Teoría de la Probabilidad: Concepto y Estructura Aleatoria, Apuntes de Estadística Empresarial

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Tema 5: Definición de probabilidad.Postulados y teoremas fundamentales

La Teoría de la Probabilidad

Introducción al concepto de probabilidad



Fenómeno aleatorio: no estamos seguros del suceso queva a ocurrir. Ej: Lanzar una moneda



Fenómeno determinista: tenemos certeza sobre el sucesoque va a ocurrir. Ej: los fenómenos químicos o físicos



Suceso aleatorio: concreción de un fenómeno aleatorio



La probabilidad mide la incertidumbre de lo sucesosaleatorios

Operaciones entre sucesos

.

Unión de sucesos Decimos que se verifica

cuando ocurre

ó

Ej.

= obtener múltiplo de 2= obtener múltiplo de 3

.^

Intersección de sucesos Decimos que se verifica

cuando ocurren

y

Ej.

= obtener múltiplo de 2= obtener múltiplo de 3

1

S

2

S

1

S

2

S

2 4

6

3

1 S

2

S



1

2

S

S

1

2

S

S

1

2

S

S

1

S

2

S

1

S

2

S

2 4

6

3

1 S

2

S





1

2

S

S

6





Operaciones entre sucesos (cont.)

Diferencia de sucesos^ Se verifica

, cuando ocurre

y no ocurre

Ejemplo

obtener múltiplo de 2obtener múltiplo de 3

Estructura aleatoria

El conjunto de sucesos con las operaciones definidas constituye un álgebra

de

sucesos

,^

que

es

la

estructura

aleatoria

que

necesitamos para definir la probabilidad

1 S



3

6





´

2

S

S

1

2

S

S 

2 S



2

S

1

S

1

S

2

S



Definición de probabilidad. Postulados fundamentalesde la teoría matemática de la probabilidad

1) 2) Si tenemos

espacio muestral,

, siendo los

incompatibles 2 a 2

Principio de la probabilidad condicionada:

s 

P(S)



n^

n

i^

i

i 1

i 1 P(

S )

P(S ) 









i

S



 







i^

i^

i

i 1

i 1

P(

S )

P(S ), siendo los S

incompatibles 2 a 2

i^

j

i^

j

j

P(S

S )

P(S / S )

P(S )

^



p

p

siendo A

álgebra de sucesos

s p

s

p

Consecuencias de los postulados^ 1) 2) 3)

estocásticamente independientes

4) 5) 6) 7)

P(S)

P(S)

P(

)

0





i^

j

S ,S

1

2

1

2

1

2

P(S

S )

P(S )

P(S )

P(S

S )

1

2

1

2

P(S

S )

P(S )

P(S )

1

2

1

2

S

S

P(S )

P(S )

P(S)

i^

j^

i^

j

P(S

S )

P(S ).P(S )







La determinación de la probabilidad: distintasconcepciones (Cont

.)

2.

Teoría frecuencial u objetivista (empírica). Basada en la experimentación.

S = suceso aleatorio de un fenómeno

que observamos. Ejemplo: lanzamiento de una moneda 3.

Concepción subjetivista

: Basado en el grado de creencia de una

persona

que

tiene

que

asignar

una

probabilidad

a

un

suceso.

El

individuo apuesta por el suceso basándose en su experiencia y en lainformación que tenga acerca del suceso 4.

Con las distintas concepciones se determinan las probabilidadesde los sucesos elementales. Después con éstas se calculan lasprobabilidades

de

los

sucesos

compuestos

utilizando

los

postulados de la Teoría matemática

.





C,F

 

N^

N

n(S)

P(S)

probabilidad de S

lim fr(S)

lim

N





Probabilidades a priori y a posteriori:Teoremas de la Probabilidad Total y de Bayes



Teorema de la probabilidad total:Sea X un suceso que puede ocurrir conhipótesis distintas, mutuamente excluyentes yexhaustivas, entonces

n

H

H

H

,^

2

1

n^

n

i^

i^

i

i 1

i 1

P(X)

P(X

H )

P(H ) P(X / H )

^







verosimilitudes

Probabilidades apriori