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Contaduría Pública (semestre III) Estadística I Guía de estadística Tema : Técnicas de conteo Docente: Jose Luis Betel Aguas Muchos problemas se pueden resolver contando la ocurrencia de ciertos eventos simples. A continuación se estudiarán los principios de conteo de adición y multiplicación , que ayudarán a resolver problemas que involucran eventos compuestos. Una familia está planeando sus vacaciones. Las opciones que tiene son. A clima frío: Parque de los Nevados, Nevado del Cocuy, Sierra Nevada de santa Marta. A clima caliente: Santa Marta, San Andrés, Capurganá, Cali, Cabo de la Vela, Leticia. Como solamente van a elegir un sitio entonces pueden elegir entre 3 lugares para clima frío y 6 lugares para clima caliente, en total tiene 3+6=9 lugares para ir de vacaciones. Conceptos preliminares EVENTOS EXPERIMENTO ESTADÍSTICO: Es el proceso mediante el cual se genera un conjunto de datos y puede ser determinístico o aleatorio. ESPACIO MUESTRAL: Son todos los posibles resultados que se obtienen de un experimento denotado por S. S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} EVENTO SIMPLE: Son los eventos constituidos por un sólo elemento. A = {4} EVENTO COMPUESTO: Es cualquier evento que se puede descomponer en dos o más eventos simples. B = {2, 4, 6} EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES: Llamados también disjuntos, no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, la ocurrencia de ellos excluye la ocurrencia de los otros. A ∩ B = ∅ EVENTOS INDEPENDIENTES: Cuando la ocurrencia o no ocurrencia de un evento no afecte la ocurrencia de otro evento. EVENTOS DEPENDIENTES: Si los eventos A y B están relacionados de tal modo que la ocurrencia de B depende de la ocurrencia de A, entonces A y B son independientes. Técnicas de conteo Principio de adición. Si dos tareas no pueden realizarse simultáneamente y, además, la primera puede realizarse de m formas distintas, mientras que la segunda se realiza de n formas distintas, entonces la cantidad total de formas distintas para realizar dichas tareas es de m+n. Ejemplo En un grupo hay 6 hombres y 8 mujeres. ¿De cuántas maneras se puede escoger una persona del grupo?
Introducción
Contaduría Pública (semestre III) Estadística I Guía de estadística Tema : Técnicas de conteo Docente: Jose Luis Betel Aguas Principio general de adición. Si en un espacio muestral se tienen m eventos incompatibles dos a dos: A 1 , A 2 , …, Am, tales que A 1 puede ocurrir de n 1 formas diferentes, A 2 puede ocurrir de n 2 formas diferentes, …, Am puede ocurrir de nm formas diferentes, entonces la ocurrencia de un evento, que puede estar en uno de estos m eventos, es igual a n 1 + n 2 + … + nm formas distintas. Ejemplo En una heladería los helados se venden en cono y en vaso, y cada uno viene sólo de los siguientes sabores: Chocolate, Pistacho y Vainilla. Halle todas las posibles combinaciones de helados. Principio de multiplicación. Si un procedimiento se divide en m etapas o características y hay n 1 posibles resultados para la primera etapa, n 2 posibles resultados para la segunda etapa, …, nm posibles resultados para la última, entonces el procedimiento completo puede efectuarse en el orden designado en n 1 X n 2 X... X nm formas diferentes. Permutaciones Si se tienen n objetos distintos, una permutación de estos n objetos es un reordenamiento de ellos. Permutaciones con repetición Las permutaciones de n elementos tomados de k en k se definen como las distintas agrupaciones formadas con k elementos que pueden repetirse, elegidos dentro de los n elementos de que se disponen. El número de permutaciones que se pueden construir se calcula mediante la fórmula nr^ , donde n indica el número de elementos y r , el número de veces que se repiten éstos. Si el conjunto de n objetos está dividido en m grupos, cada grupo con idénticos objetos, el grupo 1 con n 1 objetos, grupo 2 con n 2 objetos, etc, y el grupo m con n m objetos (de manera que n=n 1 +n 2 + … + nm ), entonces el número de permutaciones distintas en que los n objetos pueden organizarse es: p n ;n 1 , n 2 , ... ,nm = (^) n n^! 1_!^ n 2! .._^ .nm! Ejemplo ¿De cuántas maneras se pueden permutar las letras de la palabra CATARATA? Permutaciones sin repetición
Contaduría Pública (semestre III) Estadística I Guía de estadística Tema : Técnicas de conteo Docente: Jose Luis Betel Aguas Cuestionario
- ¿Con cuántos billetes ¿boletos? Juega una lotería, si cada uno de ellos tiene cuatro cifras y además 120 series? 10 4=^ 10.000 * 120 = 1.200.
- ¿Cuántas series telefónicas puede haber en una ciudad, si los números telefónicos están compuestos por: a) 4 dígitos?; b) 6 dígitos?; c) 7 dígitos? 10 4 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10. 000 10 6 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 1. 000. 000 10 7 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 10. 000. 000
- ¿Cuántas ordenaciones diferentes de diez letras se pueden hacer utilizando la palabra CONVENCIÓN? n=
- ¿Cuántos comités compuestos de tres diputados y cinco senadores pueden formarse tomando como base un grupo de cinco diputados y ocho senadores? 5c3* 8C5= 66
- Una caja contiene 7 fichas rojas, 6 blancas y 4 azules. ¿Cuántas selecciones de tres fichas se pueden formar, si: a) las tres deben ser rojas, b) ninguna puede ser roja? ******** a. Las 3 deben ser rojas? 7 Fichas rojas 6 Fichas blancas 4 Fichas azules b. Ninguna puede ser roja?
6
3 )^ (
4
6
4
6
4
6
4
=
[
3! 3! ][^
4! 0! ]
[
4! 2! ][^
3! 1! ]
[
5! 1! ][^
2! 2! ]
[
6! 0! ][^
1! 3! ]
[
6 x 5 x 4 x 3!
3! 3 x 2 ]
3 )^
Contaduría Pública (semestre III) Estadística I Guía de estadística Tema : Técnicas de conteo Docente: Jose Luis Betel Aguas
- Un examen consta de 4 preguntas, hay que dar respuesta sólo a tres de las cuatro preguntas, ¿Cuántos exámenes de diferente contenido habrá que corregir como máximo?
C 3
4
4 x 3!
Formemos las posibilidades: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4).
- ¿Cuántas señales diferentes se pueden formar con 10 banderas distintas, levantando al menos 3 y no más de 6 banderas en una driza de un mástil?*** V (^) 3 10
- V (^) 4 10
- V (^) 5 10
- V (^) 6 10 = 10_!_ 7_!_
10_!_ 6_!_
10_!_ 5_!_
10_!_ 4_!_ = 187. 200
- ¿De cuántas maneras diferentes se puede contestar un examen de cinco preguntas, si sólo hay que dar respuesta a tres de ellas?
C 3
5
5 x 4 x 3!
2 x 1 x 3!
Formemos las posibilidades: (1, 2, 3), (1, 2, 4), (1, 3, 4), (2, 3, 4), (1,2,5), (1,3,5), (1,4,5), (2, 4, 5), (2,3,5), (3,4,5)
- ¿De cuántas maneras se pueden ordenar en un estante cinco litros de Wiskhy y tres botellas de aguardiente, a condición de que los dos litros de Wiskhy estén siempre juntos y las dos botellas siempre juntas?*****
P 5 = 5! = 120 P 3 = 3! = 6
Número de permutaciones entre grupos: 2^1 = 2 El número total de permutaciones: 120 x 6 x 2 = 1.
- Para los vehículos de servicio particular, ¿cuántas placas se pueden elaborar si se conforma de tres letras y tres dígitos? **28 3
- Si un estudiante tiene 9 libros y desea ordenar a cinco de ellos en un estante. ¿De cuántas formas distintas puede hacerlo?
V 5
9
( 9 − 5 )!
9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4!
Contaduría Pública (semestre III) Estadística I Guía de estadística Tema : Técnicas de conteo Docente: Jose Luis Betel Aguas 20.Si un futbolista conoce 7 jugadas diferentes y si el entrenador le instruye para que juegue las 7 sin que ninguna se repita, ¿Qué libertad le queda a ese jugador? 21.¿Cuántas cifras de siete dígitos se puede formar con los dígitos del 3 al 9? n Pn =^7 P^^7 ==^7_!_ =^5.^040 22.En un restaurante en el centro de la ciudad ofrecen almuerzos ejecutivos con las siguientes opciones: tres tipos diferentes de sopa, 4 tipos de carne con la bandeja, cuatro bebidas a escoger y dos tipos de postre. ¿De cuántas maneras puede un comensal elegir su menú que consista de una sopa, una carne para su bandeja, una bebida y un postre? 23.Una rejilla de 12 huevos contiene un huevo roto. ¿ De cuántas maneras una persona puede seleccionar tres de estos huevos y a. Sacar el huevo roto; b. No sacar el huevo roto? a) (
3 )^ (
1 )^ = 660 b) (
3 )^ (
2 )
24.El muy conocido BALOTTO electrónico es un juego de azar que consiste en acertar en 6 números de 45 posibles para ganar el premio mayor. Calcule cuántos boletos de juego debe usted comprar para asegurar que tendrá el boleto ganador. La empresa del BALOTTO asegura que usted puede ganar un montón determinado si acierta 3,4 o 5 veces, calcule también cuántos boletos debe comprar para asegurar 3, 4 o 5 aciertos. ¿Todavía cree en el BALOTTO?*** 25.Cinco gerentes se reúnen para una junta. Si cada uno saluda estrechando a los otros gerentes exactamente una vez, ¿cuál es el número total de saludos? =10… no se…… porque pero esta es la rpta
Contaduría Pública (semestre III) Estadística I Guía de estadística Tema : Técnicas de conteo Docente: Jose Luis Betel Aguas 26.En una sala de espera se encuentran 5 personas: 3 hombres y 2 mujeres. a. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una fila? b. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si los hombres se sientan y las mujeres también? c. ¿De cuántas maneras pueden sentarse en una mesa redonda? 4!: 24 27.En una pizzería se anuncia que ofrecen más de 500 variedades distintas de pizza. Un cliente puede ordenar una pizza con una sola combinación de uno o más de los siguientes ingredientes: jamón, champiñones, piña, pimentón, salchicha, cebolla, peperoni, salami y aceitunas. ¿Es cierto lo que afirma su publicidad? 9 c 1 +^9 c 2 +^9 c 3 +^9 c 4 +^9 c 5 +^9 c 6 +^9 c 7 +^9 c 8 +^9 c9 = 511
- Diseño de placas. El ministerio de transporte es la institución en Colombia encargada de diseñar y establecer las características de la placa única nacional para vehículos automotores. A partir de 1990 las placas tienen tres letras y tres dígitos, debajo llevan el nombre del municipio donde se encuentra matriculado el vehículo. Para la fabricación de las placas se utilizan 27 letras y los dígitos. La empresa que fabrica las placas ha comprobado que de una producción de 100 placas fabricadas aproximadamente 5 tienen algún defecto. a. El número total de placas distintas que se pueden fabricar, cuya parte inicial sea como se muestra en la ilustración es A M A 4 ____ _____ b. La primera letra de los carros particulares matriculados en Bogotá es A o B, el número total de placas que pueden fabricarse para identificar carros particulares matriculados en Bogotá es:______ c. Antes de 1990 las placas que se fabricaban tenían dos letras y cuatro dígitos. La razón entre el número total de placas que pueden fabricarse en la actualidad y el número total de placas que podían fabricarse antes de 1990 es_______ 29.Se desea formar los números de cuatro cifras con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Determine los números: a. Distintos que se pueden formar si las cifras pueden repetirse b. Distintos que se pueden formar si las cifras no pueden repetirse c. Distintos que se pueden formar, teniendo por lo menos dos cifras repetidas d. Múltiplos de cinco que se pueden formar si las cifras se pueden repetir e. Los números pares distintos que se pueden formar si las cifras no pueden repetirse. 30.Entre los ocho candidatos para dos vacantes del personal de una escuela se encuentran cuatro hombres. ¿De cuántas maneras se pueden cubrir éstas vacantes a. Con dos candidatos cualesquiera de los 8; b. Con dos candidatas cualesquiera de las mujeres calificadas;
