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7 COMBINATORIA Y PROBABILIDAD.
La combinatoria se puede de nir como el arte de contar bien. En la primera parte del tema, es- tudiaremos algunas técnicas combinatorias que nos permitirán contar de una forma más e ciente. Posteriormente, veremos el concepto de probabilidad y algunas de sus propiedades elementales.
7.1 Combinatoria.
Toda la combinatoria se basa, fundamentalmente, en los dos siguientes principios básicos.
Principio de la Suma. Sean A y B son dos sucesos que no pueden ocurrir simultáneamente. Si el suceso A ocurre de m maneras distintas y el B de n maneras distintas, entonces el suceso A ó B podrá ocurrir de m + n maneras distintas.
Ejemplo. En Net ix hay 15 películas de Marvel disponibles, mientras que en HBO hay 13 películas de DC Comics. Si queremos ver una película de super héroes y estamos suscritos a ambas plataformas, en total tendremos 28 películas donde elegir.
Principio del Producto. Si un suceso A puede ocurrir de m maneras e, independientemente, un segundo suceso B puede ocurrir en n maneras, entonces el número de maneras en que ambos, A y B, pueden ocurrir es m · n.
Ejemplo. En Spotify tienes 1 Playlist con 5 canciones de Leonardo Dantés y otra Playlist con 6 canciones de Leticia Sabater. Entonces puedes hacer 18 posibles conciertos distintos formados por 1 canción de cada uno de tan sublimes intérpretes.
Los dos principios anteriores pueden aplicarse a más de dos sucesos siempre que sean disjuntos dos a dos, es decir, que dos cualesquiera de ellos no puedan ocurrir simultáneamente.
Ejemplo. La clave para desactivar la Estrella de la Muerte es un código de 3 cifras. La Alianza Rebelde ha conseguido determinar que las cifras que lo componen son todas menores o iguales que 6 y, que además, el número obtenido es par. Disponemos de un androide tipo R2 algo antiguo, pero muy e caz. Es capaz de enviar una clave de 3 cifras al ordenador central de la Estrella de la Muerte cada medio segundo. Sabemos que los sensores imperiales tardan 90 segundos en detectarnos y lanzar
sus ráfagas láser. Además, necesitamos 6 segundos para saltar al hiperespacio. La Princesa Leia nos pregunta ¾seréis capaces de desactivar a tiempo la Estrella de la Muerte? Y lo que es más importante, ¾podréis huir para recibir la gloria?
Necesitamos calcular la cantidad de números de 3 cifras que cumplen con las condiciones requeridas. Representemos por A 1 A 2 A 3 nuestro número. Las posibles cifras son 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 y 6. Para A 1 podemos coger cualquier cifra de las dadas salvo el 0, así que tenemos 6 posibilidades. Para A 2 nos sirven todas, y para A 3 (como el número debe ser par) las cifras deben ser 0 , 2 , 4 ó 6 , es decir, 4 posibilidades. Luego en total hay 6 × 7 × 4 = 168 posibles claves. Si tardamos medio segundo en introducir cada clave, en el peor de los casos tardaremos 84 segundos en introducir todas, tiempo su ciente para desactivar la Estrella de la Muerte. Asimismo, disponemos de 6 segundos extra antes de ser detectados para poder realizar el salto al hiperespacio, huir y ser condecorados. May the MATH be with you.
A partir de los principios anteriores, podemos deducir la fórmulas clásicas de los diferentes tipos de muestras.
De nición 7.1.1 (Variaciones). Sea un conjunto formado por n elementos distintos y sea k ≤ n. Llamamos variación de n elementos tomados de k en k a cada una de las posibles listas ordenadas formadas por k elementos distintos tomados de los n del conjunto original.
Observemos que en esta de nición, es importante el orden en el que se extraen los elementos, pues dos listas con los mismos elementos, pero en posiciones diferentes, se consideran dos variaciones distintas.
Teorema 7.1.2. El número total de variaciones de n elementos tomados de k en k es
Vn,k := n(n − 1)... (n − k + 1) = (^) (n −n! k)!.
Ejemplo. Un profesor de Matemáticas de una Facultad de Física ha decidido que en el próximo examen de probabilidad y estadística va a otorgar un único sobresaliente, un único notable y un único aprobado (el resto, irremediablemente suspenderán), si sus 43 alumnos NO son capaces de decir de cuántas formas distintas puede cali car siguiendo este innovador método.
Como no es lo mismo sacar sobresaliente que notable que aprobado, para saber las diferentes formas en las que se pueden otorgar estas notas, tendremos que obtener las posibles listas ordenadas de 3
En primer lugar debemos averiguar cuántos primos de 2 cifras hay:
11 , 13 , 17 , 19 , 23 , 29 , 31 , 37 , 41 , 43 , 47 , 53 , 59 , 61 , 67 , 71 , 73 , 79 , 83 , 89 , 97.
En total son 21 posibilidades. Como, a priori, en la combinación se pueden repetir los números, en total tendremos V R 21 , 4 = 21^4 = 194481 posibles combinacioes.
En el caso particular en que queramos hacer una variación de tantos elementos como tenga el original, lo llamaremos permutación.
De nición 7.1.5 (Permutaciones). Dado un conjunto de n elementos distintos, llamamos permutación (simple) de n elementos a cada una de las formas de ordenar los n elementos del conjunto original.
Teorema 7.1.6. El número total de permutaciones de n elementos es
Pn := Vn,n = n!.
Ejemplo. Un profesor quiere hacer un examen online tipo test a sus 113 alumnos. Quiere que todos sus alumnos respondan exactamente a las mismas preguntas, pero, para evitar copieteo se las va a dar a cada uno en un orden diferente. ¾Cuántas preguntas debe preparar para garantizar esto?
Está claro que si prepara n preguntas, podrá hacer exactamente Pn = n! exámenes distintos, por lo que debemos calcular n de forma que n! ≥ 113. Pero como 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24, 5! = 120, necesitará preparar 5 preguntas.
Para las permutaciones, es indispensable que los elementos originales sean distintos entre sí. Caso contrario, es decir, si en el conjunto original hay elementos indistinguibles entre sí, precisamos de otro concepto.
De nición 7.1.7 (Permutaciones con repetición). Sea un conjunto con n elementos, entre los que existen n 1 iguales y de un mismo tipo, n 2 iguales pero de otro tipo, y así sucesivamente, nk iguales y de tipos diferentes a los anteriores (n 1 + n 2 + · · · + nk ≤ n). Se llama permutación de n elementos entre los que n 1 se repiten, n 2 se repiten,... , nk se repiten, a cada una de las posibles formas que hay de ordenar los n elementos del conjunto original.
Teorema 7.1.8. El número total de permutaciones de n elementos entre los que n 1 se repiten, n 2 se repiten,... , nk se repiten es
P R nn^1 ,n^2 ,...,nk:= (^) n 1! n 2 n!... n! k!.
Ejemplo. La LEPE (Liga Estadística Profesional Española) ha cancelado su temporada debido a la COVID-19. Así que la FIESTA (Federación Internacional de ESTAdística) les ha pedido que otorguen las plazas para las próximas competiciones europeas: 4 plazas para la Liga de Champiñones, 3 para la Liga Juerga y 2 para la recién creada Liga Con namiento. Si en total participan 10 equipos en la LEPE.... ¾de cuántas formas podrán otorgarse esas plazas si se hace (obviamente) al azar?
Si consideramos 10 bolas: 4 rojas (para la Liga de Champiñones), 3 azules (la la Liga Juerga, 2 blancas (para al Liga Con namiento) y 1 verde, la idea es de cuántas formas distintas podemos ordenar dichas bolas y, una vez tengamos el orden, asignar a cada equipo ordenado alfabéticamente, la bola que le corresponda. De esta forma, el número de posibles órdenes será
P R^410 ,^3 ,^2 ,^1 = (^) 4! · 3!10! · 2! · 1! = 12600.
En todos los casos anteriores, el orden en el que se listaban los elementos era importante. Si esto no ocurre, es decir, si en lugar de listas de elementos pensamos en conjuntos de elementos, entonces precisamos de los siguientes conceptos.
De nición 7.1.9 (Combinaciones). Sea un conjunto de n elementos y k ≤ n. Se llama combinación de n elementos tomados de k en k a cada uno de las formas de escoger k elementos distintos de los n del conjunto original.
Teorema 7.1.10. El número total de combinaciones de n elementos tomados de k en k es
Cn,k = nCk = Cnk =
(n k
:= (^) k! (nn −! k)!.
Ejemplo. En el Capítulo 4 de la 3ª Temporada de Big Bang Theory, The Pirate Solution (emitido el 12 de octubre de 2009), Sheldon, Leonard, Wolowitz y Koothrappali están preparando una maratón de 3 películas del director de cine Chris Columbus. ¾Cuántos maratones distintos podrán diseñar si no les importa el orden en el que ven las películas?
Ejemplo. La Alianza Rebelde posee naves (en una cantidad su ciente) de tipo Alas X, Alas Y y Alas B en su base Eco del Planeta Hoth. ¾Cuántas formaciones distintas de 5 naves se pueden seleccionar para patrullar el entorno del planeta helado y vigilar la llegada de Cruceros Estelares imperiales?
Podemos seleccionar formaciones del tipo 5 Alas X (XXXXX); 3 Alas X y 2 Alas Y (XXXYY); 2 Alas X, 2 Alas Y y 1 Ala B (XXYYB); o similares. El orden no nos importa, pero sí los elementos, que son de 3 tipos diferentes. Por tanto, tendremos que seleccionar 5 elementos de entre 3 tipos de naves. Eso hace un total de CR 3 , 5 = (^95 )^ = 126 posibles formaciones distintas.
7.2 Probabilidad
En la naturaleza, los sucesos que se presentan o los experimentos que se llevan a cabo pueden ser, esencialmente, de dos tipos.
Sucesos deterministas: son aquellos en los que la relación causa-efecto aparece perfectamente de- terminada.
Sucesos aleatorios: son aquellos que aun repitiéndose en las mismas condiciones, el resultado varia de una repetición a otra, dentro de un conjunto de posibles resultados.
La Teoría de la Probabilidad busca la obtención de modelos aleatorios o estocásticos mediante los cuales podremos conocer, en términos de probabilidad, el comportamiento de los fenómenos aleatorios. Algunos de los elementos básicos de la Teoría de la Probabilidad se recogen a continuación.
Experimento: es cualquier proceso cuyos resultados no se conocen de antemano con certeza.
Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un determinado experimento.
Suceso o Evento: es cualquier subconjunto del espacio muestral.
En cuanto a los sucesos, estos pueden ser elementales, si están constituidos por un solo elemento del espacio muestral; compuestos, si están constituidos por varios elementos del espacio muestral. El suceso seguro es todo el espacio muestral, mientras que el suceso imposible es el suceso cuya intersección con el espacio muestral es ∅, es decir, aquel que no tiene elementos del espacio muestral.
Ejemplo 7.2.1. En el experimento, Lanzar un dado, se tiene que
El espacio muestral es Ω = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }. Un suceso imposible puede ser obtener un 7. El suceso seguro puede ser obtener un número entero entre 1 y 6. Un suceso simple puede ser obtener un 4. Un suceso compuesto puede ser obtener un número impar, obtener un múltiplo de 3 u obtener un número entre 2 y 4.
7.2.1 De nición de probabilidad.
La primera de nición de Probabilidad la dio Pierre Simon Laplace en 1812.
Regla de Laplace. Dado un experimento aleatorio en el que todos los sucesos elementales son equiprobables, la Probabilidad de ocurrencia de un suceso es el cociente entre el número de casos favorables al suceso y el número de casos posibles del experimento:
P(A) := nnº^ ºde casos favorables de casos posibles. Esta regla general tiene el inconveniente de que los sucesos elementales han de ser equiprobables, es decir, todos con la misma probabilidad. Por tanto, hemos de conocer a priori estas probabilidades elementales, cosa que no siempre es posible. Para evitar este y algún otro problema, se incluye la de nición axiomática de probabilidad, estable- cida a principios del siglo XX por Andrei Kolmogorov.
De nición 7.2.2. Una distribución de probabilidad o simplemente probabilidad sobre un espacio mues- tral Ω, es una aplicación que asigna a cada suceso A ⊂ Ω un valor numérico P(A), cumpliendo las siguientes reglas:
(a) P(A) ≥ 0 para cualquier suceso A. (b)P(Ω) = 1. (c)Si A, B ⊂ Ω con A ∩ B = ∅, entonces P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Observación 7.2.3. El apartado (c) se puede generalizar. Para cualquier colección de sucesos disjuntos dos a dos (An)∞ n=1 ⊂ Ω se tiene que
P
n=
An
∑^ ∞
n=
P(An).
Teorema 7.2.5 (Principio de Inclusión-Exclusión). Dada una colección nita de sucesos A 1 , A 2 ,... , An, se cumple
P
( (^) ⋃n
i=
Ai
∑^ n k=
P(Ai) −
i<j
P(Ai ∩ Aj ) +
i<j<k
P(Ai ∩ Aj ∩ Ak) −...
... + (−1)k+^
i 1 <...<ik
P(Ai 1 ∩... ∩ Aik ) +... + (−1)n+1P(A 1 ∩ A 2 ∩... ∩ An).
Ejemplo. El profesor Farnsworth ha inventado la máquina que desempareja cuerpos de personalidades y la ha utilizado con los n empleados de Planet Express. Ahora los cuerpos de Fry, Leela, el doctor Zoidberg etc... yacen en el suelo, mientras que sus personalidades otan en el hiperespacio virtual creado por el excéntrico profesor. La única posibilidad de devolver las personalidades a su cuerpo es ejecutar el programa de recuperación. Pero tan sólo queda Bender para introducir los datos. En un alarde de generosidad, el robot doblador accede a ayudar a sus compañeros, para lo cual decide adjudicar, aleatoriamente, a cada cuerpo una personalidad. ¾Cuál es la probabilidad de que por lo menos uno de los miembros de Plant Express acabe con su personalidad dentro de su propio cuerpo?
En este caso, el espacio muestral, es decir, las posibles formas de asignar a cada uno de los n miembros de Planet Express una personalidad, es justamente Pn = n!. Sea Ai el suceso al trabajador i de Planet Express, le ha correspondido su propia personalidad. Aplicando la Regla de Laplace, la probabilidad del suceso Ai es P(Ai) = (n− n!1)! = (^1) n. Si i 6 = j la probabilidad del suceso intersección Ai ∩ Aj es, de modo similar, P(Ai ∩ Aj ) = (n− n!2)!. Y en general, dados i 1 , i 2 ,... , ik índices diferentes:
P(Ai 1 ∩ Ai 2 ∩ · · · ∩ Aik ) = (n^ − n!^ k)!.
Si aplicamos el Principio de Inclusión-Exclusión (y aplicando las técnicas de combinatoria vistas en la sección anterior), resulta que
P(A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An) =
(n 1
) (^) (n − 1)! n! −
(n 2
) (^) (n − 2)! n! +
(n 3
) (^) (n − 3)! n! +^ · · ·^ + +(−1)n+
(n n
) (^) (n − n)! n! = = 1 − (^) 2!^1 + 3!^1 − · · · + (−1)n+1^ n^1!.
Si tenemos en cuenta el desarrollo en serie de Taylor de la función exponencial
ex^ = 1 + x + x
2 2! +^
x^3 3! +^... ,
para x = − 1 tenemos que e−^1 = 1 − 1 +^12 − (^) 3!^1 +... , de donde obtenemos que cuando n es muy grande, la probabilidad de que al menos uno de los trabajadores de Planet Express reciba su propia personalidad tiende a 1 − e−^1 , aproximadamente igual a 0. 63.
En el caso particular en que el número de sucesos elementales sea nito, el espacio muestral también será nito, Ω = {s 1 ,... , sn}. Para especi car una probabilidad sobre este espacio muestral es su ciente asignar un peso pi a cada uno de los sucesos elementales si. Pero para que se satisfagan los axiomas de la probabilidad (De nición 7.2.2), se debe cumplir que
(a) pi ≥ 0.
∑^ n i=
(b) pi = 1.
En estas condiciones, la probabilidad de cualquier suceso A ⊂ Ω se calcula sumando los pesos pi de todos los resultados si que pertenecen al conjunto A, es decir,
P(A) =
si∈A
pi.
En el caso particular de que cada peso pi sea 1 /n, esto es, todos los sucesos elementales son equiprob- ables, la probabilidad obtenida se llama distribución discreta uniforme. En ese caso, la probabilidad de un suceso A es igual al cardinal de A dividido por el cardinal de Ω y coincide con la Regla de Laplace. Los espacios muestrales no nitos más simples son los numerables (recordemos que un conjunto Ω es numerable si existe una biyección de N en Ω). Un espacio muestral numerable es de la forma Ω = {s 1 , s 2 ,... , sn,.. .}, siendo si (i ∈ N) los sucesos elementales. En los espacios muestrales numerables se pueden de nir probabilidades usando el mismo proced- imiento que en el caso nito, esto es, asignando un peso pi a cada suceso elemental si de manera que
(a) 0 ≤ pi ≤ 1.
∑^ ∞
i=
(b) pi = 1.
De nición 7.3.1 (Probabilidad condicionada). Sean A y B dos sucesos, con P(B) > 0. Se de ne la probabilidad de A condicionado a B como
P(A|B) = P( PA(^ B∩^ )B ),
es decir, la probabilidad de que ocurra A, sabiendo que B es cierto.
De esta de nición, se deduce que P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) y, por inducción, si P (⋂ni=1 Ai) > 0 , entonces
P
( (^) ⋂n
i=
Ai
= P(A 1 )P (A 2 |A 1 ) · · · P
An− 1
n⋂− 2 i=
Ai
P
An
n⋂− 1 i=
Ai
Para el siguiente resultado, necesitamos el concepto de partición de un conjunto.
De nición 7.3.2. Se dice que A 1 ,... , An es una partición de un conjunto A (usualmente el total, Ω),
si son disjuntos dos a dos, P (Ai) > 0 (1 ≤ i ≤ n) y, además, A =
⋃^ n i=
Ai.
Teorema 7.3.3 (Teorema de la Probabilidad Total). Sea A 1 ,... , An una partición de Ω y sea B un
suceso cualquiera. Entonces P(B) =
∑^ n j=
P(B|Aj )P(Aj ).
En el resultado anterior, queremos calcular la probabilidad de un suceso a través de una partición del espacio total. Sin embargo, en ocasiones interesa conocer qué ocurre con cada miembro de una partición, sabiendo que un determinado suceso ya ha ocurrido.
Teorema 7.3.4 (Teorema de Bayes). Sea A 1 ,... , An una partición de Ω y sea B un suceso con P(B) > 0. Entonces, para cada 1 ≤ i ≤ n se cumple que
P(Ai|B) = (^) ∑ nP(B|Ai)P^ (Ai)
j=
P(B|Aj )P(Aj )
En el lenguaje habitual del Cálculo de Probabilidades, P(Ai) se conoce como probabilidad a priori y P(Ai|B) como probabilidad a posteriori, siendo la ocurrencia de B la que establece la frontera entre el antes y el después.
Ejemplo. Once y Mike, amigos y residentes en Hawkins (Indiana), se han enterado de que su amigo Dustin posee 3 viveros bajo tierra, con crías de Demogorgons y Salamandras mezcladas. Sabe que en el
Vivero 1 hay 3 Salamandras y Dart, el Demogorgon amigo de Dustin; en el Vivero 2 hay 2 Salamandras y 2 Demogorgons malvados, mientras que en el último Vivero tiene a 1 Salamandra y 3 Demogorgons malvados. Dustin recuerda dónde está cada vivero, pero no recuerda cual es cual; además, al estar los viveros bajo tierra, no puede ver lo que hay dentro ni saberlo de antemano. Once, usando sus poderes telequinéticos, es capaz de entrar (a través del Otro Lado) en un vivero al azar y ver a una de las criaturas. Resulta ser una Salamandra. Los chicos deciden que, dado que no tienen más tiempo para hacer comprobaciones, ese debe ser el vivero donde está Dart y destruyen el resto de viveros, justo antes de que los Demogorgons muden y se conviertan en Stranger Things. ¾Han tomado los chicos la decisión correcta? es decir, ¾cual es el vivero que, en las condiciones anteriores, tiene la mayor probabilidad de haber sido elegido?
Mediante V 1 , V 2 , V 3 , representaremos el vivero elegido. Como no hay más posibilidades, la unión de estos tres sucesos es el Suceso Total. Además, tal y como se nos indica, la elección del vivero en el que entra Once es al azar, por tanto, P(V 1 ) = P(V 2 ) = P(V 3 ) = 13 > 0. Así pues, V 1 , V 2 , V 3 constituyen una partición de Ω. Sea S es el suceso la criatura visualizada por Once es una Salamandra. Sabemos que
P(S|V 1 ) =^34 , P(S|V 2 ) =^12 , P(S|V 3 ) =^14.
Aplicando el Teorema de Bayes,
P(V 1 |B) =
De forma análoga, para los otros viveros se tiene que
P(V 2 |B) =^13 , P(V 3 |B) =^16.
Así que el vivero que tenía la mayor probabilidad de haber sido elegido era el Vivero 1, donde estaba Dart tal y como los chicos habían pensado.
7.4 Independencia de sucesos
La información previa que se nos proporciona sobre el resultado de un experimento puede modi car la probabilidad inicial del suceso. Cuando esto no ocurre, estamos ante sucesos que no in uyen entre sí. Es lo que se conoce como independencia de sucesos.
