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Algunos conceptos de Combinatoria
1. Principio b´asico del conteo
Supongamos que se realizan dos experimentos. Si el primero puede tener m resultados diferentes y por cada resultado del primero hay n resultados del segundo, entonces hay n × m resultados posibles para los dos experimentos conjuntamente. Este principio se puede generalizar para r experimentos, cada uno con ni posibles resultados para cada resultado de los i − 1 anteriores (i = 1,... r), en este caso, el n´umero total de resultados es n 1 × n 2 × · · · × nr
Ejemplo 1 ¿Cu´antas matr´ıculas de autom´ovil distintas se tendr´ıan si los 3 primeros lugares los ocuparan letras y los 4 ´ultimos n´umeros? ¿Y si se proh´ıbe que se repitan letras y n´umeros?
Respuesta.- 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175, 760 ,000 y 26 × 25 × 24 × 10 × 9 × 8 × 7 = 78, 624 , 000
2. Permutaciones
¿De cu´antas maneras distintas se pueden ordenar las letras a,b,c? La respuesta es 6: abc, acb, bac, bca, cab y cba. Cada una de ´estas ordenaciones es una permutaci´on de las 3 letras. Si se tienen n objetos distintos, existen n × (n − 1) × (n − 2)... 3 × 2 × 1 = n! permutaciones de los n objetos.
Ejemplo 2 Luis quiere poner 10 libros en una estanter´ıa. De los 10 libros, 4 son de matem´aticas, 3 de qu´ımica, 2 de historia y 1 de lengua. El chico quiere ordenarlos de forma que queden juntos los de la misma materia. ¿Cu´antas ordenaciones diferentes son posibles?
Respuesta.- 4! × 4! × 3! × 2!
2.1. Permutaciones con repetici´on
¿Cu´antas palabras distintas pueden formarse con las letras PEPPER? Si pudi´eramos distinguir todas las letras, entonces P 1 E 1 P 2 P 3 E 2 R no ser´ıa lo mismo que P 2 E 1 P 1 P 3 E 2 R y la respuesta ser´ıa que pueden formarse 6! palabras, sin embargo es evidente que todas estas dan lugar a la misma palabra:
P 1 E 1 P 2 P 3 E 2 R P 1 E 1 P 3 P 2 E 2 R P 2 E 1 P 1 P 3 E 2 R P 2 E 1 P 3 P 1 E 2 R P 3 E 1 P 1 P 2 E 2 R P 3 E 1 P 2 P 1 E 2 R P 1 E 2 P 2 P 3 E 1 R P 1 E 2 P 3 P 2 E 1 R P 2 E 2 P 1 P 3 E 1 R P 2 E 2 P 3 P 1 E 1 R P 3 E 2 P 1 P 2 E 1 R P 3 E 2 P 2 P 1 E 1 R
As´ı pues hay (^) 3!2!6! = 60 palabras distintas. En general, si tenemos n objetos de los cuales n 1 son de un tipo, n 2 son de otro,... y nr son de otro, hay (^) n 1 !n 2 n!!...nr! permutaciones distintas.
- Combinaciones
En muchas ocasiones interesa saber el n´umero de grupos diferentes de r objetos que pueden formarse si se dispone de n diferentes. Cuando el orden de selecci´on es importante, ya sabemos que ´este n´umero es n × (n − 1) ×... × (n − r + 1). Como de esta forma cada grupo de r items aparecer´ıa contado r! veces, el n´umero de grupos diferentes de r items elegidos entre n diferentes es n × (n − 1) ×... × (n − r + 1) r!
n! (n − r)!r!
Definici´on 1 Definimos ( n r
n! (n − r)!r!
, con r ≤ n
y decimos que representa el n´umero de combinaciones posibles de n objetos tomados de r en r, cuando el orden de selecci´on no se considera importante.
Ejemplo 3 A partir de un grupo de 5 hombres y 7 mujeres ¿Cu´antos comit´es que consten de 2 hombres y 3 mujeres se pueden formar? ¿Y si dos de las mujeres no quieren estar juntas en el mismo comit´e?
- Coeficientes multinomiales
Consideremos un conjunto de n items distintos que tiene que dividirse en r grupos distintos de tama˜nos n 1 , n 2 ,... , nr, de manera que
∑r i=1 ni=^ n. ¿Cu´antas divisiones diferentes son posibles? La respuesta es ( n n 1
n − n 1 n 2
n − n 1 −... − nr− 1 nr
n! n 1 !n 2!... nr!
Definici´on 2 Si
∑r i=1 ni=^ n, llamamos^ coeficientes multinomiales^ a ( n n 1 n 2... nr
n! n 1 !n 2!... nr!
que representan el n´umero de posibles divisiones diferentes de n objetos dis- tintos en r grupos de tama˜nos n 1 , n 2... nr.
Ejemplo 5 Una comisar´ıa de polic´ıa de un pueblo consta de 10 oficiales. Si 5 deben patrullar las calles, 2 se quedan trabajando en la comisar´ıa y 3 est´an de reserva, ¿cu´antas divisiones diferentes en 3 grupos pueden hacerse con los 10 polic´ıas?
Respuesta.- (^) 5!2!3!10! = 2520
- Distribuci´on de bolas en urnas
Es f´acil ver que hay rn^ posibles resultados cuando n bolas distinguibles se distribuyen en r urnas distinguibles, ya que, cada bola puede caer en cualquiera de las r urnas diferentes. Vamos a suponer que las n bolas son indistinguibles, ¿cu´antos resultados posibles hay en ´este caso? Observa que cada resultado puede describirse me- diante un vector de r componentes (x 1 , x 2 ,... xr) donde xi denota el n´umero de bolas en la urna i-´esima. As´ı que el problema se reduce a encontrar el n´umero de vectores diferentes que hay con valores enteros no negativos y de forma que la suma de sus r componentes sea n. Vamos a resolver primero un caso particular y despu´es generalizaremos. Supongamos que n = 8 y r = 3, un vector de los que estamos buscando
ser´ıa, por ejemplo, (2,4,2). Podr´ıamos identificar este vector con la represen- taci´on 00 | 0000 | 00. Otro vector podr´ıa ser (6,0,2) que se corresponde con 000000 | | 00. Observa que lo que diferencia una configuraci´on de otra es d´onde se encuentran las barras que indican la separaci´on entre cajas. Las barras, en el primer caso, est´an en las posiciones {3, 8}, en el segundo, en las posiciones {7, 8}. Por tanto el problema se reduce a encontrar cuantas posiciones distintas pueden ocupar las 2 barras separadoras. La respuesta es que tantas como grupos de tama˜no 2 podamos construir con los n´umeros {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10}, es decir,
2
En general si tenemos n bolas y r urnas, habr´a r − 1 barras separadoras y n + r − 1 lugares donde podr´ıa aparecer una barra. Entonces la soluci´on en el caso general es
(n+r− 1 r− 1
Ejemplo 6 Un inversor tiene 20 mil euros para invertir en 4 activos. El´ desea que cada inversi´on se haga en unidades de mil euros. Si quiere invertir los 20 mil, ¿de cu´antas maneras diferentes puede hacerlo? ¿Y si no tiene que invertirlo todo?
Respuesta.-
3
y
4
