¡Descarga Combinatoria: Permutaciones y Combinaciones y más Apuntes en PDF de Matemáticas Orientadas a las Enseñanzas Académica solo en Docsity!
Ejercicios
Preguntas y respuestas
¿Influye el orden? ¿Intervienen todos los elementos? ¿Se pueden repetir los elementos? / ¿Puede haber varios elementos del mismo tipo? Se trata de Sí Sí No Permutaciones ordinarias (sin repetición) Sí Sí Sí Permutaciones con repetición Sí No No Variaciones ordinarias (sin repetición) Sí No Sí Variaciones con repetición No No No Combinaciones ordinarias (sin repetición) No No Sí Combinaciones con repetición
Conjuntos ordenados
PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN
Consideramos los conjuntos 𝐴 1 con 𝑥 1 elementos, 𝐴 2 con 𝑥 2 elementos, … 𝐴𝑛 con 𝑥𝑛 elementos. El número total de conjuntos ordenados de 𝑛 elementos que se pueden formar de tal manera que el elemento que ocupa la posición 𝑖 pertenezca al conjunto 𝐴𝑖, es 𝑥 1 · 𝑥 2 · … · 𝑥𝑛. María lleva para un viaje de negocios 3 faldas, 5 camisas y 4 pañuelos de seda. ¿De cuántas formas distintas se puede vestir? 3 · 5 · 4 = 60 María se puede vestir de 60 formas distintas.
- En una floristería hay rosas de 3 colores, claveles de 2 colores y tulipanes de 5 colores. Juan quiere comprar una rosa, un clavel y un tulipán. ¿Cuántas opciones tiene para escoger las flores?
- Marisa se quiere comprar un sofá y puede elegir entre 5 colores, 4 tipos de material principal y 7 tipos de material de relleno. ¿Cuántas opciones tiene para escoger el sofá?
PERMUTACIONES ORDINARIAS (SIN REPETICIÓN)
Se tienen que formar conjuntos ordenados con los 𝑛 elementos de un conjunto. ¿De cuántas formas se pueden sentar 5 personas en un coche?
- ¿Influye el orden? SÍ. o Se trata de variaciones o permutaciones.
- ¿Intervienen todos los elementos? / ¿Se tienen que sentar todas las personas? SÍ. o Se trata de permutaciones.
- ¿Se pueden repetir los elementos? / ¿Se puede sentar una persona en 2 sitios de los 5 disponibles? NO. o Son permutaciones ordinarias.
n = número de elementos en cada grupo
Las 5 personas se pueden sentar de 120 formas en un coche.
- ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes se pueden escribir con los dígitos: 1, 7 , 8? ¿Cuáles son?
- María, Jorge y Natalia van a formar un comité para administrar una empresa. Los cargos que habrá en el comité son: presidente, vicepresidente y secretario. ¿De cuantas formas se puede constituir el comité?
- ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 3 personas en una mesa circular? Realiza un dibujo (1 mesa, 3 sillas) y piensa cómo se podrían sentar las 3 personas. No nos interesa en qué silla se sienta, sino la posición de una persona respecto de las otras. - Si no dibujásemos para entender el enunciado, podríamos pensar en permutaciones de 3 elementos. Sin embargo, podemos observar que a una forma de sentarse las 3 personas, le corresponde más de una permutación de 3 elementos (conjunto ordenado de 3 elementos). - Este es un ejercicio típico de permutaciones circulares (permutaciones en las que los elementos están dispuestos en forma circular). Para contar las distintas agrupaciones lo que haremos será fijar uno de los elementos y permutar los demás. Si tenemos 𝑛 elementos permutaremos 𝑛 − 1. El número total de
grupos se puede calcular con la fórmula 𝑷𝑪𝒏 = (𝒏 − 𝟏)!.
- ¿De cuántas formas distintas se pueden sentar 6 personas en una mesa circular?
VARIACIONES ORDINARIAS (SIN REPETICIÓN)
Se tienen que formar grupos ordenados de 𝑚 elementos con los 𝑛 elementos de un conjunto. Hallar la cantidad de maneras en que pueden obtener las medallas de oro, plata y bronce 8 ciclistas que participan en un campeonato.
- ¿Influye el orden? SÍ. o Son permutaciones o variaciones.
- ¿Intervienen todos los elementos? / ¿En el grupo de los ganadores entran los 8 ciclistas? NO. o Son variaciones.
- ¿Se pueden repetir los elementos? / ¿Puede un ciclista tener dos medallas a la vez? NO. o Son variaciones ordinarias (sin repetición).
n = número de elementos disponibles m = número de elementos en cada grupo 𝒎 ≤ 𝒏
Hay 𝒎 factores en total.
8! ( 8 − 3 )! =^ 5 !· 6 · 7 · 8 5! =^8 ·^7 ·^6 =^336 Hay 336 maneras en las que se pueden obtener las^ medallas.
- ¿De cuántas formas distintas se puede entregar un juguete a cada uno de los niños Luis, Pedro y Juan, si se dispone de 5 juguetes diferentes?
- Si se eligen los colores amarillo, azul, rojo y verde para construir banderas en las que no se puede repetir un color y en las que se considera el orden. a. ¿Cuántas banderas diferentes de 4 colores salen? ¿Son las permutaciones un caso particular de las variaciones? b. ¿Cuántas banderas diferentes de 2 colores salen?
- ¿Cuántos números de 4 cifras pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 sin que se repita ninguna? ¿Cuántos son pares? ¿Cuántos terminan en 25? ¿Cuántos son mayores de 300?
VARIACIONES CON REPETICIÓN
Se tienen que formar grupos ordenados de 𝑚 elementos con los 𝑛 elementos de un conjunto. Se pueden usar varios elementos del mismo tipo o el mismo elemento varias veces (por ejemplo, en extracciones con devolución). Se considera que dos elementos del mismo tipo son indistinguibles. Con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ¿cuántos números distintos de 3 cifras diferentes o no, se pueden formar?
- ¿Influye el orden? SÍ. o Son permutaciones o variaciones.
- ¿Intervienen todos los elementos? / ¿Hay que usar todas las cifras disponibles a la vez? NO. o Son variaciones.
- ¿Se pueden repetir los elementos? / ¿Se puede usar la misma cifra más de una vez? SÍ. o Son variaciones con repetición.
n = número de tipos de elementos disponibles m = número de elementos en cada grupo
No importa si m > n o n > m.
𝑉𝑅 9 , 3 = 93 = 729 Se pueden formar 729 números.
- ¿Cuántos números de 8 cifras que empiecen por 6 se pueden formar? (Si los números empiezan por 6 sólo queda determinar qué ocurre con las siete últimas cifras.) Resuelve por dos métodos distintos (variaciones con repetición y principio de multiplicación con dibujo).
- ¿Cuántas columnas o apuestas de quiniela hay que realizar como mínimo para asegurarse acertar el pleno al 15?
- Si un cuestionario tiene 15 preguntas y cada pregunta tiene tres opciones de respuesta, ¿cuántas formas distintas posibles existen de resolver el cuestionario?
- ¿Se sabe cuántos pasteles hay de cada tipo? o No importa si se sabe o no. Pero se supone que hay bastantes (por lo menos 4 de cada tipo).
- ¿Intervienen todos los elementos? / ¿Entran todos los pasteles en el grupo de 4? o NO. Ni siquiera todos los tipos de pasteles.
- ¿Se pueden repetir los elementos? / ¿Se puede repetir un pastel? o No el mismo, pero SÍ se puede repetir el tipo de pastel. ▪ Son combinaciones con repetición.
n = número de tipos de elementos disponibles m = número de elementos en cada grupo
No importa si m > n o n > m.
Calculamos 𝐶𝑅 8 , 4 , es decir, el número total de combinaciones con repetición de 8 ( tipos de) elementos , tomados de 4 en 4. 𝐶𝑅 8 , 4 = 𝐶 8 + 4 − 1 , 4 = (
4 pasteles se pueden elegir de 330 formas. Se extraen cuatro cartas de una baraja española de 40. Después de cada extracción se apunta el resultado y se devuelve la carta. ¿Cuántos grupos de 4 resultados se pueden formar si no importa el orden?
- ¿Influye el orden? NO. o Se trata de combinaciones. (Podemos saltar a la última pregunta.)
- ¿Intervienen todos los elementos? / ¿Se usan todas las cartas a la vez para formar el grupo? o NO. Solo se usan 4 de ellas.
- ¿Se pueden repetir los elementos? / ¿Se puede repetir un resultado / una carta? o SÍ, porque después de cada extracción se devuelve la carta. ▪ Son combinaciones con repetición. 𝐶𝑅 40 , 4 = 𝐶 40 + 4 − 1 , 4 = (
Se pueden formar 123410 grupos de 4 resultados.
- Juan tiene bolígrafos azules, rojos, verdes y negros. Le deja elegir 2 bolígrafos a su hermano menor. ¿De cuántas formas los puede elegir? ¿Cuáles son?
- Jorge tiene en su despensa cinco tipos de botellas de vino. Cuando vienen de visita sus amigos decide sacar 4 botellas. ¿De cuántas maneras lo puede hacer?
- En una heladería tienen 12 sabores distintos. ¿Cuántos cucuruchos de 2 sabores distintos se pueden elegir si se pueden repetir los sabores?
- En un tren hay pasajeros de 3 nacionalidades diferentes. Se elige a 5 de ellos para realizar una encuesta. ¿De cuántas formas diferentes pueden resultar las nacionalidades de los seleccionados? https://www.ematematicas.net/combinacrepeticion.php https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/probabilidades/combinatoria/combinaciones-con- repeticion.html https://calculo.cc/temas/temas_estadistica/combinatoria/teoria/comb_bachi.html https://calculo.cc/temas/temas_estadistica/combinatoria/teoria/permutaciones.html https://danacaweb.com/principio_de_multiplicacin.html
