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TERCERA PARTE: PROBABILIDAD
● Como vimos en la introducción del curso, uno de los objetivos de la estadística es tratar de sacar conclusiones sobre las características de una variable en una población (a la que no podemos acceder completamente) a partir de una muestra. → Inferencia Ejemplo: Para conocer la intención de voto de un país, utilizo la información de la intención de voto de un conjunto de individuos entrevistados al azar. ● Como al hacer inferencia no conocemos exactamente cuál va a ser exactamente el comportamiento en la población, siempre existirá incertidumbre. ● Para poder “manejar” esa incertidumbre y hacer inferencia necesitaremos utilizar la idea de modelo probabilístico, de Probabilidad.
TEMA 8: PROBABILIDAD
● La probabilidad es la disciplina que se encarga del estudio, descripción y modelización de los fenómenos o experimentos aleatorios. ● En un experimento aleatorio el resultado depende del azar y está caracterizado por:
- todos sus posibles resultados se conocen con anterioridad
- no se puede predecir su resultado
- puede repetirse en condiciones idénticas Ejemplos: tirar una moneda, tirar un dado. ● Espacio muestral: es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio.
● Al espacio muestral E se le llama suceso seguro porque siempre ocurre. Al conjunto vacío sin elementos se le llama suceso imposible. ● Al suceso “no ocurre A” se le llama suceso contrario o complementario de A y lo forman todos los resultados que no pertenecen a A: Ejemplo:
- En el experimento lanzar un dado E ={1,2,3,4,5,6} el suceso A “sale un número par” es A ={2,4,6} y el “suceso contrario de A ” será {1,3,5}, es decir, “sale un número impar”. ● Dados dos sucesos A y B tendremos:
- suceso “ A y B ” o A B : si ocurren los dos a la vez
- suceso “ A o B ” o A^ ^ B : si ocurre al menos uno de los dos
- son sucesos incompatibles si es imposible que ocurran a la vez: “ A y B ”= A B .
Ejemplos: En el experimento lanzar un dado E ={1,2,3,4,5,6}:
- “sale un número par” es A ={2,4,6}
- “sale un número mayor que 3” es B ={4,5,6}
- “sale un número impar” es C ={1,3,5}
- “ A y B ”={4,6}
- “ A o B ”={2,4,5,6}
- “ A y C ” es imposible luego A y C son sucesos incompatibles. Ver Figura 13.2 de Peña y Romo
Ejemplo: Experimento lanzar dos veces una moneda Espacio muestral E ={CC,CX,XC,XX}
- Suceso “sale al menos una cara” A ={CC,CX,XC} luego: P ( A )
- Suceso “salen dos cruces” B ={XX } luego: P^ (^ B )^ ^
- Suceso “ A o B ”= E ={CC,CX,XC,XX} luego: P ( A o B ) P ( E ) 1
- Suceso “ A y B ”={ } luego: P^ (^ A^ y^ B^ )^ ^ P (^ ^ ) ^0 ● Propiedades de la probabilidad:
- Dado un suceso cualquiera A se cumple:^0 ^ P^ (^ A ) ^1
- P^ (^ ^ ) ^0
- P^ (^ E )^ ^1 : la probabilidad del espacio muestral (suceso seguro) es 1
- Si A y B son dos sucesos cualesquiera (no incompatibles) se cumple que: P ( A o B ) P ( A ) P ( B ) P ( A y B )
- Si A y B son sucesos incompatibles se cumple que: P ( A o B ) P ( A ) P ( B ) -A partir de aquí, como los sucesos A y “no A ” son incompatibles, y como el suceso “ A o no A ” es el espacio muestral, P ( A o n o A ) P ( A ) P ( n o A ) P ( E ) 1 se obtiene que: P ( A ) 1 P ( n o A )
Ejercicio 14.1 (de Peña y Romo) Se lanza dos veces un dado. Se sabe que en el primer lanzamiento ha salido un tres. a) Hallar la probabilidad de que la suma de los dos resultados sea 8, empleando la definición de probabilidad condicionada. Al lanzar dos veces un dado el espacio muestral tendrá 36 elementos y será: E={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)} Llamamos A =”el primer y el segundo resultado suman 8” y B =”el primer resultado es un tres”, luego nos piden: P A B P A y B P B
Tendremos entonces: A ={(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)} con P^ A^ ^
B ={(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} con P^ B^ ^
A y B ={(3,5)} con P (^) A y B (^)
Por tanto: P A B P A y B P B
b) Considerar el suceso B =”en el primer lanzamiento ha salido un tres” como el nuevo espacio muestral y calcular la probabilidad de que “ambos resultados sumen ocho”. Nuevo espacio muestral {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)} A =“ambos resultados suman ocho”={(3,5)} luego P A
Ejercicio 14.6 (de Peña y Romo) Las 40 cartas de una baraja se agrupan en 4 palos (oros (O), copas (C), espadas (E) y bastos (B)) y están numeradas del 1 al 10. Se elige primero una carta y luego otra sin haber devuelto la primera al mazo. a) Utilizar la regla de la multiplicación para hallar la probabilidad de que ambas sean oros. P (^) O y O (^) P ( O O ) P ( O ) ,
b) Calcular la probabilidad de que salgan dos ases. P (^) 1 y (^1) P 1 1 P 1
Ejercicio 14.3 (de Peña y Romo) La regla de la multiplicación también se verifica para más de 2 sucesos. En el caso de tres sucesos A , B y C , se cumple que: P ( A y B y C ) P (^) A B y C (^) P ( B C ) P ( C ) En el ejemplo de Iberia, supongamos que la compañía recupera en menos de una semana el 80% del equipaje perdido. Hallar la probabilidad de que se pierda el equipaje de una persona que viaja con Iberia y que se recupere en menos de una semana. Recordemos que: Suceso A : perder las maletas Suceso B : viajar con Iberia ( P^ (^ B )^ ^0 ,^3 ) y que P^ ^ A^ B^ ^0 ,^0 0 Llamamos: Suceso C: recuperar el equipaje en menos de una semana y sabemos que P^ C^ A^ y^ B^ ^0 ,^8. Nos piden: P ( C y A y B ) P (^) C A y B (^) P ( A B ) P ( B ) 0 , 8 0 , 0 0 1 0 , 3 0 , 0 0 0 2 4
Ejemplo: En una economía hay 4 sectores B 1 , B 2 , B 3 y B 4. Sea el suceso S “estar en paro”. La probabilidad de que una persona esté en paro en cada uno de los sectores será:
P S B 1 0 , 0 5 P S B 2 0 , 0 1 P S B 3 0 , 0 2 P S B 4 0 , 1
De los trabajadores de esa economía la mitad pertenecen a B 1 y el resto se reparten por igual entre los otros tres, es decir:
P B 1 0 , 5 P B 2 0 , 1 6 P B 3 0 , 1 6 P B 4 0 , 1 6
La probabilidad de estar en paro de una persona escogida al azar será:
P S P S B i P B
i ( ) ( (^) i ) , , , , , , , , ,
1 4 0 0 5 0 5 0 0 1 0 1 6 0 0 2 0 1 6 0 1 0 1 6 0 4 5 8 Regla de Bayes
● Siguiendo con el ejemplo anterior, dada una persona que está en paro, ¿qué probabilidad hay de que sea de un
cierto sector B i? Es decir buscamos P^ B^ i S .
● Según la definición de probabilidad condicionada será:
P B S
P B y S P S i i
● Si en el numerador aplicamos la expresión de la probabilidad conjunta y en el denominador la de la probabilidad total obtenemos la regla de Bayes:
P B S
P S B P B
P S B P B
i i i j j j r
1
Ejemplo: Se lanza una moneda dos veces E ={CC,CX,XC,XX} Suceso A “la primera sale cara”= {CC,CX} → P^ (^ A )^ ^1 /^2 Suceso B “la segunda sale cara”= {CC,XC} → P^ (^ B )^ ^1 /^2 A y B ={CC} → P^ (^ A^ y^ B )^ ^1 /^4 Se cumple que P^ (^ A^ y^ B^ )^ ^ P^ (^ A^ )^ P^ (^ B ) → A y B son sucesos independientes
Ejercicio 14.4 (de Peña y Romo) Se lanza una moneda. Si sale cara se elige al azar una bola de una urna con bolas numeradas del 1 al 4. Si sale cruz se elige al azar una bola de una urna con bolas numeradas del 1 al 6. a) Obtener, mediante un diagrama de árbol, todos los posibles resultados del experimento. Se lanza una moneda: C X C1 C2 C3 C4 X1 X2 X3 X4 X5 X b) Utilizar la regla de la multiplicación para calcular las probabilidades de cada uno de los resultados del experimento. ¿Es equiprobable? P ( C y 1 ) P ( 1 C ) P ( C ) ,
P ( C y 1 ) P ( C y 2 ) P ( C y 3 ) P ( C y 4 ) 0 , 1 2 5
