las amplifica y/o atenua para despu´es mezclarlas, est´a haciendo una combinaci´on lineal.
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Dados los vectores x 1 , x 2 ,... ,xk , y el vector y, todos ellos vectores con n componentes, ¿c´omo saber si el vector y es una combinaci´on lineal de los vectores x 1 , x 2 ,... ,xk ?. Sencillo: viendo si existen c 1 ,... ,ck escalares que cumplan
y = c 1 x 1 + c 2 x 2 + · · · + ck xk
Para ello se debe resolver un sistema de ecuaciones lineales. Esto es semejante a lo que se hac´ıa en Ecuaciones Diferenciales Lineales y se buscaba una soluci´on particular.
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Si
x 1 =
, x 2 =
, x 3 =
, y =
diga si el vector y es combinaci´on lineal de x 1 , x 2 , y de x 3. Buscamos constantes c 1 , c 2 y c 3 que cumplan:
c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = y
Sustituyendo y desarrollando productos:
2 c 1 + 4 c 2 + 2 c 3 3 c 1 + 6 c 2 + 4 c 3 2 c 1 + 4 c 2 + 6 c 3
Ahora, para que dos vectores sean iguales, deben ser iguales componente a componente, es decir:
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Es importante observar c´omo se forma la matriz aumentada directamente de los datos: Para buscar constantes c 1 , c 2 , c 3 que cumplan:
c 1 x 1 + c 2 x 2 + c 3 x 3 = y
se debe resolver el sistema cuya aumentada es
[x 1 x 2 x 3 |y ]
Es decir, la aumentada se forma con los vectores que se quieren combinar a la izquierda y el vector que se desea ver si es combinaci´on lineal a la derecha. Todos los vectores son colocados como columnas. Nuestro hecho principal es que: resolver un sistema de ecuaciones lineales [x 1 x 2 · · · xk |y] equivale a buscar la combinaci´on lineal entre un conjunto de vectores x 1 , x 2 ,... , xk para obtener el vector y.
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
El conjunto formado por todas las combinaciones lineales de los vectores v 1 , v 2 ,... , vk en Rn^ se llama espacio generado por los vectores v 1 , v 2 ,... , vk. Este conjunto se representa por
Gen {v 1 , v 2 ,... , vk }.
Es decir, es el conjunto formado por todas las combinaciones lineales c 1 v 1 + c 2 v 2 + · · · + ck vk donde c 1 ,c 2 ,... ,ck son escalares libres. Si V = Gen {v 1 , v 2 , · · · , vk } se dice que los vectores v 1 , v 2 ,... , vk generan a V y que {v 1 , v 2 ,... , vk } es un conjunto generador de V.
Observe que x es elemento de Gen {v 1 , v 2 ,... , vk } si y s´olo si x es una combinaci´on lineal de entre los vectores v 1 , v 2 ,... , vk. Buscar en el generado, es buscar en las combinaciones lineales.
Algebra Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Indique para qu´e valor del par´ametro a el vector x 1 =< 2 , 3 , a > pertenece al espacio
V = Gen {y 1 =< 1 , 2 , 1 >, y 2 =< 3 , 5 , 0 >}
Soluci´on El vector x pertence a V si y s´olo si x es una combinaci´on lineal de los vectores y 1 y y 2 , es decir, si y s´olo si existen escalares c 1 y c 2 para los cuales:
x = c 1 y 1 + c 2 y 2
Al formar la matriz aumentada del sistema y escalonarla queda
1 0 a
0 0 a + 1
Recuerde que cuando una matriz tiene variables, no conviene usar rref porque se pueden hacer divisiones entre expresiones que pueden ser cero: se debe escalonar paso a paso.
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
De aqu´ı vemos que la ´unica posibilidad para que el sistema sea consistente es que en el ´ultimo rengl´on no exista pivote; por tanto, a + 1 = 0 =⇒ a = − 1 Nuestra conclusi´on es que
a
(^) ∈ Gen
←→ a = − 1
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Diga si U ⊆ V , V ⊆ U, U = V , o no son comparables entre si, donde
U = Gen
u 1 =
(^) , u 2 =
(^) , u 3 =
V = Gen
v 1 =
(^) , v 2 =
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
Veamos si U ⊆ V : De acuerdo al resultado previo debemos ver si todo ui ∈ V. Para ello construimos
[v 1 , v 2 |u 1 ] =
[v 1 , v 2 |u 2 ] =
[v 1 , v 2 |u 3 ] =
Como cada sistema es consistente ui ∈ V y as´ı U = Gen {u 1 , u 2 , u 3 } ⊆ V.
Lineal: Combinaci´on Lineal y Espacios Generados Departamento de Matem´aticas
Intro Comb. Lineal Ejemplo Notas 1 E. Generado Ejemplos Comparativa Ejemplo Nota 2
